高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列-展示頁(yè)
2024-11-23 08:58本頁(yè)面
【正文】 4．能利用等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和． 5．能運(yùn)用數(shù)列的等比關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題． 1 ． 等比數(shù)列的定義 一般地 ， 如果一個(gè)數(shù)列從 第 2 項(xiàng) 起 ， 每一項(xiàng)與它的 前一項(xiàng) 的比等于同一常數(shù) ， 那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列 ， 這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比 ， 公比通常用字母 q ( q ≠ 0 ) 表示 ． 定義的符號(hào)表示是a n ＋ 1a n＝ q ( q 是常數(shù)且 q ≠ 0 ， n ∈ N*) ， 或a na n － 1＝ q ( n ≥ 2 ， q 為常數(shù)且 q ≠ 0 ) ． 質(zhì)疑探究 1 ： 常數(shù)列是公比為 1 的等比數(shù)列嗎 ？ 提示： 不一定，當(dāng)常數(shù)列的各項(xiàng)均為 0 時(shí)，它不是等比數(shù)列 ． 2 ． 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 設(shè)等比數(shù)列 { a n } 的首項(xiàng)為 a 1 ， 公比為 q ， 則它的通項(xiàng)公式 a n ＝ a 1 qn － 1. 3 ． 等比中項(xiàng) 如果三個(gè)數(shù) a 、 G 、 b 組成 等比數(shù)列 ， 則 G 叫做 a 和 b 的等比中項(xiàng) ， 那么Ga＝bG， 即 G2＝ ab . 質(zhì)疑探究 2 ： b2＝ ac 是 a ， b ， c 成等比數(shù)列的什么條件 ？ 提示： 必要而不充分條件，因?yàn)?b2＝ ac 得不出 a ， b ， c 成等比數(shù)列 ( 如 a ＝ 0 ， b ＝ 0 ， c＝ 1 ) ，而 a ， b ， c 成等比數(shù)列，則必有 b2＝ ac . 4 ． 等比數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和公式 ( 1 ) 公式的推導(dǎo) ： 推導(dǎo)等比數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和公式的方法是錯(cuò)位相減法 ． ( 2 ) 前 n 項(xiàng)和公式： S n ＝????? na 1 ? q ＝ 1 ?a 1 ? 1 － qn?1 － q＝a 1 － a n q1 － q? q ≠ 1 ?. 質(zhì)疑探究 3： 如何求數(shù)列 a， a2， a3， a4， … ， an的和 ？ 提示： 分類討論 ， 按 a＝ 0， a＝ 1， a≠0且 a≠1分別求解 ． 等比數(shù)列 {an}具有以下常用性質(zhì)： (1)在等比數(shù)列 {an}中 ， 若 m＋ n＝ p＋ q＝ 2r(m， n， p， q， r∈ N*)， 則 aman＝ ap 64 ( C ) 64 ( D ) 256 解析： 由已知可得 a 1 a 11 ＝ 4 a 7 ， 數(shù)列 { b n } 是等差數(shù)列 ， 且 b 7 ＝ a 7 ， 則 b 5 ＋ b 9等于 __ ____ __ ． 解析： ∵ a 3 a 11 ＝ a 72＝ 4 a 7 ， a 7 ≠ 0 ， ∴ a 7 ＝ 4 ， ∴ b 7 ＝ 4. ∵ { b n } 為等差數(shù)列， ∴ b 5 ＋ b 9 ＝ 2 b 7 ＝ 8. 答案： 8 等比數(shù)列的判定與證明 【例 1 】 ( 200 9 年高考陜西卷 ) 已知數(shù)列 { an} 滿足 a1＝ 1 ， a2＝ 2 ， an ＋ 2＝an＋ an ＋ 12， n ∈ N*. ( 1 ) 令 bn＝ an ＋ 1－ an， 證明 ： { bn} 是等比數(shù)列 ． ( 2 ) 求 { an} 的通項(xiàng)公式 ． 思路點(diǎn)撥： ( 1 ) 利用等比數(shù)列的定義證明，即只需證 bn＝ qbn － 1( q 為常數(shù)， n ≥ 2 ) ； ( 2 ) 利用 ( 1 ) 的結(jié)果，通過(guò)累加法求出 an. ( 1 ) 證明： ∵ b1＝ a2－ a1＝ 1 ， 當(dāng) n ≥ 2 時(shí) ， bn＝ an ＋ 1－ an＝an － 1＋ an2－ an ＝－12( an－ an － 1) ＝－12bn － 1， ∴ { bn} 是首項(xiàng)為 1 ， 公比為 －12的等比數(shù)列 ． ( 2 ) 解： 由 ( 1 ) 知 bn＝ an ＋ 1－ an＝ ( －12)n － 1， 當(dāng) n ≥ 2 時(shí) ， an＝ a1＋ ( a2－ a1) ＋ ( a3－ a2) ＋ … ＋ ( an－ an － 1) ＝ 1 ＋ 1 ＋ ( －12) ＋ … ＋ ( －12)n － 2 ＝ 1 ＋1 － ? －12?n － 11 － ? －12?＝ 1 ＋23[ 1 － ( －12)n － 1] ＝53－23( －12)n － 1， ∵ 當(dāng) n ＝ 1 時(shí) ，53－23 ( －12)1 － 1＝ 1 ＝ a1， ∴ an＝53－23( －12)n － 1( n ∈ N*) ． 判定或證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，常用兩種方法：一是利用等比數(shù)列的定義，即證明an ＋ 1an＝ q ( q ≠ 0 ) ，二是利用等比中項(xiàng)，即證明 an ＋ 12＝ an a 4＝12. ( 1 ) 求數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式 ； ( 2 ) 若 b n ＝1 － ? － 1 ?n2a n ， 求證 ： b 1 ＋ b 2 ＋ b 3 ＋ … ＋ b 2 n － 1 163. 思路點(diǎn)撥： ( 1 ) 先求 a
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