【正文】 2，求 a5， a7的等比中項 ． 分析： 利用已知條件 ， 列出關(guān)于首項 a1和公比 q的方程組 ， 求出 a1和 q后 ， 問題便得以解決 ． 解析： 設(shè)該等比數(shù)列的首項為 a1， 公比為 q， 由已知得 ∵ 1 － q3＝ (1 － q )(1 ＋ q ＋ q2) ， ∴ 由 ② 247。 ( － 3)6＝－ 729. 解法 2 ： ∵ a7＝ a1q6， a4＝ a1q3， ∴ a7＝ a4 q3得 27 ＝ a1(32)n － 1. 應(yīng)用等比數(shù)列的通項公式時，常常解方程或方程組，若同時考慮到等比數(shù)列的性質(zhì)，會起到事半功倍的效果． [ 例 3] 在等比數(shù)列 { a n } 中， a 2 ＝ 4 ， a 5 ＝－12，求 a n . 解析： 解法 1 ：由已知，有 a2＝ 4 ， a5＝－12. 由????? a1q ＝ 4 ，a1q4＝－12.得 a1＝－ 8 ， q ＝－12. ∴ an＝ ( － 8) ( －12)n － 1，即 an＝ ( － 1)n 3. 常用的等比數(shù)列的性質(zhì)有以下幾種： 設(shè) {an}是公比為 q的等比數(shù)列 ， 那么 (1)an＝ ama7 a9＝ a179＝ ( － 2)17＝－ 217. ( 3) ∵ { an} 是等比數(shù)列， ∴ a1， a5， a9仍是等比數(shù)列， a25＝ a1a9， ∴ a9＝a25a1＝1001＝ 100. ( 4) ∵ { an} 是等比數(shù)列， ∴ a33n－ 1＝ 2d2， 故 f(1， n)＝ f(1,1)＋ 2n－ 2＝ 2n－ 1. (2)由條件 ③ 知 f(m＋ 1,1)＝ 2f(m,1)， 即 f(m,1)是一等比數(shù)列 ． ∴ f(m,1)＝ f(1,1)3n－ 1， ∴ kn＝ 2 a5， a6a10an＝ap12n － 4 . [變式 ] 已知數(shù)列 {an}為等比數(shù)列 ， 且 a1＋ a2＋ a3＝ 7，a1a2a3＝ 8， 求 an. 解析： 解法 1：由已知 a1＋ a2＋ a3＝ 7， a1a2a3＝ 8 即 2 q2－ 5 q ＋ 2 ＝ 0. 解得 q ＝ 2 或 q ＝12. 當(dāng) q ＝ 2 時， a1＝ 1 ， ∴ an＝ 2n － 1； 當(dāng) q ＝12時， a1＝ 4 ， ∴ an＝ 23 － n. 解法 2 ：因為 a1a3＝ a22，所以由 a1a2a3＝ 8 得 a32＝ 8. 解得 a2＝ 2. 代入已知得????? a1＋ a3＝ 5 ，a1a3＝ 4 ，解得????? a1＝ 1 ，a3＝ 4或????? a1＝ 4 ，a3＝ 1. 當(dāng) a1＝ 1 時， q ＝ 2 ， ∴ an＝ 2n － 1； 當(dāng) a1＝ 4 時， q ＝12， ∴ an＝ 23 － n. [例 4] 三個互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列 ， 如果適當(dāng)排列這三個數(shù) ， 又可成為等比數(shù)列 ， 這三個數(shù)的和為 6， 求這三個數(shù) ． 分析： 三個數(shù)適當(dāng)排列 ， 不同的排列方法有 6種 ， 但這里不必分成 6種 ， 因為若以三個數(shù)中一個數(shù)為等比中項 ，則只有三種情況 ， 因此對于分類討論問題 ， 恰當(dāng)?shù)姆诸愂墙夂脝栴}的關(guān)鍵 ． 解析： 由已知 ， 可設(shè)這三個數(shù)為 a－ d， a， a＋ d， 則 a－ d＋ a＋ a＋ d＝ 6， ∴ a＝ 2. 這三個數(shù)可表示為 2－ d,2,2＋ d， ① 若 2－ d為等比中項 ， 則有 (2－ d)2＝ 2(2＋ d)， 解之得d＝ 6或 d＝ 0(舍去 )． 此時三個數(shù)為－ 4,2,8. ② 若 2＋ d是等比中項 ， 則有 (2＋ d)2＝ 2(2－ d)， 解之得d＝－ 6若 d＝ 0(舍去 )． 此時三個數(shù)為 8,2， － 4. ③ 若 2為等比中項 ， 則 22＝ (2＋ d) q6＝ ( － 1) ( － 3)3，得 a1＝－ 1 ，∴ a7＝ a112n － 4 . 解法 2 ：由已知 a5＝ a2q3. 則 q3＝a5a2＝－124＝－18. ∴ q ＝－12. ∴ an＝ a2qn － 2＝ 4 ( －12)n － 2 ＝ ( － 2)2 ( －12)n － 2＝ ( － 1)nqn－ m； (2)如果 m， n， p， q∈ N*， 且 m＋ n＝ p＋ q， 則 ama8＝ 24，則 a9 a43n－ 1， ∴ (kn＋ 1)d＝ 2d2m－ 1＝ 2m－ 1. (3)綜合 (1)、 (2)知 f(m， n)＝ f(m,1)＋ 2(n－ 1)＝ 2m－ 1＋ 2n－ 2. 評析： 本題信息量大 ， 粗看不知如何入手 ， 但若把條件寫成二元函數(shù)式 ， 并把它看做某一變量的函數(shù) ， 抽象出等差或等比數(shù)列模型 ， 問題便迎刃而解 .