【正文】 認(rèn)為所設(shè)計濾波器的理想頻率響應(yīng) ,公式（ 25）還可寫成 Hd (k)= Hd (ejw )|Nw?2?k （ 26） 采用頻域均方誤差作為設(shè)計 FIR 數(shù)字濾波器的最優(yōu)化準(zhǔn)則 ,誤差值越小表明設(shè)計效果越好。從濾波器設(shè)計的工程角度而言確是應(yīng)滿足設(shè)計者設(shè)計指標(biāo)的多約束優(yōu)化問題 ,是在理想最優(yōu)解附近找到滿足設(shè)計指標(biāo)的濾波器系數(shù)。 FIR 數(shù)字濾 波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) FIR 濾波器 的特點 （ 1）系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是有限長的； （ 2）系統(tǒng)函數(shù)在 |z|0平面上，只有零點，沒有極點，所有極點都在 z=0處，濾波器永遠(yuǎn)是穩(wěn)定的； （ 3）結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，但有些結(jié)構(gòu)也包含反饋的遞歸部分，比如頻率采樣結(jié)構(gòu)。 FIR 濾波 器實現(xiàn)的基本結(jié)構(gòu)有： （卷積型、直接型） FIR 濾波器的橫截型 (直接型、卷積型 )結(jié)構(gòu)： 若給定差分方程為： y(n)=?? ?10m )()(N mnxmh 。 FIR 濾波器的橫截型結(jié)構(gòu) 南昌航空大學(xué)科技學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 9 若 h(n)呈現(xiàn)對稱特性，即此 FIR 濾波器具有線性相位，則可以簡化 成 橫截型結(jié)構(gòu)，下 面分情況討論： ① N 為奇數(shù)時線性相位 FIR 濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖所示 ： 圖 22 N 為 奇 數(shù)時 FIR 濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) ② N 為偶數(shù)時線性相位 FIR 濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖所示 圖 23 N為偶數(shù)時 FIR 濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 我們知道 IIR 濾波器的優(yōu)點是可利用模擬濾波器設(shè)計的結(jié)果，缺點是相位是非線性的，若需要線性相位，則要用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行校正 ，比較麻煩，而 FIR 濾波器的優(yōu)點是可 以 方便地實現(xiàn)線性相位。 實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如下圖所示： 圖 24 FIR 濾波器級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 該結(jié)構(gòu)圖中有 2L=M 個延遲器， 2L+1=M+1 個乘法器， 2L=M 個加法器 。 ② H（ z）中的系數(shù)比直接型多，因而需要的乘法器多，分解的因子越多，需要的乘法器也越多。 因此，對 h(n)可以利用 DFT 得到 H(k)，然后利用內(nèi)插公式： （ 211） 來表示系統(tǒng)函數(shù) ， 這就為 FIR 濾波器提供了另外一種結(jié)構(gòu)：頻率抽樣結(jié)構(gòu) ， 這種結(jié)構(gòu)由兩部分級聯(lián)而成： 分析 系統(tǒng)函數(shù) 其中 級聯(lián)的第一部分為： （ 212） 這是一個梳狀濾波器，它濾掉了頻率 及其各次諧波。這個諧振器的極點正好與梳狀濾波器的一個零點 (i=k)相抵消， 從而使這個頻率上的頻率響應(yīng)等于 H(k)。 有上敘的理論分析基礎(chǔ)可以得到 FIR 濾波器的頻率抽樣結(jié)構(gòu) 。 頻率抽樣結(jié)構(gòu) 存在問題的問題是：在有限長情況下，系數(shù)量化后極點不能和零點抵消，使 FIR 系統(tǒng)不穩(wěn)定。 ??? ??? ??? 10 11 ][1)( Nk kNNN zrW kHN zrzH （ 214） (a)當(dāng) N 為偶數(shù)時的頻率取樣型 修正 結(jié)構(gòu)如圖所示 圖 27 N 為偶數(shù)時的頻率取樣型 修正 結(jié)構(gòu) （ 215） （ b） 當(dāng) N為奇數(shù)時頻率抽樣型結(jié)構(gòu)如圖所示 。 我們知道，將 x(n)補上 L－ N2 個零值點，將 h(n)補上 L－ N1 個零值點，然后進(jìn)行 L點圓周卷積，就可以代替原 x(n)與 h(n)的線性卷積。 南昌航空大學(xué)科技學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 13 第 3 章 FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計方法研究 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計原理 FIR 濾波器的系統(tǒng)輸入輸出差分方程為： y[n]=?? ?10k )()(N knxkh 所以 FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： H(Z)= nN ZnhZX ZY ????? )()( 10n）（ （ 31） 由于 FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n)是一個有限長序列， H (z)是 的 (N?1)次多項式，它在 Z平面上有 (N?1)個零點，同時在原點有 (N?1)階重極點。 FIR濾波器設(shè)計的任務(wù)是選擇有限長度的 h(n)，使傳輸函數(shù)滿足一定的幅度特性和線性相位要求。 FIR濾波器目前常用的設(shè)計方法有窗函數(shù)法 和頻率采樣法，窗函數(shù)法是從時域進(jìn)行設(shè)計，而頻率采樣法是從頻域進(jìn)行設(shè)計。窗函數(shù)法設(shè)計的基本思想是：首先根據(jù)技術(shù)指標(biāo)要求，選取合適的階數(shù) N 和窗函數(shù)的類型 w(n)，使其幅頻特性逼近理想濾波器幅頻特性。 H ? jwaejwd e ?? 0)( |w| cw? 時為 jwae? ， cw ???w 時為 0 (32) hd (n)=)( )](s in [21 w an qnwdee cw wjw ajw acc ? ???? ? ?? (33) h(n)= hd (n)RN (n) (34) 其中 是希望逼近的濾波器的單位脈沖響應(yīng)， H )( jwde 是希望逼近的濾波器的幅頻特性， h(n)是所設(shè)計的濾波器的單位脈沖響應(yīng)， RN (n)是一個矩陣序列，長度為 N。由于截斷效應(yīng)使所設(shè)計濾波器的幅頻特性存在誤差，稱之為吉布斯效應(yīng)。 南昌航空大學(xué)科技學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 14 常用的窗函數(shù)有矩形窗、三角窗、漢寧窗和凱塞窗等 。 (2)旁瓣幅度下降速度要快，以利于增加阻帶衰減。 幾種常見的窗函數(shù) 矩形窗 矩形窗函數(shù)的時域形式可以表示為： 1 , 0 1( ) ( ) 0,N nNw n R n ? ? ???? ?? 其 他 (35) 它的頻域特性為： ? ? 1jj 2 sin 2eesin 2NNW ???????? ????????????????? (36) 矩形窗使用最多，習(xí)慣上不加窗就是使信 號通過了矩形窗。 漢寧窗函數(shù) 漢寧窗函數(shù)的時域形式可以表示為： ???????? ?????? ??? 1π2c )( n kkw Nk ,2,1 ?? (37) 它的頻域特性為： ? ? ? ? ?????? ???????? ?????? ?????? ????????? ???? 2 NRRR NWNWWW ????? (38) 其中， )(?RW 為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。 漢寧窗主瓣加寬并降低，旁瓣則顯著減小，從減小泄漏觀點出發(fā)，漢寧窗優(yōu)于矩形窗。 海明窗函數(shù) 南昌航空大學(xué)科技學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 15 海明窗函數(shù)的時域形式可以表示為 : ?????? ??? 1π2c o )( N kkw Nk ,2,1 ?? (39) 它的頻域特性為 : ?????? ?????? ????????? ???? )()( NWNWWW RRR ???? (310) 其中， ()RW? 為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。海明窗加權(quán)的系數(shù)能使旁瓣達(dá)到更小。三角窗函數(shù)的時域形式可以表示為： 當(dāng) n為奇數(shù)時： ????????? ???????nknn knnknkkw21,1)1(2 211,12)( (311) 當(dāng) n為偶數(shù)時： ?????????????nknnknnknkkw2,)1(2 21,12)( (312) 它的頻域特性為： ? ?? ? 221jj2s in41s in12ee???????????????????????? ????????? ??????NNWNR (313) 三角窗函數(shù)的主瓣寬度為 8π /N，比矩形窗函數(shù)的主瓣寬度增加了一倍，但是它的旁瓣寬度卻小得多。 頻譜的幅度函數(shù)為： + (315) 各種窗函數(shù)的特征 下表列出了各種窗函數(shù)主瓣和旁瓣的特征： 窗函數(shù) 主瓣頻寬 第一旁瓣相對主瓣衰減（ dB） 矩形窗 13 漢寧窗 31 海明窗 41 三角窗 25 布萊克曼窗 57 表 31 各窗函數(shù)的特征表 表中看出不同的窗函數(shù)主瓣頻寬和第一旁瓣相對主瓣衰減都不一樣，不同窗函數(shù)在這兩方面的特點是不同的，因此應(yīng)根據(jù)具體的問題進(jìn)行選擇。增加窗函數(shù)長度 N 將減小窗函數(shù)的主瓣寬度，但不能減小旁瓣幅值衰減的相對值（分貝數(shù)），這個值是由窗函數(shù)決定的。(2)N=20。(4)N=100 時的圖形如下： 南昌航空大學(xué)科技學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文 17 圖 31 不同窗函數(shù)長度的幅頻響應(yīng) 由上圖可以看出，隨著 N 的增大，主瓣和旁瓣都變窄，但第 一旁瓣相對主瓣的幅值下降分貝數(shù)相同，第二旁瓣相對第一旁瓣幅值下降的分貝數(shù)也相同。 FIR 數(shù)字濾波器的頻率采樣法 設(shè)希望逼近的濾波器的頻響函數(shù)用 H )(d jwe 表示，對 H )(d jwe 在 w=0 到 2? 之間等間隔采樣 N點，得到 H )(kd ： H )(kd =H )(d jwe |Nk?2w? k=0,1,2,… ,N1 (316) 再對 H )(kd 進(jìn)行 N 點 IDFT，得到 h(n)： h(n)= ????10k )(1 N knNd WkHN n=0,1,2… ,N1 (317) 將 h(n)作為設(shè)計的 FIR 濾波器的單位脈沖響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù) H（ z）為 H（ z） =????10 )(Nnnznh (318) 另外根據(jù)頻率域采樣理論，利用頻率域采樣值恢復(fù)原信號 Z 變換的 內(nèi)插公式 ????? ? ??? ?? 101k )()()(1 11)( Nk kkN N zk