【正文】 數(shù)字濾波器不存在穩(wěn)定性問題。 第一類線性相位特性： ( )=? ? ??? ? 是一個(gè)與 ? 無關(guān)的常數(shù) 第二類線性相位特性： 0( )=? ? ? ??? 0? 是起始相位 嚴(yán)格地說第二種情況時(shí)的 ()??是不具有線性相位特性的，但上述兩種情況都滿足群延遲是一個(gè)常數(shù)，仍可以視為具 有線性相位的，在第二類線性相位中0 /2???? 是常用的一種情況。若要使上式成立，則要使 ()hn 關(guān)于 ( 1)/2N? 奇對(duì)稱，即要求： ( ) ( 1 )h n h N n? ? ? ?， 10 ??? Nn （ 28） 從上述分析看來，線性相位 FIR數(shù)字濾波器的時(shí)域約束條件是指滿足線性相位時(shí)對(duì) ()hn 的約束條件，對(duì)于第一類線性相位，沖激響應(yīng) h(n)滿足（ 26）式；對(duì)于第二類線性相位，沖激響應(yīng) h(n)滿足（ 28）式 [35]。 FIR 數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設(shè)計(jì)法 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)思路 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是 FIR數(shù)字濾波器里最簡單的一種設(shè)計(jì)法，又叫傅里葉級(jí)數(shù)法，為了設(shè)計(jì)簡單方便，通常選擇所希望逼近的濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù) ()jdHe? 為具有 片 段 常 數(shù) 特 性 的 理 想 濾 波 器 ， 尋 找 一 組 ()hn ，確定其頻率響應(yīng)10( ) ( )Nj j nnH e h n e??? ??? ?，然后用 ()jHe? 來逼近 ()jdHe? [1]。截取的長度和加權(quán)窗函數(shù)的形狀都直接影響到逼近精 度?？梢韵劝?()dhn向右平移 ( 1) / 2aN?? 個(gè)點(diǎn)，得到 39。( ) ( )1()2cddNnh n h n a Nn??????????? ? ??? （ 34） 相應(yīng)的傳輸函數(shù) 39。( ) ( ) ( )j j j a j ad d dH e h e e H e? ? ? ?????? （ 35） 然后對(duì) 39。( )dh n n h n?? （ 36） ()n? 表 示窗函數(shù)，一般用下標(biāo)來表示窗函數(shù)的類型，矩形窗記為 ()Rn? 。()dhn進(jìn)行直接截?cái)啵玫接邢揲L序列 ()hn ，并以 ()hn 代替()dhn，肯定會(huì)引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是通常所說的吉布斯 (Gibbs)效應(yīng)。而信號(hào)的高頻部分往往是反應(yīng)信號(hào)快速變化特征，如果信號(hào)本身是連續(xù)的，這樣做一般不會(huì)引起信號(hào)的顯著變化，但實(shí)際中的信號(hào)往往是比較豐富的，特別是信號(hào)本身存在劇烈變化的，這樣做必定會(huì)引起一些誤差。為了減小吉布斯效應(yīng)帶來的影響，需要調(diào)整窗口的長度來控制過渡帶的寬度，但要減小帶內(nèi)的 波動(dòng)以及增大阻帶衰減，還需要從窗函數(shù)的形狀上尋找解決方法。 (2)窗函數(shù)頻率特性的旁瓣 ? 趨于 ? 的過程中，其能量迅速減小為零。 矩形窗的窗函數(shù)為： 浙江萬里學(xué)院本科畢業(yè)論文 8 11 () 20 o th e rw is eRNnn??? ??? ??? （ 37） 其頻譜的幅度函數(shù)為 si n( / 2)() si n( / 2)gRNW ?? ?? （ 38） 矩形窗的主瓣寬度為 4/n? ，用矩形窗設(shè)計(jì)的 FIR數(shù)字濾波器的過渡 帶寬度近似為 /N? 。 漢寧窗窗函數(shù)為 20 . 5 0 . 5 c o s 0() 10 Hn nNn No th e r w is e??? ? ? ??? ???? （ 311） 漢寧窗的頻譜的幅度函數(shù)為 22( ) 0 . 5 ( ) 0 . 2 5 ( ) ( )11H R R RW W W WNN??? ? ? ???? ? ? ? ??????? （ 312） 漢寧窗的主瓣寬度為 8/n? ，漢寧窗在其兩個(gè)端點(diǎn)都為零，實(shí)際中這兩個(gè)端點(diǎn)的數(shù)據(jù)是不可用的。 布萊克曼窗窗函數(shù)為 2 4 1( 0 . 4 2 0 . 5 c o s 0 . 8 c o s ) () 1 1 20 Bn n Nnn NNo th e r w is e????? ? ? ??? ????? （ 315） 其頻譜的幅度函數(shù)為 22( ) 2 ( ) 5 ( ) ( )1144 ( ) ( )11B R R RRRW W W WNNWWNN??? ? ? ???????? ? ? ? ?????????? ? ? ??????? （ 316） 該窗函數(shù)位移不同，幅度函數(shù)也不同，會(huì)使旁瓣進(jìn)一步抵消，主瓣寬度為12 /N? 。 ? 參數(shù)可以控制窗的形狀。 各種窗函數(shù)的性能比較如表 31所示： 表 31 不同窗函數(shù)性能比較 窗函數(shù)類型 旁瓣峰值 (dB) 阻帶最小衰減 (dB) 過渡帶寬度 (P/N) 矩形窗 13 21 4 三角窗 25 25 8 浙江萬里學(xué)院本科畢業(yè)論文 10 漢寧窗 31 44 8 續(xù)表 31 哈明窗 41 53 8 布萊克曼窗 57 74 12 凱塞窗 ( )?? 51 60 雖然窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)思路簡單，但是它的邊界頻率不容易控制，而且窗函數(shù)還有吉布斯效應(yīng)，需要選擇不同的窗函數(shù)來減小吉布斯效應(yīng)對(duì)結(jié)果的影響，但無論哪種窗函數(shù)，都無法很好的解決這一問題，所以我們需要通過其他的設(shè)計(jì)方法來進(jìn)行濾波，便于滿足實(shí)際工程中的不同要求。和窗函數(shù)設(shè)計(jì)法相同，頻率采樣法也需要預(yù)先構(gòu)造一個(gè)希望逼近的濾波器頻率響應(yīng)函數(shù) ()jdHe? ，對(duì)其加以等間隔采樣后，作為 FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。這樣，由于時(shí)域混疊，引起所設(shè)計(jì)的 h(n)和 )(nhd 有偏差。其誤差和 ()jdHe? 特性的平滑程度有關(guān)，特性愈平滑誤差愈??；特性曲線間斷點(diǎn)處，誤差越大。當(dāng)然，增大 N值，可以減小逼近誤差，但間斷點(diǎn)附近誤差仍然最大，且 N太大會(huì)增加濾波器級(jí)數(shù)與成本。 過渡帶采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)與阻帶最小衰減 s? 的關(guān)系以及使阻帶最小衰減 s? 最大化的每個(gè)過渡帶采樣值求解都要用優(yōu)化算法解決。將過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) m與濾波器阻帶最小衰減 s? 的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù) 列于表 32中，我們可以根據(jù)給定的阻帶最小衰減 s? ，選擇過渡帶采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù) m。當(dāng) N 確定時(shí)，過渡帶會(huì)隨著 m 的增大而變寬。 對(duì)（ 323）進(jìn)行頻域采樣： 12( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 2 , . . . , 1Njkj Ndg kNH k H e H k e k N???????? ? ? ? （ 324） 2( ) ( ) k = 0 , 1 , 2 , . . . , N 1g d gH k H kN?? （ 325） 并加入過渡帶采樣。 對(duì) ()Hk進(jìn)行 N 點(diǎn) IDFT，得到第一類線性相位 FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)： ? ? 101( ) ( ) ( ) n = 0 , 1 , 2 , . . . , N 1N knNkh n I D F T H k H k WN ? ???? ? （ 326） 浙江萬里學(xué)院本科畢業(yè)論文 13 求出：開始確定所逼近的 ，估算采樣點(diǎn)數(shù)N與過渡帶采樣點(diǎn)數(shù)m()jdHe ?采樣：2/( ) ( ) , , 1 , 2 , . . . , 1j k NddH k H e k N?? ? ?插入過渡帶采樣點(diǎn)數(shù)( ) [ ( ) ] , 0 , 1 , 2 , . . . 1dh n I D F T H k n N? ? ?求出：( ) [ ( ) ]jH e F F T h n? ? 是否滿足要求()jHe ?輸出設(shè)計(jì)結(jié)果 或 ()hn()Hz結(jié)束增加過渡帶采樣點(diǎn)數(shù)改變N的值是否 圖 32 頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR濾波器流程 最后檢驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果，如果阻帶最小衰減未達(dá)到指標(biāo)要求，則要改變過渡帶的采樣值，直到滿足指標(biāo)要求為止。頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR濾波器流程如圖 32所示。但是頻率采樣法在邊界頻率不容易控制，如果采樣點(diǎn)數(shù) N增加，對(duì)確定邊界頻率有好處，但同樣會(huì)增加了濾波器的成本，因此只適合窄帶濾波，且這種設(shè)計(jì)方法理解起來比較困難。 等波紋逼近法是一種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，它克服了窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率采樣法的缺陷，是最大誤差最小化設(shè)計(jì)方法，并在整個(gè)逼近頻段上均勻分布。用 ()gH? 表示實(shí)際設(shè)計(jì)的幅度特性函數(shù)，定 義加權(quán)誤差函數(shù) ()E? 為 ( ) ( ) ( ) ( )dgE W H H? ? ? ??????? （ 327） 式中， ( ) 0W?? ，被稱為誤差加權(quán)函數(shù)，是由設(shè)計(jì)者定義的，用來控制不同頻段的逼近精度。 浙江萬里學(xué)院本科畢業(yè)論文 15 開 始設(shè) 定 加 權(quán) 函 數(shù) δ 及 通 帶 波 紋 峰 值()E ? ()E ???()P ?設(shè) 定 初 始 頻 率計(jì) 算 ， 并 求 出 的 新 極 值 點(diǎn)多 于 個(gè) 極 值選 個(gè)最 大 極 值 點(diǎn)得 到 最 優(yōu) 化 的 個(gè) 極 值計(jì) 算 的 系 數(shù)結(jié) 束是否否是 1N ?1N ?1N ?極 值 點(diǎn) 位 置 是 否 改 變 圖 33 remez算法搜索最佳頻率點(diǎn)流程 等波紋逼近的問題就是選擇 N個(gè)系數(shù) a(n)，使加權(quán)誤差 ()E? 的最大值最小。找到最佳頻率點(diǎn)后，計(jì)算P( )? 系數(shù)及 P( )? 。 借助 Remez算法來設(shè)計(jì)等波紋的 FIR數(shù)字濾波器的步驟如下： 給出所需的頻率響應(yīng) ()dH? 、誤差加權(quán)函數(shù) ()W? 和單 位脈沖響應(yīng) ()hn 的長度 N， 根據(jù)具體情況， 進(jìn)行 ()gH? 統(tǒng)一表達(dá)式的轉(zhuǎn)換；設(shè)定初始頻率點(diǎn)和通帶波紋值，采用 Remez算法計(jì)算最佳頻率點(diǎn)組，由最佳頻率點(diǎn)組計(jì)算 ()P? 及 ()P? 系數(shù)，根據(jù)求出的 ()P? 的表達(dá)式再利用傅里葉逆變換求得濾波器的單位脈沖響應(yīng) ()hn 。 不同設(shè)計(jì)方法的比較 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是這三種設(shè)計(jì)法里操作最簡單的，但是窗函數(shù)的設(shè)計(jì)階數(shù)相對(duì)其他兩種更多，如果降低了設(shè)計(jì)的階數(shù)，則最后得到的設(shè)計(jì)結(jié)果往往不能達(dá)到實(shí)際設(shè)計(jì)的要求和 指標(biāo)，除矩形窗之外，其他窗可以滿足一般的設(shè)計(jì)指標(biāo)，但在要求精度較高的時(shí)候，窗函數(shù)設(shè)計(jì)往往不能很好的達(dá)到要求。 而等波紋逼近法是這三種方法中階數(shù)最少的，且通帶最大衰減是最小的，阻帶衰減最大。 Matlab 是國際公認(rèn)的優(yōu)秀數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件之一。在 Matlab 環(huán)境下，用戶可以進(jìn)行程序設(shè)計(jì)、數(shù)值計(jì)算、圖形繪制、輸入輸出、文件管理等各項(xiàng)操作。除內(nèi)部函數(shù)外，所有 Matlab的核心文件和工具箱文件都是可讀可改的源文件，用戶可修改源文件和加入自己的文件，它們可以與庫函數(shù)一樣被調(diào)用 [9]。 Matlab由一系列工具組成。包括 Matlab桌面、命令窗口、歷史命令窗口、編輯器和調(diào)試器、路徑搜索和用于用戶瀏覽幫助、工作 空間 、文件的瀏覽器。Matlab自產(chǎn)生之日起就具有方便的數(shù)據(jù)可視化功能，將向量和矩陣用圖形表現(xiàn)出來，并且可以對(duì)圖形進(jìn)行標(biāo)注和打印。 Matlab 具有 功能強(qiáng)大的工具箱 ， 工具箱可分為兩類：功能性工具箱和學(xué)科性工具箱。而學(xué)科性工具箱是專業(yè)性比較強(qiáng)的，如優(yōu)化工具箱、統(tǒng)計(jì)工具箱、控制工具箱、小波工具箱、圖象處理工具箱、通信工具箱等。 fir1 函數(shù)介紹 fir1 調(diào)用格式為： b=fir1(n, Wc,39。,window) 函數(shù)參數(shù)說明如下： 表示濾波器的階數(shù) 2. Wc 為濾波器的歸一化截止頻率，它是一個(gè)大于 0 小于 1 的一個(gè)數(shù) 3.39。表示所設(shè)計(jì)濾波器的類型，