辛等比數(shù)列題型ppt課件(參考版)
2025-05-06 18:33本頁面
【正文】 2， 故 f(1， n)＝ f(1,1)＋ 2n－ 2＝ 2n－ 1. (2)由條件 ③ 知 f(m＋ 1,1)＝ 2f(m,1)， 即 f(m,1)是一等比數(shù)列 ． ∴ f(m,1)＝ f(1,1)Sn － 1n － 1＝ 4 an( n ≥ 2) ． 又 a2＝ 3 ， S1＝ 1 ，故 S2＝ a1＋ a2＝ 4 ＝ 4 a1. 因此對于任意正整數(shù) n ≥ 1 ，都有 Sn ＋ 1＝ 4 an. 數(shù)列實際應(yīng)用題常與現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實際中的具體事件相聯(lián)系 ． 建立數(shù)學(xué)模型是解決這類問題的核心 ， 常用的方法有： (1)構(gòu)造等差 、 等比數(shù)列的模型 ， 然后再應(yīng)用數(shù)列的通項公式和求和公式求解； (2)通過歸納得到結(jié)論 ， 在用數(shù)列知識求解 ． 建立數(shù)學(xué)模型時 ， 應(yīng)明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列 ， 是求 an， n還是求 Sn. [例 9] 從盛滿 a L(a1)純酒精的容器里倒出 1 L， 然后灌滿水 ， 再倒出 1 L混合液后又用水灌滿 ， 如此繼續(xù)下去 ，問第 n次操作后溶液的質(zhì)量分數(shù)是多少 ？ 若 a＝ 2時至少應(yīng)倒幾次后才能使酒精的質(zhì)量分數(shù)低于 10%? 解析： 記操作 n 次后溶液的質(zhì)量分數(shù)為 an， 依題意得 a1＝ 1 －1a，操作第 2 次后溶液的質(zhì)量分數(shù)為 a2＝? a － 1 ? － ? 1 －1a? 1a＝? a － 1 ? － ? 1 －1a?a ＝ (1 －1a)2. 操作第 3 次后溶液的質(zhì)量分數(shù)為 a3＝ a2Sn(n＝ 1,2,3， … )． 證明： (1)數(shù)列 是等比數(shù)列； (2)Sn＋ 1＝ 4an. 解析： ( 1) ∵ an ＋ 1＝ Sn ＋ 1－ Sn， an ＋ 1＝n ＋ 2nSn， ∴ ( n ＋ 2) Sn＝ n ( Sn ＋ 1－ Sn) ， 整理得 nSn ＋ 1＝ 2( n ＋ 1) Sn，所以Sn ＋ 1n ＋ 1＝ 23n－ 1， ∴ kn＝ 23n－ 1＝ 2d a11仍成等比數(shù)列，此新數(shù)列公比 q ＝a6a7a8a3a4a5＝243＝ 8 ， ∴ a9a10a11＝ ( a6a7a8) a8， a9 a5， a6 a9＝ a179＝ ( － 2)17＝－ 217. ( 3) ∵ { an} 是等比數(shù)列， ∴ a1， a5， a9仍是等比數(shù)列， a25＝ a1a9， ∴ a9＝a25a1＝1001＝ 100. ( 4) ∵ { an} 是等比數(shù)列， ∴ a3 a29 ( a2a16)a10a7a4an＝ ， 與首末兩項等距離的兩項的積等于首末兩項的積； (3)等比數(shù)列中每隔一定項取出一項按原來順序排列構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列 ． 例如 am， a2m， a3m也成等比數(shù)列； ( 4) { λan}( λ ≠ 0) ， {| an|} 皆為等比數(shù)列，公比分別為 q 和 | q |； ( 5) 若 { an} 和 { bn} 分別是公比為 q 和 p 的等比數(shù)列，則數(shù)列 { anan＝ap 3. 常用的等比數(shù)列的性質(zhì)有以下幾種： 設(shè) {an}是公比為 q的等比數(shù)列 ， 那么 (1)an＝ am a7＝ a21 ① 可得 q (1 － q ) ＝14， ∴ q ＝12，此時 a1＝42q 12n － 4 . [變式 ] 已知數(shù)列 {an}為等比數(shù)列 ， 且 a1＋ a2＋ a3＝ 7，a1a2a3＝ 8， 求 an. 解析： 解法 1：由已知 a1＋ a2＋ a3＝ 7， a1a2a3＝ 8 即 2 q2－ 5 q ＋ 2 ＝ 0. 解得 q ＝ 2 或 q ＝12. 當(dāng) q ＝ 2 時， a1＝ 1 ， ∴ an＝ 2n － 1； 當(dāng) q ＝12時， a1＝ 4 ， ∴ an＝ 23 － n. 解法 2 ：因為 a1a3＝ a22，所以由 a1a2a3＝ 8 得 a32＝ 8. 解得 a2＝ 2. 代入已知得????? a1＋ a3＝ 5 ，a1a3＝ 4 ，解得????? a1＝ 1 ，a3＝ 4或????? a1＝ 4 ，a3＝ 1. 當(dāng) a1＝ 1 時， q ＝ 2 ， ∴ an＝ 2n － 1； 當(dāng) a1＝ 4 時， q ＝12， ∴ an＝ 23 － n. [例 4] 三個互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列 ， 如果適當(dāng)排列這三個數(shù) ， 又可成為等比數(shù)列 ， 這三個數(shù)的和為 6， 求這三個數(shù) ． 分析： 三個數(shù)適當(dāng)排列 ， 不同的排列方法有 6種 ， 但這里不必分成 6種 ， 因為若以三個數(shù)中一個數(shù)為等比中項 ，則只有三種情況 ， 因此對于分類討論問題 ， 恰當(dāng)?shù)姆诸愂墙夂脝栴}的關(guān)鍵 ． 解析： 由已知 ， 可設(shè)這三個數(shù)為 a－ d， a， a＋ d， 則
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