辛等比數(shù)列題型ppt課件-wenkub
2023-05-18 18:33:56 本頁面
【正文】 n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?＝ an－1n ? n ＋ 1 ?， ∴ an＋1－1? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?＝12[ an－1n ? n ＋ 1 ?] ． ∵ bn＝ an－1n ? n ＋ 1 ?， ∴ bn ＋ 1＝12bn，即bn ＋ 1bn＝12， ∴ 數(shù)列 { bn} 是以 b1＝ a1－12＝12為首項(xiàng)，12為公比的等比數(shù)列． (2) 由 ( 1) 知： bn＝12 (12)n － 1＝12n ， 又 ∵ bn＝ an－1n ? n ＋ 1 ?， ∴ an＝12n ＋1n ? n ＋ 1 ?. [例 7] 有四個(gè)數(shù) ， 其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 ， 后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列 ， 并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)和是 16， 第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是 12， 求這四個(gè)數(shù) ． 解析： 解法 1 ：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為 a － d ， a ， a ＋ d ，? a ＋ d ?2a， 由條件得????? a － d ＋? a ＋ d ?2a＝ 16 ，a ＋ ? a ＋ d ? ＝ 12. 解得????? a ＝ 4 ，d ＝ 4或????? a ＝ 9 ，d ＝－ 6. 當(dāng) a＝ 4， d＝ 4時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為 0,4,8,16； 當(dāng) a＝ 9， d＝－ 6時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為 15,9,3,1. 解法 2 ：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為2 aq－ a ，aq， a ， aq ( a ≠ 0) ． 由條件得????? 2 aq－ a ＋ aq ＝ 16 ，aq＋ a ＝ 12. 解得????? q ＝ 2 ，a ＝ 8或????? q ＝13，a ＝ 3. 當(dāng) q ＝ 2 ， a ＝ 8 時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為 0,4,8,16 ； 當(dāng) q ＝13， a ＝ 3 時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為 15,9,3,1. 解法 3 ：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為 x ， y, 12 － y, 16 － x . 由條件得????? 2 y ＝ x ＋ ? 12 － y ? ，? 12 － y ?2＝ y ? 16 － x ? . 解得????? x ＝ 0 ，y ＝ 4或????? x ＝ 15 ，y ＝ 9. [變式 ] 設(shè) {an}是公差 d≠0的等差數(shù)列 ， 且 ak1，ak2， … ， akn… 恰好構(gòu)成等比數(shù)列 ， 其中 k1＝ 1， k2＝ 5， k3＝ 17， 求 kn. 解析： 由題意： a 1 ， a 5 ， a 17 成等比數(shù)列． ∴ ( a 1 ＋ 4 d )2＝ a 1 ( a 1 ＋ 16 d ) ， 又 d ≠ 0 ， ∴ a 1 ＝ 2 d ， ∴ ak 1 ， ak 2 ， ak 3 ， … ， ak n 的公比 q ＝a 5a 1＝a 1 ＋ 4 da 1＝6 d2 d＝ 3 ， ∴ 在等差數(shù)列中 ， akn＝ a1＋ (kn－ 1)d＝ (kn＋ 1)d； 在等比數(shù)列中 ， akn＝ a1qn－ 1＝ a1 a7… a11的值是 ________． 解析： (1) 由等比數(shù)列性質(zhì) a2a4＝ a23， a4a6＝ a25， 把 a2a4＋ 2 a3a5＋ a4a6＝ 25 化為 a23＋ 2 a3a5＋ a25＝ 25 ? ( a3＋ a5)2＝ 25 ，又 an0 ? a3＋ a5＝ 5. (2) 由題意得 a1a2a3… a15a16a17 ＝ ( a1a17)a5＝ 3， a6aq(反之不一定成立 ， 例如常數(shù)列 )． 特別地 ， 當(dāng) m＋ n＝2p時(shí) ， 有 am q10＝962 (12)10＝ 9. ∴ a5， a7的等比中項(xiàng)是 177。(2－ d)， ∴ d＝ 0(舍去 )． 綜上 ， 可求得此三數(shù)為－ 4,2,8. [變式 ] 已知等比數(shù)列的前 3項(xiàng)和為 168， a2－ a5＝ 42，求 a5， a7的等比中項(xiàng) ． 分析： 利用已知條件 ， 列出關(guān)于首項(xiàng) a1和公比 q的方程組 ， 求出 a1和 q后 ， 問題便得以解決 ． 解析： 設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為 a1， 公比為 q， 由已知得 ∵ 1 － q3＝ (1 － q )(1 ＋ q ＋ q2) ， ∴ 由 ② 247。 an＋2( n ∈ N*) ? { an} 為等比數(shù)列． [例 ] 數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn， 數(shù)列 {bn}中 b1＝ a1， bn＝ an－ an－ 1(n≥2)， 若 an＋ Sn＝ n. (1)設(shè) ＝ an－ 1， 求證數(shù)列 {}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)公式 ． 解析： (1) ∵ a1＝ S1， an＋ Sn＝ n ， ∴ a1＋ S1＝ 1 ，得 a1＝12. 又 a
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