等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用-文庫吧
2025-04-24 03:33 本頁面
【正文】 ＝ f ( x ) 的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為f ′ ( x ) ＝ 6 x － 2. 數(shù)列 { an} 的前 n 項和為 Sn，點 ( n ， Sn)( n ∈ N*) 均在函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象上 (1) 求 數(shù)列 { an} 的通項公式； (2) 設(shè) bn＝3anan ＋ 1， Tn是數(shù)列 { bn} 的前 n 項和，求使得 Tnm20對所有 n ∈ N*都成立的最小正整數(shù) m . 【思路分析】 應(yīng)用點 ( n ， Sn)( n ∈ N*) 在函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象上可以求出 Sn關(guān)于 n 的函數(shù)表達式，接下去就順理成章了． 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 名師大講堂 2021 高考總復(fù)習(xí) 《 數(shù)學(xué) 》 （理科） 【解析】 ( 1) 依題意可設(shè) f ( x ) ＝ ax2＋ bx ( a ≠ 0) ， 則 f ′ ( x ) ＝ 2 ax ＋ b 由 f ′ ( x ) ＝ 6 x － 2 得 a ＝ 3 ， b ＝－ 2 ，所以 f ( x ) ＝ 3 x2－ 2 x 又點 ( n ， Sn)( n ∈ N*) 均在函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象上，得 Sn＝ 3 n2－ 2 n 當(dāng) n ≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn － 1＝ 3 n2－ 2 n － 3( n － 1)2＋ 2( n － 1) ＝ 6 n － 5 當(dāng) n ＝ 1 時， a1＝ S1＝ 3 12－ 2 1 ＝ 6 1 － 5 所以 an＝ 6 n － 5( n ∈ N*) 名師大講堂 2021 高考總復(fù)習(xí) 《 數(shù)學(xué) 》 （理科） (2) 由 (1) 得 bn＝3anan＋1＝3? 6 n － 5 ? [6 ? n ＋ 1 ? － 5]＝12(16 n － 5－16 n ＋ 1) 故 Tn＝ ?i ＝ 1nbi＝12 [ (1 －17) ＋ (17－113) ＋ ? ＋ (16n － 5－16n ＋ 1)] ＝12 (1 －16n ＋ 1) 因此使得12 (1 －16n － 1)m20(n ∈ N*) 成立的 m 必須且僅須滿足12≤m20 即 m ≥ 10. 故滿足要求的最小正整數(shù) m 為 10. 名師大講堂 2021 高考總復(fù)習(xí) 《 數(shù)學(xué) 》 （理科） 2 ． (2021 山東省 ) 已知數(shù)列 { an} 的前 n 項和為 Sn，點 ( n ， Sn)( n ∈ N*)在函數(shù) f ( x ) ＝ 3 x2－ 2 x 的圖象上． (1) 求數(shù)列 { an} 的通項公式； (2) 設(shè) bn＝3an an ＋ 1，求數(shù)列 { bn} 的前 n 項和 Tn. 解析 (1) 由題意可知： Sn＝ 3 n2－ 2 n 當(dāng) n ≥ 2 ， an＝ Sn－ Sn － 1＝ 3 n2－ 2 n － 3( n － 1)2＋ 2( n － 1) ＝ 6 n － 5 又因為 a1＝ S1＝ 1 ，所以 an＝ 6 n － 5 名師大講堂 2021 高考總復(fù)習(xí) 《 數(shù)學(xué) 》 （理科） ( 2) b n ＝3a n a n ＋ 1＝3? 6 n － 5 ?? 6 n ＋ 1 ?＝12(16 n － 5 －16 n ＋ 1) 所以 T n ＝12(1 －17 ＋17－113＋ ? ＋16 n － 5－16 n ＋ 1) ＝12(1 －16 n ＋ 1
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