【正文】 時(shí)，就會出現(xiàn)不定方程（組），這時(shí)方程（組）的解一般會有無窮多個(gè)。 “ 用兩種不同方法表示同一個(gè)量 ” 這是列方程的關(guān)鍵。在算術(shù)列式中，未知量只能列在等號左邊，且系數(shù)必須為 1，已知量只能在等號右邊出現(xiàn)。 設(shè)想問題已經(jīng)解出，即在列式時(shí)將未知量與已知量同等對待。實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，就要求教師按照 “ 化隱為顯 ” 的原則，對教材下一番改造制作的功夫。例如在解決有關(guān)應(yīng)用問題時(shí)，為了使學(xué)生弄清問題的數(shù)量關(guān)系，尋找到有效的解題策略，往往借助圖示就能使問題得到解決。 由于數(shù)學(xué)思想方法往往隱含在知識的背后，知識教學(xué)雖然蘊(yùn)含著思想方法，但是如果不是由意識地把數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)對象，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生常常只注意到處于表層地?cái)?shù)學(xué)知識，而注意不到處于深層的思想方法。后來數(shù)學(xué)家從理論上證明了圓周率地?cái)?shù)值為 ，果然和 很接近。 人們運(yùn)用歸納法，得出對一類現(xiàn)象的某種一般性認(rèn)識的一種推測性的判斷，即 猜想，這種思想方法稱為歸納猜想。事實(shí)也確是如此。例如，分式與分?jǐn)?shù)非常相似，只不過用字母替代數(shù)而已。 1簡述特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用？ 答 特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用大致有如下幾個(gè)方面： ① 利用特殊值 (圖形 )解選擇題； ② 利用 特殊化探求問題結(jié)論； ③ 利用特例檢驗(yàn)一般結(jié)果； ④ 利用特殊化探索解題思路?？梢?，十進(jìn)制小數(shù)除法對于 20 和 3 這組數(shù)不符合算法的 “ 有限性 ” 特點(diǎn)。若取數(shù) 和 3 作為初始數(shù)據(jù) ,計(jì) 算過程為得到的結(jié)果為 .但是對初始數(shù)據(jù) 20 和 3,計(jì)算過程為無論怎樣延續(xù)這個(gè)過程都不能結(jié)束 ,同時(shí)也不會中斷 .如果在某一處中斷過程 ,我們只能得到一個(gè)近似的、步準(zhǔn)確的結(jié)果。 一個(gè)算法必須在有限步內(nèi)終止。因此，我們在解題過程中，可根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論以及數(shù)、式、形等結(jié)構(gòu)特征，利用和諧美去思考問題，獲得解題信息，從而確立解題的總體思路，達(dá)到以美啟真的作用。 (若信息不夠則重復(fù)進(jìn)行 ) 9 簡述化歸方法的和諧化原則？ 和諧化是數(shù)學(xué)內(nèi)在美的主要內(nèi)容之一。把信息 反饋到問題 A 中，就會為問題解決提供一些新的信息，再去推導(dǎo)結(jié)論 B 就會比較容易一些。 簡述用 MM 數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本步驟，并用框圖加以表述？ 用 MM 方法解決實(shí)際問題的基本步驟為（ 1）從現(xiàn)實(shí)原型抽象概括出數(shù)學(xué)模型；（ 2）在數(shù)學(xué)模型上進(jìn)行邏輯推理、論證或演算，求得數(shù)學(xué)問題的解；（ 3）下數(shù)學(xué)模型過渡到現(xiàn)實(shí)原型， 即把研究數(shù)學(xué)模型所得到的結(jié)論，返回到現(xiàn)實(shí)原型上去，便得到實(shí)際問題的解答。實(shí)數(shù)的引進(jìn)以及運(yùn)算法則和大小比較的確定，是建立在有理數(shù)運(yùn)算和大小比較的基礎(chǔ)上的，它是借助極限來實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的。（ 3）數(shù)學(xué)抽象過程要憑借分析或直覺 。（ 2）數(shù)學(xué)抽象具有層次性：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，但是不同的數(shù)學(xué)概念又表現(xiàn)出數(shù)學(xué)抽象的層次性。 簡述數(shù)學(xué)抽象的特征？ 數(shù)學(xué)抽象有以下特征：（ 1）數(shù)學(xué)抽象具有無 物質(zhì)性。這些是確定數(shù)學(xué)的局限所在。 但是由于隨機(jī)現(xiàn)象條件和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學(xué)來加以定量描述。 在數(shù)學(xué)學(xué)科中，人們常常把研究決定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學(xué)分支稱為確定數(shù)學(xué)。其特點(diǎn)是：在一定的條件下，其結(jié)果完全被決定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。以后遇到其他同類問題，只要按 “ 術(shù) ” 給出的程序去做就一定能求出問題的答案， 書中的 “ 術(shù) ” 就是算法。 所以，《幾何原本》是一個(gè)封閉的演繹體系。在這個(gè)整體中，除了推導(dǎo)時(shí)所需要的邏輯規(guī)則外，每個(gè)定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前 面已經(jīng)證明過的定理，因此《幾何原本》是一個(gè)封閉的演繹體系。（否） 對同一數(shù)學(xué)對象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到不同的分類（是） 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)隸屬于教學(xué)范疇，只要貫徹通常的數(shù)學(xué)教學(xué)原則，就可實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)目標(biāo)（否） 1由類比法推得的結(jié)論必然正確（否） 1有時(shí)特殊情況能與一般情況等價(jià)（否） 1完全歸納法實(shí)質(zhì)上屬于演繹推理的范疇（是） 1古希臘的柏拉圖曾在他的學(xué)校門口張榜聲明，不懂幾何的人不得入內(nèi)，這是因?yàn)樗膶W(xué)校里所學(xué)習(xí)的課程要用到很多幾何知識（否 ） 1完全歸納法的一般推理形式是：設(shè) s=A1 A2 An ,由于 A1 A2 An 具有性質(zhì) P，因此推斷幾何 s 中的每一個(gè)對象都具有性質(zhì) P（否） 二 、 簡答題 為什么說《幾何原本》是一個(gè)封閉的演繹體系？ 《幾何原本》是數(shù)學(xué)中最早形成的演繹體系。（是） 抽象得到的新概念與表達(dá)原來的對象的概念之間一定有種屬關(guān)系（否） 一個(gè)數(shù)學(xué)理論體系內(nèi)的每一個(gè)命題都必須給出證明（否） 九章算術(shù)不包括代數(shù)、幾何內(nèi)容（否） 即沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包括數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識（是） 數(shù)學(xué)模型方法在生物學(xué)。 3一個(gè)概括過程包括（比較、區(qū)分、擴(kuò)張和分析）等幾個(gè)主要環(huán)節(jié)。 2化歸方法的三個(gè)要素是（化歸對象、化歸目標(biāo)、化歸途徑） 根據(jù)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程由潛意識、明朗化、深刻理解三個(gè)階段，課相應(yīng)地將數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)設(shè)計(jì)成（多次孕育、初步理解、簡單應(yīng)用）三個(gè)階段。 2所謂特殊化是指在研究問題過程中（從對象的一個(gè)給定集合出發(fā)，進(jìn)而考慮某個(gè)包含于該集合的較小集合）的思想方法。 2算法具有下列特點(diǎn)（有限性、確定性、有效性） 2算法大致可以分為（多項(xiàng)式算法和指數(shù)型算法） 2勻速直線運(yùn)動(dòng)的 數(shù)學(xué)模型是（一次函數(shù)） 2所謂數(shù)學(xué)模型方法是（利用數(shù)學(xué)模型解決問題的一般數(shù)學(xué)方法） 2分類必須遵循的原則是（不重復(fù)、無遺漏、標(biāo)準(zhǔn)同一。 1所謂類比是指（由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有該屬性的一種推理方法）常稱這種方法為類比法，也稱類比推理、 1反例反駁的理論依據(jù)是形式邏輯的（矛盾律） 1猜想具有兩個(gè)顯著特點(diǎn)：（具有一定的 科學(xué)性、具有一定的推測性） 1三段論是演繹推理的主要形式，三段論由（大前提、小前提、結(jié)論）三部份組成。 1菱形概念的抽象過程就是把一個(gè)新的特征（一組鄰邊相等）加入到平行四邊形概念中去，使平行四邊形概念得到了強(qiáng)化。 學(xué)生理解或掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程有如下三個(gè)主要階段，（潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段） 數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性額反映，是數(shù)學(xué)中各個(gè)分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn)，它表現(xiàn)為（數(shù)學(xué)的各個(gè)分支相 互滲透和相互結(jié)合）的趨勢。 隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是（在一定條件下，看你發(fā)生某種結(jié)果，也困難不發(fā)生某種結(jié)果。 推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的原因主要有兩個(gè)：（ 1）（實(shí)踐的需要，（ 2）理論的需要）數(shù)學(xué)思想方法的幾次突破就是這兩種需要 的結(jié)果。 數(shù)學(xué)思想與方法整理全網(wǎng)最全資料，一抄在手所向無敵 一、 填空題 1 古代數(shù)學(xué)大致可以分為兩種不同的類型，一種是崇尚邏輯推理，以《幾何原本》為代表；一種是長于計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用，以（《九章算術(shù)》）為典范。 在數(shù)學(xué)中，建立公理體系最早的是幾何學(xué)，而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得（《幾何原本》） 《幾何原本》所開創(chuàng)的（公理化）方法不僅成為一種數(shù)學(xué)陳述模式，而且還被移植到其它學(xué)科，并且促進(jìn)他們的發(fā)展。 變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是（解析幾何），標(biāo)志是（微積分） （數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法）是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩條主線。 等腰三角形的抽象過程，就是把一個(gè)新的特征（兩邊相等）加入到三角形概念中去，使三角形概念得到強(qiáng)化。 1強(qiáng)抽象就是指通過（把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象過程。 1演繹法與（歸納法）被認(rèn)為是理性思維中兩種最重要的推理方法。 1化歸方法是指（把待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或較易解決的問題中，最終獲得原問題的答的一種方法） 1在化歸過程中，應(yīng)遵循的原則是（簡單化原則、熟悉化原則、和諧化原則） 在計(jì)算機(jī)時(shí)代，（計(jì)算方法）已經(jīng)成為與理論方法，實(shí)驗(yàn)方法并列的第三種科學(xué)方法。） 2所謂數(shù)形結(jié)合方法，就是在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，（由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合考慮問題的）一種思想方法。 2面對一個(gè)問題，經(jīng)過認(rèn)真的觀察和思考，通過歸納或類比提出猜想，然后從兩個(gè)方面入手（演繹證明此猜想為真、或者尋找反例說明此猜想為假），并進(jìn)一步修正 或否定此猜想。 3（數(shù)學(xué)思想方法）是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力地紐帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)地靈魂，它對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，通過學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。 3算法的有效性是指（如果使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā)，能夠得到這一問題的正確解決 ） 3數(shù)學(xué)從研究對象大致可以分成兩大類，（數(shù)量關(guān)系、空間形式） 二、判斷題（只要答是或否） 計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造物，又是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造者。經(jīng)濟(jì)學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域沒應(yīng)用（否） 在解決數(shù)學(xué)解時(shí)，往往需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法才能取得 效果（是） 如果某一類問題存在算法，并且構(gòu)造出這個(gè)算法，就一定能求出該解的精確解。在形式上，它是以少數(shù)原始概念，如點(diǎn)、線、面等等，和不證明的公設(shè)和公里為基礎(chǔ)，運(yùn)用亞里士多德所創(chuàng)立的邏輯學(xué)，把當(dāng)時(shí)所知的幾何學(xué)中的主要命題全部推演出來，從而形成一個(gè)井然有序的整體。 另外，從《幾何原本》與當(dāng)時(shí)的社會生產(chǎn)、生活的關(guān)系看，它的理論體系的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的應(yīng)用問題，因此對于社會生活的各個(gè)領(lǐng)域來說，它也是封閉的。 試對《九章算術(shù)》思想方法的一個(gè)特點(diǎn)算法化內(nèi)容加以說明？ 《九章算術(shù)》在每一章內(nèi)先列舉若干個(gè)實(shí)際問題，并對每個(gè)問題都給出答案，然后再給出 “ 術(shù) ” ，作為一類問題的共同解法。 簡述確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)，以及確定性數(shù)學(xué)的局限性？ 人們常常遇到兩類截然不同的現(xiàn)象，一類是決定性現(xiàn)象。即這種現(xiàn)象在一定的條件下必然會發(fā)生某種結(jié)果，或者必然不會發(fā)生某種結(jié)果 另一類是隨機(jī)現(xiàn)象，其特點(diǎn)是：在一定的條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果。用這些的分支來定量地描述某些決定性現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)和變化過 程，從而確定結(jié)果。同時(shí)確定數(shù)學(xué)也無法定量地揭示大量同類隨機(jī)現(xiàn)象中所蘊(yùn)涵的規(guī)律性。 簡述計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)方面的三種新用途？ 在數(shù)學(xué)方面，計(jì)算機(jī)至少有三種新的用途，第一，用來證明一些數(shù)學(xué)命題，而通常證明這類命題，需要進(jìn)行異常巨大的計(jì)算與演繹工作；第二，用來預(yù)測某些數(shù)學(xué)問題的可能結(jié)果；第三，用來作為一種驗(yàn)證某些數(shù)學(xué)問題結(jié)果的正確性的方法。數(shù)學(xué)抽象擺脫了客觀事物的物質(zhì)性質(zhì)，從中抽取其數(shù)與形，因而數(shù)學(xué)抽象具有無物質(zhì)性。例如，自然數(shù)概念是從客觀事物中抽象出來的，字母 a 表示的數(shù)又是在對數(shù)的抽象后的結(jié)果。(4)數(shù)學(xué)的抽象不僅有概念抽象還有方法抽象 簡述化歸方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用？ 化歸方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的功能至少可以歸結(jié)為以下三個(gè)方面：（ 1）利用化歸方法學(xué)習(xí)新知識：數(shù)學(xué)中許多概念的形成過程或數(shù)學(xué)的定義，就是滲透 著化歸的思想方法。（ 2）利用化歸方法指導(dǎo)解題；（ 3）利用化歸原則理清知識結(jié)構(gòu)：運(yùn)用化歸思想方法可將零星紛亂的知識編織成一張有序的主次分明的知識網(wǎng)絡(luò)，做到易懂、易記、易用。 MM 方法解題的基本步驟框圖表示如下： 試用框圖表示用特殊化方法解決實(shí)際問題的一般過程？ 用特殊化解決問題的一般過程，可以用框圖表示，若我們面對的問題 A 解決起來比較困難，可以先將 A 特殊化為 ，因?yàn)? 與 A 相比較，外延變小，因此內(nèi)涵勢必增多，所以由 所導(dǎo)出的結(jié)論 ，它包含的內(nèi)涵一般也會比較多。若解決問題 A 仍有困難，即可對 A 再次進(jìn)行特殊化，進(jìn)一步增加 信息量，如此反復(fù)多次，最終推得結(jié)論 B，使問題 A 得以解決。美與真在數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)解題中一般是統(tǒng)一的。例如： 什么是算法的有限性特點(diǎn)？試舉一個(gè)不符合有限性特點(diǎn)的例子。例如，十進(jìn)制小數(shù)的除法的算法。而且如果在某一處中斷計(jì)算過程已經(jīng)不是執(zhí)行原來的算法。 1簡述培養(yǎng)數(shù)學(xué)猜想能力的途徑？ 用猜想學(xué)習(xí)新知識；用猜想探究數(shù)學(xué)規(guī)律用猜想幫助解題。 1什么是類比猜想？并舉一個(gè)例子說明 人們運(yùn)用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。因此，我們可以猜想，分式與分?jǐn)?shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運(yùn)算等方面都是對應(yīng)相似的。 1什么是歸納猜想？并舉一個(gè)例子說明。例如，人們在量度了很多圓的周長和半徑以后，發(fā)現(xiàn)它們的比值總是近似地等于，于是提出了圓周率是 。 1簡述將化隱為顯列為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一個(gè)原則的理由。因此，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)必須以數(shù)學(xué)知識為載 體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識教學(xué)達(dá)到思想方法教學(xué)之目的。這種將圖形與數(shù)量關(guān)系緊密聯(lián)系起來解決問題的數(shù)形方法，教材中并沒有明確地表述出來，需要學(xué)生用心體會，才能領(lǐng)悟到，但這不是所有學(xué)生都能達(dá)到的。 二、解答題 運(yùn)用方程模型解答應(yīng)用題時(shí)，其中最重要的是 “ 設(shè)想問題已經(jīng)解出 ” ， “ 用兩種 不同方法表示同一個(gè)量 ” ， “ 方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相等 ” 這三個(gè)要點(diǎn)，這是為什么，請闡述你的理解。這是列方程中的一個(gè)重要思想，也是它優(yōu)于算術(shù)之處。已知量與未知量的地位截然不同，因此列式比較困難，而在方程列式中，已知量與未知量處于同等地位，都可以在等號兩邊出現(xiàn)，于是列式就容易多了。所謂方程，其實(shí)就是用兩種不同的方法表示同一個(gè)量，并用 等號聯(lián)結(jié)起來。 2 什么是類比推理 ?類比推理的表示