辛等比數(shù)列題型ppt課件-閱讀頁
2025-05-18 18:33本頁面
【正文】 為 0,4,8,16； 當(dāng) a＝ 9， d＝－ 6時，所求四個數(shù)為 15,9,3,1. 解法 2 ：設(shè)四個數(shù)依次為2 aq－ a ，aq， a ， aq ( a ≠ 0) ． 由條件得????? 2 aq－ a ＋ aq ＝ 16 ，aq＋ a ＝ 12. 解得????? q ＝ 2 ，a ＝ 8或????? q ＝13，a ＝ 3. 當(dāng) q ＝ 2 ， a ＝ 8 時，所求四個數(shù)為 0,4,8,16 ； 當(dāng) q ＝13， a ＝ 3 時，所求四個數(shù)為 15,9,3,1. 解法 3 ：設(shè)四個數(shù)依次為 x ， y, 12 － y, 16 － x . 由條件得????? 2 y ＝ x ＋ ? 12 － y ? ，? 12 － y ?2＝ y ? 16 － x ? . 解得????? x ＝ 0 ，y ＝ 4或????? x ＝ 15 ，y ＝ 9. [變式 ] 設(shè) {an}是公差 d≠0的等差數(shù)列 ， 且 ak1，ak2， … ， akn… 恰好構(gòu)成等比數(shù)列 ， 其中 k1＝ 1， k2＝ 5， k3＝ 17， 求 kn. 解析： 由題意： a 1 ， a 5 ， a 17 成等比數(shù)列． ∴ ( a 1 ＋ 4 d )2＝ a 1 ( a 1 ＋ 16 d ) ， 又 d ≠ 0 ， ∴ a 1 ＝ 2 d ， ∴ ak 1 ， ak 2 ， ak 3 ， … ， ak n 的公比 q ＝a 5a 1＝a 1 ＋ 4 da 1＝6 d2 d＝ 3 ， ∴ 在等差數(shù)列中 ， akn＝ a1＋ (kn－ 1)d＝ (kn＋ 1)d； 在等比數(shù)列中 ， akn＝ a1qn－ 1＝ a13n－ 1， ∴ (kn＋ 1)d＝ 2d3n－ 1－ 1. [例 ] 數(shù)列 {an}中 ， a1＝ 2， an＋ 1＝ an＋ (c是常數(shù) ， n＝ 1,2,3， … )， 且 a1， a2， a3成公比不為 1的等比數(shù)列 ． (1)求 c的值； (2)求 {an}的通項公式 ． 解析： (1)a1＝ 2， a2＝ 2＋ c， a3＝ 2＋ 3c， ∵ a1， a2， a3成等比數(shù)列 ， ∴ (2＋ c)2＝ 2(2＋ 3c)， 解得 c＝ 0或 c＝ 2. 當(dāng) c＝ 0時 ， a1＝ a2＝ a3， 不符合題意 ， 舍去 ， 故 c＝ 2. (2) 當(dāng) n ≥ 2 時，由于 a2－ a1＝ c ， a3－ a2＝ 2 c ， …… an－ an－1＝ ( n － 1) c ， ∴ an－ a1＝ [1 ＋ 2 ＋ … ＋ ( n － 1) ] c ＝n ? n － 1 ?2c . 又 a1＝ 2 ， c ＝ 2 ，故 an＝ 2 ＋ n ( n － 1) ＝ n2－ n ＋ 2( n ＝ 2,3 ， … ) ．當(dāng)n ＝ 1 時，上式也成立． ∴ an＝ n2－ n ＋ 2( n ＝ 1,2 ， … ) ． [變式訓(xùn)練 8] 數(shù)列 {an}的前 n項和記為 Sn， 已知 a1＝ 1，an＋ 1＝ Snn. 故 {Snn} 是以 2 為公比的等比數(shù)列． ( 2) 由 ( 1) 知Sn ＋ 1n ＋ 1＝ 4 Sn － 1n － 1( n ≥ 2) ． 于是 Sn ＋ 1＝ 4( n ＋ 1) ( 1 －1a) ． 依題意得 an＋1＝ an(1 －1a) ， ∴ { an} 是以 1 －1a為首項， 1 －1a為公比的等比數(shù)列， ∴ an＝ a1qn － 1＝ (1 －1a)n， 即第 n 次操作后酒精的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為 (1 －1a)n. 當(dāng) a ＝ 2 時，由 an＝ (1 －1a)n110得 n ≥ 4 ， 故至少應(yīng)操作 4 次后才能使酒精的質(zhì)量分?jǐn)?shù)低于 10% . [變式訓(xùn)練 9] 如圖是一個計算裝置示意圖 ， J J2是數(shù)據(jù)入口 ， C是計算結(jié)果的出口 ， 計算過程是由 J1， J2分別輸入自然數(shù) m和 n， 經(jīng)過計算后得自然數(shù) K由 C輸出 ， 此種計算裝置完成的計算滿足以下三個性質(zhì)： ① 若 J1， J2分別輸入 1， 則輸出結(jié)果為 1； ② 若 J1輸入任何固定自然數(shù)不變 ， J2輸入自然數(shù)增大 1， 則輸出的結(jié)果比原來增大 2； ③ 若 J2輸入 1， J1輸入自然數(shù)增大 1， 則輸出結(jié)果為原來的 2倍 ． 試問： (1)若 J1輸入 1， J2輸入自然數(shù) n， 輸出結(jié)果為多少 ？ (2)若 J2輸入 1， J1輸入自然數(shù) m， 輸出結(jié)果為多少 ？ (3)若 J1輸入自然數(shù) m， J2輸入自然數(shù) n， 輸出結(jié)果為多少 ？ 解析： (1)由條件 ① 有 f(1,1)＝ 1， 由條件 ② 知 f(m， n＋ 1)＝ f(m， n)＋ 2， 即當(dāng) m固定時 ， f(m， n)成等差數(shù)列 ． ∴ f(m， n)＝ f(m,1)＋ (n－ 1)2m－ 1＝ 2m－ 1. (3)綜合 (1)、 (2)知 f(m， n)＝ f(m,1)＋ 2(n－ 1)＝ 2m－ 1＋ 2n－ 2. 評析： 本題信息量大 ， 粗看不知如何入手 ， 但若把條件寫成二元函數(shù)式 ， 并把它看做某一變量的函數(shù) ， 抽象出等差或等比數(shù)列模型 ， 問題便迎刃而解 .
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