【正文】 郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） I 編 號： 審定成績： 重慶郵電大學(xué) 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 設(shè)計(jì)（論文）題目： 基于 Matlab的 FIR 數(shù)字濾波器的 設(shè)計(jì)與優(yōu)化 學(xué) 院 名 稱 ： 通信與信息工程學(xué)院 學(xué) 生 姓 名 ： 侯思睿 專 業(yè) ： 通信工程 班 級 ： 0191102 學(xué) 號 ： 20xx210232 指 導(dǎo) 教 師 ： 劉鴻 答辯組 負(fù)責(zé)人 ： 明艷 填表時(shí)間： 20xx 年 6 月 重慶郵電大學(xué)教務(wù)處制 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） II 摘 要 在數(shù)字信號處理中，為了濾除信號中的噪聲或者其他無效成分，設(shè)計(jì)出可靠高效的數(shù)字濾波器是非常關(guān)鍵的。在數(shù)字控制系統(tǒng)中輸入信號中所含的干擾對系統(tǒng)的性能會(huì)產(chǎn)生很大的影響，因此需要對輸入信號進(jìn)行處理，以提取有用信號。本文采用窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋逼近法，通過調(diào)用 MATLAB 函數(shù)設(shè)計(jì) FIR數(shù)字濾波器。并在最后實(shí)現(xiàn)多采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效實(shí)現(xiàn)，與一級 FIR數(shù)字濾波器做出對比 ，證明了多級濾波的高效性 。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理系統(tǒng)中不可或缺的重要部分，其主要功能是按照所預(yù)先設(shè)定的算法完成信號的濾波，獲得所期望得到的信號。 數(shù)字信號處理中要盡可能的減少不需要的成分 ， 輸入的數(shù)字信號需要得到處理，從而得到有效信號成分 。 在數(shù)字時(shí) 代來臨之前，信號的處理，分析，包括濾波都采用模擬信號和模擬電路的形式。所以數(shù)字濾波器的興起不可避免： 60 年代中期美國科學(xué)家?guī)炖?、圖基總結(jié)前人的研究成果，經(jīng)過長期的研究，開始形成了一套完整關(guān)于數(shù)字濾波器的正規(guī)理論，在這一時(shí)期各種各樣的數(shù)字濾波器原理結(jié)構(gòu)和特性被提出，并且出現(xiàn)了各種數(shù)字濾波器的逼近方法和實(shí)現(xiàn)方法，對遞歸和非遞歸兩類濾波器作了全面的比較和分析；數(shù)字濾波器經(jīng)歷了有限 沖激響應(yīng)（ FIR）和無限沖激響應(yīng)（ IIR）關(guān)系的認(rèn)識轉(zhuǎn)化過程 [2]。 本文中將會(huì)利用 MATLAB仿真軟件設(shè)計(jì)出滿足各種要求的經(jīng)典數(shù)字濾波器，并采用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)最佳逼近濾波器。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 2 第一章 數(shù)字濾波器的理論研究 第一節(jié) 數(shù)字濾波器的基本原理和結(jié)構(gòu) 數(shù)字濾波器在信號處理和分析中占有極其重要的地位。根據(jù)沖激響應(yīng)的不同，數(shù)字濾波器可以分為無限響應(yīng)濾波器（ Infinite Impulse Response， IIR）和有限響應(yīng)濾波器（ Finite Impulse Response， FIR）；根據(jù)功能上的區(qū)分，數(shù)字濾波器可分為低通濾波器（ Low Pass Filter， LPF）、高通濾波器（ High Pass Filter， HPF）、帶通濾波器（ Band Pass Filter， BPF）和帶阻濾波器（ Band Stop Filter， BSF）等。 設(shè) FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng) h(n)的長度為 N，其傅立葉變換為 : 10( ) ( )Nj j nnH e h n e??? ??? ? (14) 也可記為： ()( ) ( )j j jH e H e e? ? ? ?? (15) 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 3 其中 ()jHe? 是系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)； ()??為系統(tǒng)的相頻響應(yīng)。式（ 16）（ 17）所表示的線性相位分別稱為第一類線性相位和第二類線性相位。 所以， IIR 濾波器常用于對相位要求不高的領(lǐng)域，如聲音信號等對相位不敏感的信號，發(fā)揮其經(jīng)濟(jì)優(yōu)勢；而圖像等對相位敏感的信號則須采用 FIR線性相位濾波器處理。 FIR濾波器采用非遞歸結(jié)構(gòu)，不會(huì)積累誤差，與 IIR 濾波器的遞歸結(jié)構(gòu)會(huì)導(dǎo)致寄生振蕩 不 同，不會(huì)產(chǎn)生 極限環(huán)[4]；而 FIR 濾波器最優(yōu)秀的 特點(diǎn) 是嚴(yán)格線性的 相位 ，不會(huì)出現(xiàn)非線性現(xiàn)象。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 6 第二章 FIR 濾波器的設(shè)計(jì) 第一節(jié) 窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR 濾波器 由第一章討論， FIR 數(shù)字濾波器擁有嚴(yán)格的線性相位，而且由于它的系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)固定在 Z域的原點(diǎn) ， 所以也擁有穩(wěn)定的特點(diǎn)。高階也意味著高性能 ， 也同時(shí)意味著占用大量的寄存器資源（或者內(nèi)存資源），這也同時(shí)影響著其經(jīng)濟(jì)性。 FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法主要分為兩類：一類是基于逼近理想濾波器設(shè)計(jì)法，包括窗函數(shù)法、頻率采樣法及其優(yōu)化算法如最小二乘法、升余弦滾降等 ；另一類是最優(yōu)設(shè)計(jì)法。 一、 窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本思想是通過逼近理想濾波器的特性，以獲得高性能的 FIR 數(shù)字濾波器。因此，必須截取 ()dhn有限長的一段因果序列，并用適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)加權(quán)處理才能作為 FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) h(n)。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 很容易想的一種方法是 “ 加窗 ” ，將脈沖響應(yīng)值很小的采樣點(diǎn)截去，這樣 ()hn就為有限長，之后在通過移位操作使序列 ()hn 具有因果性，并用 ()hn 逼近理想濾波器。 最容易想 到 的是讓 ()dhn這一無限長的序列乘上一個(gè)有限長的矩形序列()Rwn，即 ( ) ( ) ( )dRh n h n w n? （ 23） 1 0 1()0R nNwn O t h e r s? ? ??? ?? （ 24） 稱為矩形窗函數(shù)。 由圖可以看出，加窗后 的主要影響是在濾波器通帶和阻帶上有波動(dòng)，過渡帶變寬。此外，保留的采樣點(diǎn)越多，濾波器形狀越接近理想。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 設(shè)窗函數(shù)為矩形窗函數(shù) ()Rwn= ()NRn，因?yàn)?( ) ( ) ( )dRh n h n w n? ，所以有 1( ) [ ( ) ] ( ) * ( )2j j jdH e F T h n H e W e? ? ???? （ 25） ( 1 ) / 2si n ( ) 12( ) [ ( ) ] ( ) , 2si n ( )2j j N jR R R gNNW e F T w n e W e? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ? （ 26） 由圖 可以看出，加矩形窗在 頻點(diǎn) c??? 附近形成過渡帶，過渡帶 寬 約等于 ()RW? 的主 瓣寬度 。 鑒于 上述原因 ， 往往 使 矩形窗 不能達(dá)到設(shè)計(jì)要求，下文中會(huì)介紹幾種 其他 常用的窗函數(shù)。 窗 21012()2112nNnNwnnN nNN?? ???? ??? ??? ? ? ?? ?? （ 27） 22 sin( / 4)()sin( / 2)NW N ?? ?? （ 28） 用 Bartlett 窗設(shè)計(jì)的低通濾波器，阻帶中最大旁瓣比通帶增益 低 25dB，主要性能參數(shù) 25 , 25nsdB dB??? ? ? ?。 而 這三部分的 諧波 疊加使能量有效的集中在主瓣內(nèi)，旁瓣大大降低 ,其代價(jià)是主瓣的寬度大了一倍 ， Hanning 窗 低通濾波器幅度響應(yīng)的最大旁瓣的阻帶比通帶增益低 44dB。與Hanning窗相比，主瓣寬度同為 8/N? ，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值比主瓣小 41dB。 Hamming窗主要參數(shù) 41 , 53nsdB dB??? ? ? ?。用Blackman窗設(shè)計(jì)的低通濾波器的旁瓣比通帶增益低 75dB，主瓣和旁瓣差 57dB。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 10 窗 上述 四 種窗函數(shù) 設(shè)計(jì)的濾波器的阻帶最小衰減是固定的，而 Kaiser 窗是一種可以調(diào)整的窗函數(shù)，通過調(diào)整其參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)不同阻帶衰減和最小主瓣寬度的濾波器。所以， Kaiser窗是最優(yōu)的窗函數(shù)之一。 其中 20 1 1( ) 1 [ ( ) ]!2 kk xIx k???? ? (217) 實(shí)際中 k 取 前 20 項(xiàng)便可滿足 設(shè)計(jì) 要求。估算 ? 和階數(shù) N 的公式如下： 0 .1 1 2 ( 8 .7 ) 5 00 .0 5 8 4 2 ( 2 1 ) 0 .0 7 8 8 ( 2 1 ) 2 1 5 00 2 1sss s ssdBd B d BdB??? ? ? ??????? ? ? ? ? ??? ?? (218) B? ?? ? (219) 主瓣隨著 ? 增大而加寬 ，旁瓣幅度 也隨著其增大而變小。六種窗函數(shù) （包含矩形窗） 的基本參數(shù)歸納在下表中，以供設(shè)計(jì)時(shí)參考。 一、 頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器的基本原理 該方法的原理是先確定希望逼近的濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)，再通過 頻率采樣逼近頻率響應(yīng)函數(shù)。 用頻率采樣法設(shè)計(jì)的低通濾波器的傳輸函數(shù)與理想的傳輸函數(shù)之間存在誤差，所以用頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR濾波器時(shí)仍然要考慮線性相位 ()dHk滿足條件。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 為奇數(shù) ( ) ( ) 1 0 , 1 , 2 , .. .,( ) 0 1 , 2 , .. ., 1( 1 )( ) 0 , 1 , 2 , .. ., 1??? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ?g g cg c c cH k H N k k kH k k k k N kNkk k NN （ 224） 為偶數(shù) ( ) ( ) 1 0 , 1 , 2 , .. .,( ) 0 1 , 2 , .. ., 1( 1 )( ) 0 , 1 , 2 , .. ., 1??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ?g g cg c c cH k H N k k kH k k k k N kNkk k NN （ 225） 式中， ck 是小于等于 2??cN 的最大整數(shù)。 第二類線性相位問題可按類似方法處理。 從頻域分析，其 Z變換 ()Hz和 ()Hk的關(guān)系為 120 1()1()1 ?? ?? ?????N N dkjk NHkzHz Nez 將 ?? jze代入，得到 102( ) ( ) ( )? ????? ? ??NjkH e H k kN （ 226） 其中 121 s i n ( / 2 )()s i n ( / 2 ) ??? ????? NjN eN （ 227） 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 13 上式表明，在采樣點(diǎn) 2??? kN處 沒有 逼近誤差；在兩相鄰采樣點(diǎn)之間， ()?jHe由有限項(xiàng)的 2( ) ( )????H k kN之和形成，特性越平滑的區(qū)域誤差越小，特性曲線間斷點(diǎn)處誤差 越 大。然而，因?yàn)?()jdHe? 是理想矩形，無論怎樣增加采樣點(diǎn)數(shù)，在通帶阻帶交界處，幅度總是從 1 瞬間降為 0，必然會(huì)出現(xiàn)起伏振蕩。 雖然不能通過增加采樣點(diǎn)數(shù)改善阻帶衰減特性，但是可以考慮在不連續(xù)的邊緣上增加一些過度的采樣點(diǎn)，減少畸變，從而改善起伏振蕩。增加采樣點(diǎn)和過渡帶寬的關(guān)系為 2 ( 1) /?? ? ?B m N (228) 其中 m 是增加的采樣點(diǎn)數(shù)。 ② 確定過渡帶寬 ?B ，并根據(jù)（ 228）確定采樣點(diǎn)數(shù) N； ③ 根據(jù)希望構(gòu)造的 ()?jdHe 確定 | ( )|?jdHe 和 ()??je ，并且滿足線性相位對稱要求； ④ 按照頻率采樣定理進(jìn)行頻率采樣得到 ()Hk，并加入過渡帶； ⑤ 對 ()Hk做離散傅里葉逆變換得到第一類線性相位 FIR 數(shù)字濾波器 的單位沖激響應(yīng) ()hn 。以窗函數(shù)設(shè)計(jì)法為例，在接近通帶和阻帶的邊緣，幅度波動(dòng)最大。 這樣，由于誤差在整個(gè)頻帶上均勻分布，對于同樣的技術(shù)指標(biāo)，逼近理想響應(yīng)的濾波器階數(shù)較低 ；同樣的階數(shù)時(shí)，這時(shí)最大誤差最小 。 一、 等波紋最佳逼近的原理 在濾波器設(shè)計(jì)中，通帶和阻帶的誤差性能設(shè)計(jì)要求是不一樣的，為便于統(tǒng)一遵循最大誤差最小化原則，要使得不同頻帶的加權(quán)誤差最大值相等 [6]。 因?yàn)闉V波器是具有線性相位的 FIR濾波器，其單位沖激響應(yīng) ()hn 必須滿足一定條件。最佳一致逼近問題就是選擇 M+1 個(gè) ()an ，使得 ()?E 最大值最小，即 min[max ( ) ]?E 交錯(cuò)點(diǎn)組定理 指出式（ 230）存在且唯一，并 且： 最佳一致逼近的充要條件是 ()?E 在 頻 帶上 至少 呈 現(xiàn) 2?M 個(gè) “交錯(cuò) ”