【正文】 這是列方程的關(guān)鍵。所謂方程，其實就是用兩種不同的方法表示同一個量，并用 等號聯(lián)結(jié)起來。 “ 方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等 ” 是為了得到確定的解，這里有一個自由度的思想，當(dāng)方程個數(shù)少于未知量個數(shù)時，就會出現(xiàn)不定方程（組），這時方程（組）的解一般會有無窮多個。 2 什么是類比推理 ?類比推理的表示形式？怎樣才能增加結(jié)論的可靠性？ 答：所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。常稱這種方法為類比法，也稱類比推理。 類比推理通?？捎孟铝行问絹肀硎荆? A 具有性質(zhì) B 具有性質(zhì) 因此， B 也可能具有性質(zhì) 。 其中， 分別相同或相似。 欲提高類比的可靠性，應(yīng)盡量滿足條件： (1)A 與 B 共同 (或相似 )的屬性盡可能地多些； (2)這些共同 (或相似 )的屬性應(yīng)是類比對象 A與 B的主要屬性； (3)這些共同 (或相似 )的屬性應(yīng)包括類比對象的各個不同方面，并且盡可能是多方面的； (4)可遷移的屬性 d 應(yīng)該是和 屬于同一類型。 符合上述條件的類比，其結(jié)論的可靠性雖然可以得到提高，但仍不能保證結(jié)論一定正確。 圓周角定理證明思路如下： 將圓周角的兩邊所處的位置分成三種情況，（ 1）角的一邊落在直徑上（ 2）角的兩邊在某一直徑的 兩側(cè)（ 3）角的兩邊在某一直徑的同側(cè)。如圖所示，先對情況（ 1）進(jìn)行證明，然后將情況（ 2）（ 3）轉(zhuǎn)化為情況（ 1）分別進(jìn)行證明。最后得出圓周角定理對任意圓周角都成立的結(jié)論。 證明中用到下面幾種數(shù)學(xué)思想方法：（ 1）將圓周角分成三種情況，用到分類方法（ 2）先證明角恰有一邊在直徑上的特殊情況，用到特殊化方法（ 3）將其他兩種情況轉(zhuǎn)化為角恰有一邊在直徑上的情況用到化歸方法（ 4）通過對所以三種情況證明，然后得出圓周角定理的結(jié)論，用到完全歸納法（ 5）在證明過程中需要進(jìn)行演繹推理，因此用到演繹方法。 以 “ 認(rèn)識長方形對邊相 等 ” 為內(nèi)容，設(shè)計一個教學(xué)片斷。（要求（ 1）教學(xué)過程要比較具體，合理具有一定的層次（ 2）要有與數(shù)學(xué)知識教學(xué)相聯(lián)系的本課程所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)內(nèi)容，不少于 300 字。 將教學(xué)過程設(shè)計成四個層次： （ 1）讓學(xué)生說一說，我們周圍有哪些長方形物體？學(xué)生會舉出黑板、桌面、教室的門、課本的封面等例子。 （ 2）要求學(xué)生仔細(xì)觀察：看一看、想一想，這些長方形的四條邊的長短有什么關(guān)系？學(xué)生經(jīng)過觀察后，會猜想：長方形相對的兩條邊長度相等。 （ 3）教師進(jìn)一步提出問題：同學(xué)們敢于大膽猜想的精神值得鼓勵！我們怎樣才能驗證長方形相對的兩 條邊長短相等呢？這時，學(xué)生會想出許多辦法，如：用尺量、將圖形對折等方法。教師順勢引導(dǎo)學(xué)生通過量量、折折的具體 *作，確信長方形相對的兩條邊長短相等。教師板書：長方形對邊相等。接著，師生討論長方形 “ 對邊 ” 的含義，以及一個長方形有幾組對邊的問題。 （ 4）鞏固長方形對邊相等的認(rèn)識。 利用多媒體展示下面的長方形： 師：如何填寫括號內(nèi)的數(shù)字？為什么 要求學(xué)生會用 “ 因為 所以 ” 句式回答。如因為長方形的對邊相等，已知長方形的一條邊是 4 厘米，所以它的對邊也是 4 厘米。 一、填空題 (本大履滿分 30 分。本大題共有 10 題 ，每個空桔填對得 3 分，否則一律得零分 ) 1．《幾何原本》所開創(chuàng)的 公理化 方法不僅成為 — 種數(shù)學(xué)陳述模式，而且還被移植到其它學(xué)科，并且促進(jìn)它們的發(fā)展． 2．隨機(jī)現(xiàn)象的特點是 在一定條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果 。 3．等腰三角形概念的抽象過程，就是把一個新的特征： 兩邊相等加入到三角形概念中去，使三角形概念得到強(qiáng)化． 4．類比法是指， 由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有這種屬性 的一種推理方法． 5。面對一個問愿，經(jīng)過認(rèn)真的觀察和思考，過歸納或者類比提出猜想，然后從兩個方面人手； 演繹證明此猜想為真；或者 尋找反例說明此猜想為假 并且進(jìn)一步修正成否定此猜想． 6．化歸方法包含的三個要素是： 化歸對象、化歸日標(biāo)、化歸途徑 。 7．算法的有效性是指， 如果使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā)，能夠得到這一問題的正確解 8．?dāng)?shù)學(xué)的研究對象大致可以分成兩類 ①研究數(shù)量關(guān)系，②研究空間形式 。 9。一個科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)必須能夠?qū)⑿枰诸惖臄?shù)學(xué)對象， 不重復(fù)．無遺漏 進(jìn)行的劃分。 10．根據(jù)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程有潛意識階段、明朗化階段和深刻理解階段等三 個階段，可相應(yīng)地將小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)設(shè)計成多次孕育、初步理解、簡單應(yīng)用三個階段。 二、判斷 (本大題滿分 10 分。本大題共有 5 題，請在每題后面的 圓括號內(nèi)填寫”是”或否’，答對得 2 分， ) 1，《九章算術(shù)》不包括代數(shù)、幾何內(nèi)容．否 2．抽象和概括是兩種完全不同的方法 否 3． 沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識．是 4．?dāng)?shù)學(xué)模型方法是物理學(xué)、工程學(xué)的專利，在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域投有應(yīng)用．否 5．在解決敷學(xué)問題時，往往需要綜合運用多種數(shù)學(xué)思想方法才能奏效．是 三、簡答題 (本大題滿分 30 分。本大題共有 5 題，只要筒明扼要地寫出答案，每題均為 6 分 ) 1．為什么說《幾何原本》是一個封閉的演繹體系 ? 、①《幾何原本》以少數(shù)原始概念和公設(shè)、公理為基礎(chǔ)，運用邏輯規(guī)則將當(dāng)時所知的幾何學(xué)中的主要命題 (定理 )全都推出來，從而形成一個井然有序的整體．在這個體系 中，除了邏輯規(guī)則外，每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或 dS 面已證明的定理，并且引入的概念 (除原始概念 )也基本上符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西． ②另外．《幾何原本 )回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生括有關(guān)的應(yīng)用問題，對社會生活的各個領(lǐng)域來說也是封閉的．因此， (幾何原本 )是一個相對封閉的演繹體系． 2．簡述計算機(jī)在數(shù)學(xué)方面的三種新用途。 第一，用來證明一些數(shù)學(xué)命題；第二，用來預(yù)測某些數(shù)學(xué)問題的可能結(jié)果，第三，用來驗證某些數(shù)學(xué)問題的結(jié)果的正確性． 3．試用框鬮表示出 MM 方法解題的基本步驟。 MM 方法解題的基本步驟可用框圖表示為： 4．簡述化歸方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。 化歸方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用至少有以下三個方面： 1)利用化歸方法學(xué)習(xí)新知識， ②利用化歸方法指導(dǎo)解題， ①利用化歸方法整理知識結(jié)構(gòu)． 5．什么是算法的有限性特點 ?試舉一個不符合算法有限性特點的例子． 算法的有限性是指．一個算法必須在有限步之內(nèi)終止． 以十進(jìn)翻小數(shù)的除法這個算法為例，如取敷 2 和 3 作為初始數(shù)據(jù)，則有 23=O． 6666? 無論怎樣延續(xù)這個過程都不能結(jié)束，同時也不會出現(xiàn)中斷．因此，除法對于 2 和 3 這 組數(shù)不符合算法有限性特點． 四、解答題 (本大題滿分 30 分。本大屬共有 2 題，每題均為 15 分 ) 1．圓周角定理證明思路如下： 將四周角的兩邊所處的位置分成三種情況：①角的一邊落在直徑上；②角的兩邊在某 — 直徑的兩側(cè)，③角的兩邊在某一直徑的同側(cè)．如上田所示．先對情況①進(jìn)行證明，然后將情況②、③轉(zhuǎn)化為情況①分別進(jìn)行證明．最后得出圓周角定理對任意圓周角都成立的結(jié)論。 試具體分析上述證明中需要用到哪些數(shù)學(xué)思想方法。 該證明中需用到” F 面幾種數(shù)學(xué)思想方法， ①將圃周角分成三種情況，用到分類方法； ②先證明情況① 而情況①是角恰有一邊在直徑上的特殊情況，用到特殊化方法： ②通過對所有三種情況的證明，最后得出圓周角定理的結(jié)論，用到完全歸納法， ④在證明過程中需要進(jìn)行演繹推理，因此用到演繹方法． 2．以“三角形面積公式為內(nèi)容，沒計一個教學(xué)片斷。 (要求：①教學(xué)過程要比較具體、合理，且有一定的層次：①要有與數(shù)學(xué)知識教學(xué)相聯(lián)系的本課程中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)內(nèi)容‘③不少于 300 字 ) 一、填空題 (每題 3 分，共 30 分 ) 1．學(xué)生理解或掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程有如下三個主要階段潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段。 2．強(qiáng)抽象就是指，通過把一些新的特征加入到某一概念中而形成的新概念的抽象過程而形成新概念的抽象過程 3．菱形概念的抽象過程就是把 — 個新的特征：一組鄰邊相等加入到平行四邊形概念中去，匣平行四邊形概念得到了強(qiáng)化。 4．分類必須遵循的原則是 ① 不重復(fù)， ② 無遺漏， ③ 標(biāo)準(zhǔn)同一 ④ 按層次逐步劃分。 5．面對一個問題，經(jīng)過認(rèn)真的觀察和思考，通過歸納或類比提出猜想，然后從兩個方面入手：演繹證明此猜想為真；或者尋找反例說明此猜想為假并且進(jìn)一步修正或否定此猜想。 6．《幾何原本》所開創(chuàng)的公理化方法不僅成為一種數(shù)學(xué)陳述模式，而且還被 移植到其它學(xué)科，并且促進(jìn)它們的發(fā)展。 7．變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是解析幾何，標(biāo)志是微積分。 8．?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩條主線。 9 深層類比又稱實質(zhì)性類比，它是通過對被比較對象的處理相互依存的各種相似屬性之間的多種因果關(guān)系的分析而得到的類比。 10．一個概括過程包括比較、區(qū)分、擴(kuò)張、分析。 二、判斷題 (每題 2 分，共 10 分。在括號里填上是或否 ) 1．《九章算術(shù)》不包括代數(shù)、幾何內(nèi)容。 (否 ) 2．既沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包括數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識． (是 ) 3．對同一數(shù)學(xué)對象， 若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到不同的分類。 (是 ) 4．特殊化是研究共性中的個性的一種方法。 (否 ) 5．?dāng)?shù)學(xué)模型方法應(yīng)用面很窄。 (否 ) 三、簡答題 (每題 6 分，共 30 分 ) 1．簡述培養(yǎng)數(shù)學(xué)猜想能力的途徑。 答：猜想能力培養(yǎng)可以通過數(shù)學(xué)教學(xué)，如： ① 新知識的學(xué)習(xí)、 ② 數(shù)學(xué)規(guī)律的尋求、 ③ 解題思路的探索等途徑來實現(xiàn)。 2．簡述特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。 答： ① 利用特殊值 (圖形 )解選擇題； ② 利用特殊化探求問題結(jié)論；③ 利用特例檢驗一般結(jié)果； ④ 利用特殊化探索解題思路。 3．什么是歸納猜想 ?井舉一個例子說明。 答： ① 人們 運用歸納法，得出對一類現(xiàn)象的某種一般性認(rèn)識的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為歸納猜想。 ② 例如，人們在量度了很多圓的周長和半徑以后．發(fā)現(xiàn)它們的比值總是近似地等于 3． 14，于是提出了圓周率是 3． 14 的猜想。后來數(shù)學(xué)家從理論上證明了圓周率的數(shù)值為 ，果然和 3． 14 很接近． 4．簡述概括與抽象的關(guān)系。 答： ① 概括方法與抽象方法是不同的，但是它們又有十分密切的聯(lián)系．抽象是舍棄事物的一些屬性而收括固定出其固有的另一些屬性的思維過程，抽象得到的新概念與表述原來的對象的溉念之間不一定有種屬關(guān)系。 ② 概括是在思維中由 認(rèn)識個別事物的本質(zhì)屬性，發(fā)展到認(rèn)識具有這種本質(zhì)屬性的一切事物，從而形成關(guān)于這類事物的普遍概念．由概括得出的新概念是表述概括對象概念的一個屬概念。 ③ 概括和抽象雖有差別，但又是互相聯(lián)系，密不可分的。抽象是概括的基礎(chǔ)，沒有抽象就不能認(rèn)識任何事物的本質(zhì)屬性，就無法概括．概括也是抽象思維過程中所必須的一個環(huán)節(jié)，前述 “ 收括 ”操作實際上也是一個概括過程，有人就把 “ 收括 ” 稱之為概括，由于對共同點的概括才能得出對象的本質(zhì)屬性，從而完成抽象過程。 5．在實施數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時應(yīng)注意哪些問題 ? 答：為了叨實加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)， 應(yīng)注意以下幾點事項： ①要把數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)納入數(shù)學(xué)目標(biāo)，并在教案中設(shè)計好數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過程； ② 重視數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程，認(rèn)真設(shè)計數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)， ③ 做好數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的鋪墊工作和鞏固工作； ④ 不同類型的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)有不同的教學(xué)要求； ⑤ 注意不同數(shù)學(xué)思想方法的綜合運用。 四、解答題 (每題 15 分，共 20 分 ) 1．圓周角定理證明思路如下： 將圓周角的兩邊所處的位置分成三種情況： ① 角的一邊落在直徑上； ② 角的兩邊在某一直徑的兩鍘；③ 角的兩邊在某一直徑的同側(cè)。如上圖所示。先對情況 ① 進(jìn)行證明 ，然后將情況 ② 、 ③ 轉(zhuǎn)化為情況 ① 分別進(jìn)行證明。最后得出圓周角定理對任意圓周角都成立的結(jié)論。 試具體分析上述證明中需要用到哪些數(shù)學(xué)思想方法 答：該證明中用到下面幾種數(shù)學(xué)思想方法： ① 將圓周角分成三樸情況，用到分類方法； ② 先證明角恰有 — 邊正直徑上的特殊情況，用別特殊化方法。 ③ 將其他兩種情況轉(zhuǎn)化為角恰有 — 邊在直徑上的情況，用到化歸方法； ④ 通過對所有三種情況的證明．然后得出圓周角定理的結(jié)論，用到完全歸納法 ⑤ 在證明過程巾需要進(jìn)行演繹推理 因此用到演繹方法。 2．論述《幾何原本》思想方法的特點。 答：因為在《幾何原本 》中．除了