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辛等比數(shù)列題型ppt課件-文庫吧在線文庫

2025-06-05 18:33上一頁面

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【正文】 ,即 bn=12n ( n ∈ N + ) . [變式 ] 已知數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn= 3an+ 1, 求證:{an}是等比數(shù)列 , 并求出通項(xiàng)公式 . 證明: ∵ Sn= 3 an+ 1 , ∴ Sn + 1= 3 an + 1+ 1 , ∴ Sn + 1- Sn= an + 1= (3 an + 1+ 1) - (3 an+ 1) = 3 an + 1- 3 an, ∴ 2 an + 1= 3 an, ① 又 ∵ S1= a1= 3 a1+ 1 , ∴ a1=-12≠ 0 , 由 ① 式可知, an≠ 0 , ∴ 由an+1an=32知 { an} 是等比數(shù)列. an=-12 q10=962 (12)10= 9. ∴ a5, a7的等比中項(xiàng)是 177。a5= 3, a6… q = 24 8 = 192. 答案: (1)5 (2)- 217 (3)100 (4)192 [變式 ] 在等比數(shù)列 {an}中 , 已知 a4a7=- 512, a3+ a8= 124, 且公比為整數(shù) , 則 a10= ________. 解析: 由 a4a7=- 512 ,知 a3a8=- 512. 解方程組????? a3a8=- 512 ,a3+ a8= 124 ,得????? a3=- 4 ,a8= 128 或????? a3= 128 ,a8=- 4.( 舍去,因?yàn)榇藭r(shí) q 不為整數(shù). ) 所以 q = 5a8a3=- 2 , 所以 a10= a3q7=- 4 ( - 2)7= 512. 答案: 512 評析: 本題若把條件表示為 a q的形式亦可解決 , 但運(yùn)算步驟較麻煩 , 因此解題時(shí)要合理選擇方法 . [ 例 6] 數(shù)列 { a n } 中,滿足 a n + 1 =12a n + 1 且 a 1 = 1 ,求 a n . 解析: 由 an + 1=12an+ 1 得 an + 1- 2 =12( an- 2) , ∴ 數(shù)列 { an- 2} 是以 a1- 2 = 1 - 2 =- 1 為首項(xiàng),公比為12的等比數(shù)列. ∴ an- 2 =- 1 (12)n - 1,即 an=- (12)n - 1+ 2 . [ 變式 ] 已知數(shù)列 { an} 中, a1= 1,2 an + 1- an=n - 2n ? n + 1 ?? n + 2 ?. ( 1) 若 bn= an-1n ? n + 1 ?,求證:數(shù)列 { bn} 是等比數(shù)列; ( 2) 求數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式. 解析: (1) 證明: 由 2 an+1- an=n - 2n ? n + 1 ?? n + 2 ?得 2 an+1- an=2 n - ? n + 2 ?n ? n + 1 ?? n + 2 ? =2? n + 1 ?? n + 2 ?-1n ? n + 1 ?, ∴ 2 an+1-2? n + 1 ?? n + 2 ?= an-1n ? n + 1 ?, ∴ an+1-1? n + 1 ?? n + 2 ?=12[ an-1n ? n + 1 ?] . ∵ bn= an-1n ? n + 1 ?, ∴ bn + 1=12bn,即bn + 1bn=12, ∴ 數(shù)列 { bn} 是以 b1= a1-12=12為首項(xiàng),12為公比的等比數(shù)列. (2) 由 ( 1) 知: bn=12 (12)n - 1=12n , 又 ∵ bn= an-1n ? n + 1 ?, ∴ an=12n +1n ? n + 1 ?. [例 7] 有四個(gè)數(shù) , 其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 , 后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列 , 并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)和是 16, 第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是 12, 求這四個(gè)數(shù) . 解析: 解法 1 :設(shè)四個(gè)數(shù)依次為 a - d , a , a + d ,? a + d ?2a, 由條件得????? a - d +? a + d ?2a= 16 ,a + ? a + d ? = 12. 解得????? a = 4 ,d = 4或????? a = 9 ,d =- 6. 當(dāng) a= 4, d= 4時(shí),所求四個(gè)數(shù)為 0,4,8,16; 當(dāng) a= 9, d=- 6時(shí),所求四個(gè)數(shù)為 15,9,3,1. 解法 2 :設(shè)四個(gè)數(shù)依次為2 aq- a ,aq, a , aq ( a ≠ 0) . 由條件得????? 2 a
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