辛等比數(shù)列題型ppt課件-wenkub.com
2025-04-30 18:33 本頁面
【正文】 ( 1 －1a) ． 依題意得 an＋1＝ an(1 －1a) ， ∴ { an} 是以 1 －1a為首項(xiàng)， 1 －1a為公比的等比數(shù)列， ∴ an＝ a1qn － 1＝ (1 －1a)n， 即第 n 次操作后酒精的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為 (1 －1a)n. 當(dāng) a ＝ 2 時(shí)，由 an＝ (1 －1a)n110得 n ≥ 4 ， 故至少應(yīng)操作 4 次后才能使酒精的質(zhì)量分?jǐn)?shù)低于 10% . [變式訓(xùn)練 9] 如圖是一個(gè)計(jì)算裝置示意圖 ， J J2是數(shù)據(jù)入口 ， C是計(jì)算結(jié)果的出口 ， 計(jì)算過程是由 J1， J2分別輸入自然數(shù) m和 n， 經(jīng)過計(jì)算后得自然數(shù) K由 C輸出 ， 此種計(jì)算裝置完成的計(jì)算滿足以下三個(gè)性質(zhì)： ① 若 J1， J2分別輸入 1， 則輸出結(jié)果為 1； ② 若 J1輸入任何固定自然數(shù)不變 ， J2輸入自然數(shù)增大 1， 則輸出的結(jié)果比原來增大 2； ③ 若 J2輸入 1， J1輸入自然數(shù)增大 1， 則輸出結(jié)果為原來的 2倍 ． 試問： (1)若 J1輸入 1， J2輸入自然數(shù) n， 輸出結(jié)果為多少 ？ (2)若 J2輸入 1， J1輸入自然數(shù) m， 輸出結(jié)果為多少 ？ (3)若 J1輸入自然數(shù) m， J2輸入自然數(shù) n， 輸出結(jié)果為多少 ？ 解析： (1)由條件 ① 有 f(1,1)＝ 1， 由條件 ② 知 f(m， n＋ 1)＝ f(m， n)＋ 2， 即當(dāng) m固定時(shí) ， f(m， n)成等差數(shù)列 ． ∴ f(m， n)＝ f(m,1)＋ (n－ 1)3n－ 1－ 1. [例 ] 數(shù)列 {an}中 ， a1＝ 2， an＋ 1＝ an＋ (c是常數(shù) ， n＝ 1,2,3， … )， 且 a1， a2， a3成公比不為 1的等比數(shù)列 ． (1)求 c的值； (2)求 {an}的通項(xiàng)公式 ． 解析： (1)a1＝ 2， a2＝ 2＋ c， a3＝ 2＋ 3c， ∵ a1， a2， a3成等比數(shù)列 ， ∴ (2＋ c)2＝ 2(2＋ 3c)， 解得 c＝ 0或 c＝ 2. 當(dāng) c＝ 0時(shí) ， a1＝ a2＝ a3， 不符合題意 ， 舍去 ， 故 c＝ 2. (2) 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)，由于 a2－ a1＝ c ， a3－ a2＝ 2 c ， …… an－ an－1＝ ( n － 1) c ， ∴ an－ a1＝ [1 ＋ 2 ＋ … ＋ ( n － 1) ] c ＝n ? n － 1 ?2c . 又 a1＝ 2 ， c ＝ 2 ，故 an＝ 2 ＋ n ( n － 1) ＝ n2－ n ＋ 2( n ＝ 2,3 ， … ) ．當(dāng)n ＝ 1 時(shí)，上式也成立． ∴ an＝ n2－ n ＋ 2( n ＝ 1,2 ， … ) ． [變式訓(xùn)練 8] 數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和記為 Sn， 已知 a1＝ 1，an＋ 1＝ q ＝ 24 8 ＝ 192. 答案： (1)5 (2)－ 217 (3)100 (4)192 [變式 ] 在等比數(shù)列 {an}中 ， 已知 a4a7＝－ 512， a3＋ a8＝ 124， 且公比為整數(shù) ， 則 a10＝ ________. 解析： 由 a4a7＝－ 512 ，知 a3a8＝－ 512. 解方程組????? a3a8＝－ 512 ，a3＋ a8＝ 124 ，得????? a3＝－ 4 ，a8＝ 128 或????? a3＝ 128 ，a8＝－ 4.( 舍去，因?yàn)榇藭r(shí) q 不為整數(shù)． ) 所以 q ＝ 5a8a3＝－ 2 ， 所以 a10＝ a3q7＝－ 4 ( － 2)7＝ 512. 答案： 512 評(píng)析： 本題若把條件表示為 a q的形式亦可解決 ， 但運(yùn)算步驟較麻煩 ， 因此解題時(shí)要合理選擇方法 ． [ 例 6] 數(shù)列 { a n } 中，滿足 a n ＋ 1 ＝12a n ＋ 1 且 a 1 ＝ 1 ，求 a n . 解析： 由 an ＋ 1＝12an＋ 1 得 an ＋ 1－ 2 ＝12( an－ 2) ， ∴ 數(shù)列 { an－ 2} 是以 a1－ 2 ＝ 1 － 2 ＝－ 1 為首項(xiàng)，公比為12的等比數(shù)列． ∴ an－ 2 ＝－ 1 (12)n － 1，即 an＝－ (12)n － 1＋ 2 . [ 變式 ] 已知數(shù)列 { an} 中， a1＝ 1,2 an ＋ 1－ an＝n － 2n ? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?. ( 1) 若 bn＝ an－1n ? n ＋ 1 ?，求證：數(shù)列 { bn} 是等比數(shù)列； ( 2) 求數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式． 解析： (1) 證明： 由 2 an＋1－ an＝n － 2n ? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?得 2 an＋1－ an＝2 n － ? n ＋ 2 ?n ? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ? ＝2? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?－1n ? n ＋ 1 ?， ∴ 2 an＋1－2?
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