辛等比數(shù)列題型ppt課件(編輯修改稿)
2025-05-30 18:33 本頁面
【文章內容簡介】 個數(shù)為等比中項 ，則只有三種情況 ， 因此對于分類討論問題 ， 恰當?shù)姆诸愂墙夂脝栴}的關鍵 ． 解析： 由已知 ， 可設這三個數(shù)為 a－ d， a， a＋ d， 則 a－ d＋ a＋ a＋ d＝ 6， ∴ a＝ 2. 這三個數(shù)可表示為 2－ d,2,2＋ d， ① 若 2－ d為等比中項 ， 則有 (2－ d)2＝ 2(2＋ d)， 解之得d＝ 6或 d＝ 0(舍去 )． 此時三個數(shù)為－ 4,2,8. ② 若 2＋ d是等比中項 ， 則有 (2＋ d)2＝ 2(2－ d)， 解之得d＝－ 6若 d＝ 0(舍去 )． 此時三個數(shù)為 8,2， － 4. ③ 若 2為等比中項 ， 則 22＝ (2＋ d)(2－ d)， ∴ d＝ 0(舍去 )． 綜上 ， 可求得此三數(shù)為－ 4,2,8. [變式 ] 已知等比數(shù)列的前 3項和為 168， a2－ a5＝ 42，求 a5， a7的等比中項 ． 分析： 利用已知條件 ， 列出關于首項 a1和公比 q的方程組 ， 求出 a1和 q后 ， 問題便得以解決 ． 解析： 設該等比數(shù)列的首項為 a1， 公比為 q， 由已知得 ∵ 1 － q3＝ (1 － q )(1 ＋ q ＋ q2) ， ∴ 由 ② 247。 ① 可得 q (1 － q ) ＝14， ∴ q ＝12，此時 a1＝42q ? 1 － q3?＝ 96. 若 G 是 a a7的等比中項，則應有 G2＝ a5 a7＝ a21 q10＝962 (12)10＝ 9. ∴ a5， a7的等比中項是 177。 3. 常用的等比數(shù)列的性質有以下幾種： 設 {an}是公比為 q的等比數(shù)列 ， 那么 (1)an＝ amqn－ m； (2)如果 m， n， p， q∈ N*， 且 m＋ n＝ p＋ q， 則 aman＝apaq(反之不一定成立 ， 例如常數(shù)列 )． 特別地 ， 當 m＋ n＝2p時 ， 有 aman＝ ， 與首末兩項等距離的兩項的積等于首末兩項的積； (3)等比數(shù)列中每隔一定項取出一項按原來順序排列構成的數(shù)列仍為等比數(shù)列 ． 例如 am， a2m， a3m也成等比數(shù)列； ( 4) { λan}( λ ≠ 0) ， {| an|} 皆為等比數(shù)列，公比分別為 q 和 | q |； ( 5) 若 { an} 和 { bn} 分別是公比為 q 和 p 的等比數(shù)列，則數(shù)列 { an bn} ， {anbn} 仍是等比數(shù)列 ，它們的公比分別為 pq ，qp. [例 ] (1)已知 {an}是等比數(shù)列 ， 且 an0， a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝ 25， 那么 a3＋ a5的值等于 ________． (2)等比數(shù)列 {an}中 ， 若 a9＝－ 2， 則此數(shù)列前 17項之積為 ________． (3)在等比數(shù)列中 ， 若 a1＝ 1， a5＝ 10， 則 a9＝ ________. (4)在等比數(shù)列 {an}中 ， a3a4a5＝ 3， a6a7a8＝ 24，則 a9a10a11的值是 ________． 解析： (1) 由等比數(shù)列性質 a2a4＝ a23， a4a6＝ a25， 把 a2a4＋ 2 a3a5＋ a4a6＝ 25 化為 a23＋ 2 a3a5＋ a25＝ 25 ? ( a3＋ a5)2＝ 25 ，又 an0 ? a3＋ a5＝ 5. (2) 由題意得 a1a2a3… a15a16a17 ＝ ( a1a17) ( a2a16) ( a3a15) … a9 ＝ a29 a29… a9＝ a179＝ ( － 2)17＝－ 217. ( 3) ∵ { an} 是等比數(shù)列， ∴ a1， a5， a9仍是等比數(shù)列， a25＝ a1a9， ∴ a9＝a25a1＝1001＝ 100. ( 4) ∵ { an} 是等比數(shù)列， ∴ a3 a4 a5， a6 a7 a8， a9 a10 a11仍成等比數(shù)列，此新數(shù)列公比 q ＝a6a7a8a3a4a5＝243＝ 8 ， ∴ a9a10a11＝ ( a6a7a8) q ＝ 24 8 ＝ 192. 答案： (1)5 (2)－ 217 (3)100 (4)192 [變式 ] 在等比數(shù)列 {an}中 ， 已知 a4a7＝－ 512， a3＋ a8＝ 124， 且公比為整數(shù) ， 則 a10＝ ________. 解析： 由 a4a7＝－ 512 ，知 a3a8＝－ 512. 解方程組????? a3a8＝－ 512 ，a3＋ a8＝ 124 ，得????? a3＝－ 4 ，a8＝ 128 或????? a3＝ 128 ，a8＝－ 4.( 舍去，
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