【正文】 ，使得 1( ) ( )?????iiEE， ( ) m ax ( )???iEE，按照該定理 設(shè)計(jì)出的 FIR數(shù)字濾波器通帶和阻帶具有等波動(dòng)性 [7]。 1? 、 2? 分別 為 為通帶波紋峰值、阻帶波紋峰值，由（ 230）可得 0( ) [ ( ) ( ) c os( ) ] ( 1 )m a x ( ) 0 , 1 , 2... , 1M kdknW H a n nE k M? ? ? ????? ? ? ????? ? ??? （ 231） 改寫(xiě)成矩陣形式為 0001111()c os c os1 ( 0)()1 c os c os ( 1 )1 c os c os ( )()()ddM M d MdMHM aHM aMHaMH??????? ? ?? ? ????? ?????? ?????? ??????????? ?? （ 232） 但由于直接求解（ 230）是困難的，一般通過(guò)雷米茲 (Remez)算法求解，步驟如下。按照下式計(jì)算 ? 1010()( 1) / ( )Mk d kkM kkkkaHaW??????????? （ 233） 式中 10,1( 1 ) c o s c o sMkki i k ika ??????? ?? （ 234） 然后利用拉格朗日插值公式求出 ()gH? 00()c o s c o s()c o s c o sMkkk kg Mkk kCH?????????????? （ 235） 式中 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16 ( ) ( 1 ) 0 ,1 , 2 , ,()kk d k kC H k MW ?? ?? ? ? ? （ 236） 0,1( 1 ) c o s c o sMkki i k ik? ?????? ?? （ 237） 將求得的 ()gH? 代入式（ 230），求得誤差函數(shù) ()E? ； ② 對(duì)上次確定的 0 1 1, , , M? ? ? ?中每一個(gè)點(diǎn)檢查該點(diǎn)附近是否存在 ()E??? ，若存在這一頻率點(diǎn)，再在該點(diǎn)附近找出局部極值點(diǎn)，并用這個(gè)極值點(diǎn)代替原來(lái)的點(diǎn)。 第四節(jié) 本章小結(jié) 本 章介紹了有限脈沖響應(yīng)（ FIR）濾波器的設(shè)計(jì)方法。本章主要介紹第一類(lèi)設(shè)計(jì)方法，并對(duì)各種方法的原理做出了數(shù)學(xué)推導(dǎo)，為下一章用 Matlab 仿真做出了鋪墊。在最后可以通過(guò)設(shè)計(jì)的濾波器對(duì)已加噪聲的語(yǔ)音信號(hào)進(jìn)行濾波，觀察濾波前后時(shí)域和頻域的圖像，確認(rèn)濾波器的設(shè)計(jì)是否滿足要求。 wn=boxcar(N) 數(shù)調(diào)用結(jié)果 wn 返回長(zhǎng)度為 N 的矩形窗函數(shù) wn=bartlett(N) 數(shù)調(diào)用結(jié)果 wn 返回長(zhǎng)度為 N 的三角形窗函數(shù) wn=hanning(N) 數(shù)調(diào)用結(jié)果 wn 返回長(zhǎng)度為 N 的 Hanning窗函數(shù) wn=hamming(N) 數(shù)調(diào)用結(jié)果 wn 返回長(zhǎng)度為 N 的 Hamming窗函數(shù) wn=blackman(N) 數(shù)調(diào)用結(jié)果 wn 返回長(zhǎng)度為 N 的 Blackman窗函數(shù) wn=kaiser(N) 數(shù)調(diào)用結(jié)果 wn 返回長(zhǎng)度為 N 的 Kaiser 窗函數(shù) 窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)函數(shù)是 fir1，可以實(shí)現(xiàn)線性相位理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器，常用的調(diào)用格式如下。 hn滿足線性相位條件 h(n)=h(N1n)，與向量 hn的關(guān)系是 h(n)=hn(n+1)， n=0,1,2,…,M 。當(dāng) wc=[wcl,wcu]時(shí)，得到 6dB通帶為 wcl wc wcu??的帶通濾波器。根據(jù)表 ，此時(shí) M=2N，若此時(shí)輸入為奇數(shù)， fir1 會(huì)自動(dòng)加 1，確保 M 為偶數(shù)。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 18 hn=fir1(M,wc， bartlett(M+1)) %指定 Bartlett 窗為設(shè)計(jì)濾波器的窗函數(shù) 。 fir2 函數(shù)設(shè)計(jì) FIR 濾波器時(shí)，實(shí)際上該函數(shù)采取的是一種基于頻率采樣法和窗函數(shù)法綜合而成的方法，主要用于設(shè)計(jì)幅頻響應(yīng)特殊的濾波器，可以按照需求任意指定濾波器的形狀，比如經(jīng)常用于設(shè)計(jì)數(shù)字微分器和多帶通數(shù)字濾波器等。 Matlab 代碼在附錄 三 的 中，這里將運(yùn)行結(jié)果附圖 、 、 ： 圖 濾波器增益響應(yīng) 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 19 圖 濾波前頻域響應(yīng) 圖 濾波后頻域響應(yīng) 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 20 由參考程序可得，濾波器的 fs 為 20xxHz,N 為 266，通帶衰減為 ，阻帶衰減為 53dB， 滿足 設(shè)計(jì) 要求。對(duì)比圖 可以發(fā)現(xiàn)，原信號(hào)在窗函數(shù)通帶內(nèi)的分量得以保存，而另一頻率則被濾除掉了。 Matlab 程序在附錄 三 的 中，這里將運(yùn)行結(jié)果 如 圖 、 、 所示。 一、 利用頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器 設(shè)計(jì)要求：用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位 FIR數(shù)字濾波器，要逼近的理想低通濾波器通帶截止頻率 wc=π/4，過(guò)渡帶寬 B=π/8，阻帶最小衰減為 45dB。 Matlab 程序在附錄 三的 中，運(yùn) 行結(jié)果 如 圖 所示。 第三節(jié) Matlab 實(shí)現(xiàn)等波紋逼近法設(shè)計(jì) 窗函數(shù)法和頻率采樣法有一個(gè)共同的缺點(diǎn)，它們的通帶和阻帶存在幅度波動(dòng)。假設(shè)拉平皺紋的幅度，可以更好地逼近理想濾波器的響應(yīng)，這樣，由于誤差在整個(gè)頻帶上均勻分布，對(duì)于同樣的技術(shù)指標(biāo)，逼近理想響應(yīng)的濾波器階數(shù)較低；同樣的階數(shù)時(shí)，這時(shí)最大誤差最小，這就是等波紋逼近法的思想 [8]。其調(diào)用格式為 [M,fo,mo,w]=remezord(f,m,rip,Fs) 其中調(diào)用參數(shù) f 必須是以 0 開(kāi)始 ，以 Fs/2（對(duì)應(yīng)歸一化頻率 1）結(jié)束的模擬頻率或歸一化數(shù)字頻率，并以省略了 0 和 Fs/2 兩個(gè)頻率點(diǎn)。因?yàn)?m 中的每個(gè)元素表示 f 給定的一個(gè)逼近頻段上希望逼近的幅度值，所以 f的長(zhǎng)度是 m的兩倍。 而 remez函 數(shù)的功能是實(shí)現(xiàn)線性相位 FIR數(shù)字濾波器的等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)。其中 M 為 FIR 數(shù)字濾波器的階數(shù)， hn的長(zhǎng)度 N=M+1。 W 是誤差加權(quán)向量，其長(zhǎng)度為 f 的一半。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 24 一、 利用最佳逼近法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字 帶通 濾波器 現(xiàn)在用 remez 函數(shù)設(shè)計(jì)一個(gè) FIR 帶通濾波器，要求通帶最大衰減 1p dB? ? ，阻帶最小衰減 60s dB? ? ，阻帶下截止頻率 ,sl??? 通帶下截止頻率 ,pl???通帶上截止頻率 ,pu??? 阻帶上截止頻率 ??? 。濾波器單位脈沖響應(yīng) h(n)的波形如下所示。同時(shí)在圖中可以看出，阻帶衰減得到拉平 ，更好的逼近了理想濾波器的響應(yīng)，這都體現(xiàn)出了等波紋逼近法的優(yōu)點(diǎn) 。 它 是用方差最小來(lái)緩慢跟蹤數(shù)據(jù)，但會(huì)導(dǎo)致重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 25 最終估計(jì)的狀態(tài)有所誤差。總的來(lái)說(shuō) 約束 最小二乘法也就是在給定濾波器幅頻響應(yīng)最大允許波紋 閾 值約束條件下，使濾波器在整個(gè)幅頻范圍內(nèi)誤差平方最小化 [10]。其調(diào)用格式為 b=firls(n,f,m)。 圖 最小二乘法 設(shè)計(jì) 多 帶通濾波器 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 26 經(jīng)過(guò) 最小二乘法設(shè)計(jì) 的 多帶通濾波器 濾波后，處于通帶外的頻率衰減保留了我們需要的頻率，單一性非常好，被保留的波形幅度略有衰減，濾波過(guò)程直觀且理想。而 remez函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器具有較大的通帶和阻帶波紋，但是在整個(gè)頻帶內(nèi)較為一致。該函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是可以設(shè)計(jì)任意響應(yīng)的等波紋 FIR濾波器。 其中，參數(shù) f是頻率邊界向量，范圍是 [1,1]。第一個(gè)濾波器， 取階數(shù)為 N=40，濾波器的頻率邊界頻率向量為： f=[1 1]； 各頻段幅度響應(yīng)為 a=[1 1 2 2 1 1]。 圖 升余弦函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)任意濾波器響應(yīng) 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 27 從圖 中觀察可知，任意頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)方法相比其他的設(shè)計(jì)方法更加的靈活，尤其是在設(shè)計(jì)一些要求特別的濾波器時(shí)非常方便 ， 只需要不斷調(diào)整 a,f,w 幾個(gè)權(quán)值大小即可。 一、 利用 等波紋逼近 法設(shè)計(jì)的 LPF 對(duì)加噪聲音濾波 在 Matlab平臺(tái)下利用函數(shù) waveread讀取出預(yù)先錄制的語(yǔ)音信號(hào) “”，之后加入噪聲 y，再對(duì)混合的語(yǔ)音濾波濾除 y。 圖 混合 語(yǔ)音信號(hào) 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 28 圖 濾波后的波形圖和頻譜圖 加入噪聲后回放的語(yǔ)音信號(hào)與原始語(yǔ)音明顯不同，伴隨有明顯的嘯叫聲，從含噪頻譜中可以看出在 20xxHz 中有明顯的沖激。 并且經(jīng)過(guò)多次仿真證實(shí)，本設(shè)計(jì)在去除音高較低（ 3000Hz以下）效果較好，因此可應(yīng)用于低頻語(yǔ)音濾波。 并修改控件的一些界面屬性，如文字、字體等。所以 之后就 需要 編寫(xiě)回調(diào)函數(shù)，完成 GUI 的濾波器設(shè)計(jì) [12]。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 30 圖 濾波結(jié)果 首先，先看高通濾波的結(jié)果。這也就意味著 濾波效果極差。 最后 低通濾波的效果非常好，濾波后幾乎與原信號(hào)相同。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 31 三、 頻率采樣法設(shè)計(jì)的 HPF 對(duì)語(yǔ)音濾波 這里將采用頻率采樣法設(shè)計(jì)的 HPF 對(duì)加噪語(yǔ)音信號(hào)進(jìn)行濾波，濾除干擾信號(hào)，程序如附錄 所示，效果如圖 所示。經(jīng)過(guò)頻率采樣法設(shè)計(jì)的 FIR濾波器之后，低頻噪聲明顯得到過(guò)濾 ， 但截 止 頻率難以控制， 局限在 2/N? 點(diǎn)上， 比較死板，而充分增大 N 會(huì)使計(jì)算量和復(fù)雜度增加。 firls函數(shù) 是基于誤差函數(shù)方差的 ， 略優(yōu)于 remez函數(shù)； 同樣的 remez衰減 基于誤差函數(shù)，相較于 firls 函數(shù)實(shí)現(xiàn)較為容易 。 由于窗函數(shù)、頻率采樣法、 firls、 remez 和 firrcos 的算法不同 ， 得到的波紋特性必然有所差異 。 本章最后 利用了兩種方法對(duì)語(yǔ)音信號(hào)進(jìn)行濾波：第一種是基于 Matlab 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的 LPF 對(duì)加噪語(yǔ)音濾波；第二種是利用 GUI 圖形 設(shè)計(jì) 界面完成了 基于凱塞窗的 LPF/HPF/BPF 的設(shè)計(jì)，并用這三種濾波器對(duì)加入隨機(jī)噪聲的信號(hào)濾波，并分析其去噪效果。采樣率轉(zhuǎn)換常用以下兩種方法實(shí)現(xiàn) 。但是很顯然，這樣做信號(hào)會(huì)受 損 。 設(shè) 1/xxFT? 是輸入信號(hào) ()xn 的頻率， 1/yyFT? 是輸出信號(hào)的 ()ym 的采樣頻率。 一、 按整數(shù)因子抽取 按整數(shù)因子 D 對(duì) ()xn 抽取的原理圖如圖 所示，抽取的目的是采樣率降低為原來(lái)的 1/D 。 理想情況下，抗混疊低通濾波器的 ()Dhn的頻率響應(yīng) ()jdHe? 表示為： 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 34 1/()0/jdDHeD???? ? ?? ??? ????? （ 41） 設(shè) x(n)經(jīng)過(guò)抗混疊低通濾波器后的輸出是 v(n),則 y(m)等于 0( ) ( ) ( ) ( )Dky m v D m h k x D m k??? ? ?? （ 42） 而根據(jù)上式和信號(hào)與系統(tǒng)里的知識(shí)，有 12 / /012 / 1 /012 / 1 /01( ) ( ) ( )1( ) ( )1()Dj k m D m DkDj k m D D mkDj k D DkY z v m e zDv m e zDV e zD??????? ? ?????? ? ??????????? （ 43） 因?yàn)?( ) ( ) ( )DV z H z X z? ，所以 1 2 / 1 / 2 / 1 /01( ) ( ) ( )D j k D D j k D DDkY z H e z X e zD??? ???? ? （ 44） 將 yjze?? 代入上式，則 22101( ) ( ) ( )yyy kkDj DDDkY e H e X eD? ? ? ?? ????? ? （ 45） 原理如 圖 所示 圖 按整數(shù)因子內(nèi)插 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 35 二、 按整數(shù)因子內(nèi)插 整數(shù)倍內(nèi)插就是在原始序列 x(n)的兩個(gè)相鄰樣值之間插入 (I1)個(gè)采樣值，這就稱(chēng)為整數(shù)因子 I 對(duì) x（ n）零值內(nèi)插，用符號(hào) “ I? ”表示。 I? ()Ihm ( ) ( )ayy m x m T?()xn 圖 內(nèi)插器的結(jié)構(gòu) x(n)經(jīng)過(guò)整數(shù)倍零值內(nèi)插會(huì)產(chǎn)生（ I1）個(gè)新的鏡像頻譜 ， 所以需要 ()Ihm濾除鏡像頻譜 ，原理 如 圖 所