高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列(編輯修改稿)
2024-12-17 08:58 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。an＝ ap2， 求出 an， 進(jìn)而求結(jié)論 ． 解析： ∵ a5a2n－ 5＝ 22n＝ an2， an0， ∴ an＝ 2n， ∴ log2a1＋ log2a3＋ … ＋ log2a2n－ 1 ＝ log2(a1a3… a2n－ 1)＝ log221＋ 3＋ … ＋ (2n－ 1) ＝ log22n2＝ C. 在等比數(shù)列的有關(guān)計(jì)算問題中 ， 結(jié)合整 體思維 、 方程思想 ， 靈活應(yīng)用性質(zhì)會(huì)獲得事半功倍的效果 ． 變式探究 31 ： ( 20 10 年高考全國(guó)卷 Ⅰ ) 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 { a n } 中 ， a 1 a 2 a 3 ＝ 5 ，a 7 a 8 a 9 ＝ 10 ， 則 a 4 a 5 a 6 等于 ( ) ( A ) 5 2 ( B ) 7 ( C ) 6 ( D ) 4 2 解析： 由等比中項(xiàng)得 a 1 a 2 a 3 ＝ a 23＝ 5 ， a 7 a 8 a 9 ＝ a 83＝ 10 ， ∴ a 23 a 83＝ 50 ， ∴ a 56＝ 50 ， ∴ a 4 a 5 a 6 ＝ a 53＝ 50 ＝ 5 2 ，故選 A. 等比數(shù)列的綜合問題 【例 4 】 ( 201 0 年皖南八校模擬 ) 已知數(shù)列 { a n } 中 ， a 1 ＝ 2 ， a 2 ＝ 4 ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n － 2 a n － 1 ( n ≥ 2 ，n ∈ N*) ． ( 1 ) 證明 ： 數(shù)列 { a n ＋ 1 － a n } 是等比數(shù)列 ， 并求出數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式 ； ( 2 ) 記 b n ＝2 ? a n － 1 ?a n， 數(shù)列 { b n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ， 求使 S n ＞ 2 01 0 的 n 的最小值 ． 思路點(diǎn)撥： ( 1 ) 可對(duì)條件 a n ＋ 1 ＝ 3 a n － 2 a n － 1 ( n ≥ 2 ， n ∈ N*) 進(jìn)行變形，用定義證明 { a n ＋ 1 － a n }為等比數(shù)列，然后用累加法求 a n ； ( 2 ) 化簡(jiǎn) b n ，再求其前 n 項(xiàng)和 S n ，最后根據(jù) n ∈ N*確定使S n 201 0 的 n 的最小值 ． ( 1 ) 證明： ∵ an ＋ 1＝ 3 an－ 2 an － 1( n ≥ 2 ) ， ∴ ( an ＋ 1－ an) ＝ 2 ( an－ an － 1)( n ≥ 2 ) ， ∵ a1＝ 2 ， a2＝ 4 ， ∴ a2－ a1＝ 2 ≠ 0 ， an－ an － 1≠ 0 ， 故數(shù)列 { an ＋ 1－ an} 是首項(xiàng)為 2 ， 公比為 2 的等比數(shù)列 ， ∴ an ＋ 1－ an＝ ( a2－ a1) 2n － 1＝ 2n， ∴ an＝ ( an－ an － 1) ＋ ( an － 1－ an － 2) ＋ ( an － 2－ an － 3) ＋ … ＋ ( a2－ a1) ＋ a1 ＝ 2n － 1＋ 2n － 2＋ … ＋ 21＋ 2 ＝2 ? 1 － 2n － 1?1 － 2＋ 2 ＝ 2n( n ≥ 2 ) 又 a1＝ 2 滿足上式 ， ∴ an＝ 2n( n ∈ N*) ． ( 2 ) 解： 由 ( 1 ) 知 bn＝2 ? an－ 1 ?an＝ 2 ( 1 －1an) ＝ 2 ( 1 －12n ) ＝ 2 －12n － 1 ∴ Sn＝ 2 n － ( 1 ＋121 ＋122 ＋ … ＋12n － 1 ) ＝ 2 n －1 －12n1 －12＝ 2 n － 2 ( 1 －12n ) ＝ 2 n － 2 ＋12n － 1 由 Sn＞ 2 010 得 ： 2 n － 2 ＋12n － 1 ＞ 2020 ， 即 n ＋12n ＞ 1006 ， 又 ∵ n ∈ N*， ∴ n 的最小值為 100 6. 與等比數(shù)列有關(guān)的綜合問題，通常涉及等差數(shù)列、函數(shù)或不等式，求解時(shí)，關(guān)鍵是細(xì)讀題中信息，弄清各種信息的聯(lián)系，正確利用等差、等比數(shù)列的定義和有關(guān)公式求解 ． 【例 1 】 ( 2020 年高 考廣東卷 ) 已知數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列 ， S n 是它的前 n 項(xiàng)和 ， 若 a 2 a 3＝ 2 a 1 ， 且 a 4 與 2 a 7 的等差中項(xiàng)為54， 則 S 5 等于 ( ) ( A ) 35 ( B ) 33 ( C ) 31 ( D ) 29 解析： 設(shè)數(shù)列 { a n } 的公比為 q ，則 ????? a 1 q a 1 q2＝ 2 a 1a 1 q3＋ 2 a 1 q6＝52，解得????? a 1 ＝ 16q ＝12. 所以 S 5 ＝a 1 ? 1 － q5?1 － q＝16 [ 1 － ?12?5]1 －12＝ 31 ，故選 C. 【例 2 】 ( 20 10 年高考遼寧卷 ) 設(shè) { an} 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列 ， Sn為其前 n 項(xiàng)和 ． 已知a2a4＝ 1 ， S3＝ 7 ， 則 S5等于 ( ) ( A )152 (
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