【正文】 ， 21101( ) ( )N j knNdkh n H k eN???? ?， 0,1, 2,... 1kN??， (48) 式中 ()hn 作為所設(shè)計(jì)的濾波器的單位取樣響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù) ()Hz為： 9 10( ) ( )N NnH z h n z? ???? (49) 此外，由頻域內(nèi)插公式知道，利用這 N 個(gè)頻域采樣值 ()Hk同樣可求得 FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ()Hz。 FIR濾波器具有線(xiàn)性相位的條件是 ()hn 是實(shí)序列，且滿(mǎn)足 ( ) ( 1)h n h N n? ? ?，在此基礎(chǔ)上能推導(dǎo)出其傳輸函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件是： ()( ) ( )jjdgH e H e? ? ??? (411) 1() 2N? ? ???? (412) N 為奇數(shù)， ( ) (2 )ggHH? ? ??? (413) N 為偶數(shù)， ( ) ( 2 )ggHH? ? ?? ? ? (414) 在 0~2??? 之間等間隔采樣 N 點(diǎn)， 2k kN?? ? k=0,1, 2,… ， N1 (415) 將 k??? 代入 (413)(414)式中，并寫(xiě)成 k 的函數(shù)： ()( ) ( ) jkdgH k H k e ?? (416) 1 2 1() 2NNkkNN?? ? ???? ? ? (417) N 為奇數(shù)， ( ) ( )ggH k H N k?? (418) N 為偶數(shù)， ( ) ( )ggH k H N k? ? ? (419) 10 設(shè)用理想低通作為希望設(shè)計(jì)的濾波器，截止頻率為 c? ，采樣點(diǎn)數(shù)N, ()gHk和 ()k? 用下面公式計(jì)算： N 為奇數(shù)時(shí)， ( ) ( ) 1ggH k H N k? ? ?， 0 1 2ckk? ， ， ， ... ， ( ) 0gHk? ， 11c c ck k k k? ? ?， +2 ， ... ， N 1() NkkN????? ， 0 1 2 1kN??， ， ， ... ， (420) N 為偶數(shù)時(shí)， ( ) 1gHk? ， 0 1 2ckk? ， ， ， ... ， ( ) 0gHk? ， 11c c ck k k k? ? ?， +2 ， ... ， N ( ) 1gH N k? ??， 0 1 2 ckk? ， ， ， ... ， 1( ) , 0 1 2 1Nk k k NN?? ?? ? ? ?， ， ， ... ， (421) 用頻率采樣所得對(duì)應(yīng)的單位取樣響應(yīng)為 ()dhn， 1( ) ( )2 j j nddh n H e e d? ??????? ? (422) 則由頻率域采樣定理知道，在頻域 0~2??? 之間等間隔采樣 N點(diǎn)，利用 IDFT 得到的 h(n)應(yīng)是 ()dhn以 N 為周期，周期性延拓乘以()NR? ，即 ( ) ( ) ( )dNrh n h n rN R n?? ????? (423) 由采樣定理表明，頻率域等間隔采樣 ()Hk，經(jīng)過(guò) IDFT 得到 ()hn ，其 Z 變換 ()Hz和 ()Hk的關(guān)系為： 11 120 112( ) ( ) ( )1 ( )()11 si n( / 2)()si n( / 2)dNrN NjkNNjjh n h n rN R nz H kHzNeZNH e eNN??? ??? ? ?? ?? ??????????? (424) 上式表明，在各頻率采樣點(diǎn) =2 k/N ?? ， 0k ? ， 1 ， 2 ， ... ， N1上，2 k/N ????( )=1，因此，采樣點(diǎn)上濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格地和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等的。理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想值，逼近誤差越小。下面通過(guò)設(shè)計(jì)分析說(shuō)明頻率抽樣法設(shè)計(jì) FIR 濾波器的步驟 [46]。 由線(xiàn)形相位 FIR 濾波器有四種類(lèi)型，不同類(lèi)型的 FIR 濾波器，其幅頻特性和相頻特性有少許不同，所以首先要確定濾波器的類(lèi)型，本題選擇 ()hn 偶對(duì)稱(chēng)， N 為偶數(shù)這一類(lèi)型，其設(shè)計(jì)過(guò)程如下： （ 1） 由性能指標(biāo)和濾波器的類(lèi)型確定 ()Hk的模 | ( )|Hk 。 12 （ 2） 根據(jù)濾波器的類(lèi)型及頻率抽樣法的特點(diǎn)確定 ()Hk的相角()k? 。 (3)由 | ( )|Hk 和 ()k? 構(gòu)造出 ()Hk，再經(jīng)過(guò)逆變換便可求出單位沖激響應(yīng)()hn ，而且其虛部必為零。 （五） FIR 濾波器的實(shí)現(xiàn) 濾波器的實(shí)現(xiàn)主要包括兩方面的內(nèi)容，首先選擇一個(gè)合理的結(jié)構(gòu)，然后利用有限精度數(shù)值實(shí)現(xiàn)它。 如前所述， FIR 濾波器通常有直接型、級(jí)聯(lián)型、格型、頻率抽樣型等幾種結(jié)構(gòu)。 下面先來(lái)分析系數(shù)的偏離是如何影響零點(diǎn)的偏移的，假設(shè) FIR 濾13 波器系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn) z、都是一階零點(diǎn)，則有 11 11 1( ) 1 ( ) (1 )NN nin iH z h n z z z?? ??? ?? ? ? ?? ? (425) 若用 ()hn? 表示系數(shù)的偏差， iz? 表示零點(diǎn)的偏差，則第 i 個(gè)零點(diǎn)的偏差可用系數(shù)的偏差表示為 11 ()()N ii n zz h nhn???? ? ??? (426) 由此式可經(jīng)看出()izhn??的大小決定著 ()hn? 對(duì) iz? 的影響程度，故將其定義為 z，對(duì)系數(shù) ()hn 的靈敏度，對(duì)式（ 422）進(jìn)行求導(dǎo) ( ) ( )( ) ( )ii zz zH z H zh n z h n????? ?????????? ? ??? ?? (427) 經(jīng)過(guò)變形就可得到 111,() ()NniiNijj j izzhn zz?????? ?? ?? (428) 由此式可得到結(jié)論：若零點(diǎn)越密集，則零點(diǎn)對(duì)系數(shù)量化誤差的靈敏度就越高，而且，密集的零點(diǎn)數(shù)越多，靈敏度越高。但大多數(shù)情況下，采用直接型結(jié)構(gòu)，原因是：對(duì)大多數(shù)線(xiàn)性相位 FIR 濾波器來(lái)說(shuō)，零點(diǎn)在 Z 平面內(nèi)或多或少是均勻鋪開(kāi)，從而使濾波器對(duì)系數(shù)量化誤差的靈敏度很低；無(wú)論系數(shù)量化誤差多大，采用直按型結(jié)構(gòu)都能獲得準(zhǔn)確的線(xiàn)性相位；具體實(shí)現(xiàn)時(shí)用到的乘法器也比級(jí)聯(lián)型少 [89]。令 ()fhn表示量化后的系數(shù)，它與量化前的系數(shù) h(n)之間的關(guān)系為： ( ) ( ) ( )fh n h n h n? ? ? (429) 由此式可求得量化后濾波器的頻率響應(yīng)： ( ) ( ) ( )fh H H? ? ?? ? ? (430) 參考文獻(xiàn) [10]對(duì)式 (426)中的頻響誤差 △ H(w)進(jìn)行了分析討論，并給出了它的標(biāo)準(zhǔn)偏差的上限 2 2 123b N? ? ??? (431) 由上式可以得出，若己知頻響誤差 △ ()Hw的標(biāo)準(zhǔn)偏差，在算出濾波器的階數(shù) N 后便可求出系數(shù)所需要的字長(zhǎng) b。 15 工程實(shí)踐中確定系數(shù)字長(zhǎng) b 通常是采用試湊法進(jìn)行的，首先求出濾波器的無(wú)限精度系數(shù) (這樣得到的系數(shù)已經(jīng)進(jìn)行了歸一化處理 )，然后對(duì)系數(shù)進(jìn)行量化， 利用量化后的系數(shù)算出其頻響特性，若頻響特性超過(guò)濾波器的性能要求，則可降低量化字長(zhǎng)位數(shù)，反之，則增加量化字長(zhǎng)位數(shù)，經(jīng)過(guò)幾次試湊后便可得到比較合理的字長(zhǎng) b。它的信號(hào)處理工具箱包含了各種經(jīng)典的和現(xiàn)代的數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)，匯集了大量的各種算法的函數(shù)，使各種研究時(shí)間大大節(jié)省。利用 MATLAB 作為 FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的輔助工具，調(diào)用其信號(hào)處理工具箱的內(nèi)部函數(shù)使 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)變得簡(jiǎn)單，易實(shí)現(xiàn)。 現(xiàn)以理想的數(shù)字濾波器為逼近濾波器，理想低通濾波器的幅度響應(yīng)為 ()Hej? ，濾波器的截止頻率應(yīng)該由頻域指標(biāo)中的通帶截止頻率p? 與阻帶截止頻率 s? 按下試確定： 2 spc ??? ?? (432) 16 （ 1）構(gòu)造 FIR數(shù)字濾波器的幅頻函數(shù) ()Hk ，也就是對(duì)幅頻特性曲線(xiàn)進(jìn)行 N點(diǎn)等間隔的抽樣得到。 （ 3）根據(jù) ()hn 繪制 FIR的頻率響應(yīng)曲線(xiàn)，驗(yàn)證是否滿(mǎn)足給定的技術(shù)指標(biāo)，若不滿(mǎn)足的話(huà)，則需要通過(guò)增加若干個(gè)過(guò)渡采樣點(diǎn)的方法進(jìn)行修正 [1112]。 設(shè)計(jì)要求： （ 1）通帶截止頻率為 3400HZ，阻帶截止頻率為 5400HZ。 頻率響應(yīng)在 0~*pi 之間為 1，在 *pi~pi 之間為 0，對(duì) ()hn 加窗截?cái)?，選擇矩形窗和任意一種其他窗口，每種窗口長(zhǎng)度分別為M= 40三種情況 ，對(duì)每種情況要進(jìn)行性能好壞的分析。如果要理想狀態(tài)的話(huà)，就直接就是矩形窗序列乘序列就 OK，矩形窗只能達(dá)到 的衰減，但是實(shí)際的加窗構(gòu)成的濾波器，必然會(huì)存在波紋，和過(guò)渡帶濾波器的衰減指標(biāo)主要是由阻帶衰減確定的不妨設(shè)阻帶衰減為 50dB那 么 要 達(dá) 到 這 個(gè) 指 標(biāo) ， 通 過(guò) 查 表 可 以 知 道 必 須 是 hamming window() 或 blackman window() 。編寫(xiě)的 MATLAB 程序的主要代碼 附錄（二） 。 P h a s e R e s p o n s e 圖 61 低通濾波器設(shè)計(jì)圖0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 1 0 0 0 8 0 0 6 0 0 4 0 0 2 0 00N o r m a l i z e d F r e q u e n c y ( ? ? r a d / s a m p l e )Phase (degrees)0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 1 0 0 5 00N o r m a l i z e d F r e q u e n c y ( ? ? r a d / s a m p l e )Magnitude (dB)F r e q u e n c y amp。 P h a s e R e s p o n s e M = 2 0 圖 63 低通濾波器設(shè)計(jì)圖（ M=20） 20 六 、結(jié)論 FIR 濾波器的應(yīng)用十分廣泛，當(dāng)今的許多信號(hào)處理系統(tǒng)，如圖象處理等系統(tǒng)要求具有線(xiàn)形相位特性。此外， FIR 濾波器的沖激響應(yīng)是有限長(zhǎng)序列，其系統(tǒng)函數(shù)為一個(gè)多項(xiàng)式，它所含的極點(diǎn)多為 原點(diǎn)，所以 FIR 濾波器永