高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列-wenkub.com
2024-11-07 08:58 本頁(yè)面
【正文】 2 b n － 1b n － 1 ＋ 3， ∴ b n b n － 1 ＋ 3 b n ＝ 3 b n － 1 ， 推出1b n－1b n － 1＝13， ∴ {1b n} 是以 1 為首項(xiàng) ，13為公差的等差數(shù)列 ， ∴1b n＝ 1 ＋n － 13＝n ＋ 23， ∴ b n ＝3n ＋ 2. 10 ． 已知等比數(shù)列 { a n } 的公比 q 1 ， a 1 與 a 4 的等比中項(xiàng)是 4 2 ， a 2 和 a 3 的等差中項(xiàng)為 6 ，數(shù)列 { b n } 滿足 b n ＝ l og 2 a n . ( 1 ) 求 { a n } 的通項(xiàng)公式 ； ( 2 ) 求 { b n } 的前 n 項(xiàng)和 ． 解： ( 1 ) ∵ 4 2 是 a 1 與 a 4 的等比中項(xiàng) ， ∴ a 1 a1? 1 － q3?1 － q＝12，得 q3＝－12， ∴S9S3＝1 － q91 － q3 ＝34. 法二： 因?yàn)?{ an} 是等比數(shù)列，所以 S3， S6－ S3， S9－ S6也成等比數(shù)列，即 ( S6－ S3)2＝ S3 6)3＝ 177。 36 (D)177。 a 83＝ 50 ， ∴ a 56＝ 50 ， ∴ a 4 a 5 a 6 ＝ a 53＝ 50 ＝ 5 2 ，故選 A. 等比數(shù)列的綜合問(wèn)題 【例 4 】 ( 201 0 年皖南八校模擬 ) 已知數(shù)列 { a n } 中 ， a 1 ＝ 2 ， a 2 ＝ 4 ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n － 2 a n － 1 ( n ≥ 2 ，n ∈ N*) ． ( 1 ) 證明 ： 數(shù)列 { a n ＋ 1 － a n } 是等比數(shù)列 ， 并求出數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式 ； ( 2 ) 記 b n ＝2 ? a n － 1 ?a n， 數(shù)列 { b n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ， 求使 S n ＞ 2 01 0 的 n 的最小值 ． 思路點(diǎn)撥： ( 1 ) 可對(duì)條件 a n ＋ 1 ＝ 3 a n － 2 a n － 1 ( n ≥ 2 ， n ∈ N*) 進(jìn)行變形，用定義證明 { a n ＋ 1 － a n }為等比數(shù)列，然后用累加法求 a n ； ( 2 ) 化簡(jiǎn) b n ，再求其前 n 項(xiàng)和 S n ，最后根據(jù) n ∈ N*確定使S n 201 0 的 n 的最小值 ． ( 1 ) 證明： ∵ an ＋ 1＝ 3 an－ 2 an － 1( n ≥ 2 ) ， ∴ ( an ＋ 1－ an) ＝ 2 ( an－ an － 1)( n ≥ 2 ) ， ∵ a1＝ 2 ， a2＝ 4 ， ∴ a2－ a1＝ 2 ≠ 0 ， an－ an － 1≠ 0 ， 故數(shù)列 { an ＋ 1－ an} 是首項(xiàng)為 2 ， 公比為 2 的等比數(shù)列 ， ∴ an ＋ 1－ an＝ ( a2－ a1) 2n － 1＝ 2n， ∴ an＝ ( an－ an － 1) ＋ ( an － 1－ an － 2) ＋ ( an － 2－ an － 3) ＋ … ＋ ( a2－ a1) ＋ a1 ＝ 2n － 1＋ 2n － 2＋ … ＋ 21＋ 2 ＝2 ? 1 － 2n － 1?1 － 2＋ 2 ＝ 2n( n ≥ 2 ) 又 a1＝ 2 滿足上式 ， ∴ an＝ 2n( n ∈ N*) ． ( 2 ) 解： 由 ( 1 ) 知 bn＝2 ? an－ 1 ?an＝ 2 ( 1 －1an) ＝ 2 ( 1 －12n ) ＝ 2 －12n － 1 ∴ Sn＝ 2 n － ( 1 ＋121 ＋122 ＋ … ＋12n － 1 ) ＝ 2 n －1 －12n1 －12＝ 2 n － 2 ( 1 －12n ) ＝ 2 n － 2 ＋12n － 1 由 Sn＞ 2 010 得 ： 2 n － 2 ＋12n － 1 ＞ 2020 ， 即 n ＋12n ＞ 1006 ， 又 ∵ n ∈ N*， ∴ n 的最小值為 100 6. 與等比數(shù)列有關(guān)的綜合問(wèn)題，通常涉及等差數(shù)列、函數(shù)或不等式，求解時(shí)，關(guān)鍵是細(xì)讀題中信息，弄清各種信息的聯(lián)系，正確利用等差、等比數(shù)列的定義和有關(guān)公式求解 ． 【例 1 】 ( 2020 年高 考廣東卷 ) 已知數(shù)列 { a n } 為等比數(shù)列 ， S n 是它的前 n 項(xiàng)和 ， 若 a 2 (12)n － 2＝ (12)n － 3. ( 2 ) ∵ bn＝??? 0 ? n ＝ 2 k ， k ∈ N*?an ? n ＝ 2 k － 1 ， k ∈ N*? ∴ b1＋ b2＋ b3＋ … ＋ b2 n － 1 ＝ a1＋ a3＋ a5＋ … ＋ a2 n － 1 ＝4 [ 1 － ?14?n]1 －14＝163[ 1 － (14)
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