【正文】 也 要兼顧 精度 、可靠性、 集成等 性能要求 。 庫利 圖基算法 是現(xiàn)今通用的 FFT算法，其基本原理 將一個常數(shù) n的離散傅里葉變換遞歸地分解為兩個常數(shù)分別為 1n 和 2n 的變換， 基于分級的思想使 n= 1n * 2n ， 極大的 簡化了原來的離散傅里葉變換 從而以 較高的運算效率便于 研究高性能的有限沖激響應(yīng)濾波器 。在數(shù)字控制系統(tǒng) 或傳輸系統(tǒng) 中輸入信號中所含的干擾對系統(tǒng)的性能會產(chǎn)生很大的影響，因此需要對輸入信號進行處理，以提取有用信號。 ()jHe? 的線性相位是指 ()??是 ? 的線性函數(shù)，即 ()? ? ???? （ ? 為常數(shù)） (16) 若()??滿足 0()? ? ? ???? （ 0? 為起始相位） (17) 此時 ()??不具有線性相位，但因為群時延是常數(shù)，即 ()d d?? ?? ?? 這種相位也稱為線性相位。 重慶郵電大學本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 5 第三節(jié) 本章小結(jié) 本章對 FIR數(shù)字濾波器 的特點進行了簡要介紹，并對它 的線性 相位條件 做 出了說明，并將其相位線性條件的四種情況列表分析。但也基于此，我們?nèi)粝敫淖?FIR濾波器，只能選擇通過改變?yōu)V波器的零點位置。本章將主要介紹第一類設(shè)計方法。 數(shù)字濾波器窗函數(shù)法設(shè)計原理 設(shè)一個截止頻率為 c? 的理想低通濾波器，其相頻特性 ()??=0，該理想 LPF的頻率響應(yīng)為 1()0 cjd cHe ???? ? ?? ??? ????? （ 21） 對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為 sin ( )1() 2 ccjn cd nh n e d n? ?? ???????? （ 22） 由 信號與系統(tǒng)知識可知，顯然這是一個非因果序列。 理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng) ()dhn截斷后所得的序列 ()hn 的頻率特性自然會發(fā)生變化，濾波器形狀不再是理想矩形，圖 21 給出了 M=20 和 60 的因果沖激響應(yīng)的幅度響應(yīng)。 圖 非理想低通濾波器的幅度響應(yīng) 由公式（ 23）可以看出逼近誤差函數(shù)的實質(zhì)就是加窗后產(chǎn)生的影響，其大小與窗函數(shù)的形狀和長度有關(guān)。 二 、 常用的窗函數(shù) 其他 常用的窗函數(shù)有 Bartlett 窗（又叫三角窗）， Hanning 窗（又叫升余弦窗），Hamming 窗（又稱改進的升余弦窗）， Blackman 窗（又稱為二階升余弦窗）和Kaiser 窗 [5]。 窗 對 Hanning窗加以改進得到 Hamming窗，它的旁瓣更小，其窗函數(shù)為： 2( ) (0 . 5 4 0 . 4 6 c o s ) ( )1 Rnw n w nN???? (211) 22( ) 0 . 5 4 ( ) 0 . 2 3 [ ( ) ( ) ] 1R R RW W W W NNN??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (212) 由資料可知， Hamming 窗可將 %的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)。 窗 Blackman 窗同前兩種窗函數(shù)一樣屬于升余弦窗，是在 Hamming 窗加上用于抑制旁瓣的二次分量構(gòu)成的，窗函數(shù)為 24( ) ( 0 . 4 2 0 . 5 c o s 0 . 0 8 c o s ) ( )11Rnnw n w nNN??? ? ??? (213) 22( ) 0 . 4 2 ( ) 0 . 2 5 [ ( ) ( ) ]11440 . 0 4 [ ( c o s ) ( c o s ) ]11R R RRRW W W WNNnnWWNN??? ? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ??? (214) 其幅度函數(shù)有五部分移位不同幅度也不同的 ()RW? 函數(shù)組成，使它們的旁瓣進一步抑制，阻帶衰減進一步增加，過渡帶也有所加寬，是矩形窗的三倍。對于給定的指標 ， Kaiser 窗可以使設(shè)計的濾波器階數(shù)最低。參數(shù) ? 可以控制窗的形狀。 表 各種窗函數(shù)的參數(shù)值 窗函數(shù) 旁瓣峰值幅度/dB 過渡帶寬近似值（ /N? ） 過渡帶寬精確值 ( /N? ) 阻帶最小衰減/dB 矩形窗 13 4 21 巴特雷特窗 25 8 25 漢寧窗 31 8 44 漢明窗 41 8 53 布萊克曼窗 57 12 11 74 凱塞窗 57 10 10 80 重慶郵電大學本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 第二節(jié) 頻率采樣法設(shè)計 FIR 濾波器 由于濾波器的技術(shù)指標一般是在頻域給出的，頻率采樣法更加方便，尤其對于 ()jdHe? 公式比較復雜， 不便用 公式表示 時更是如此 。 二、 頻率采樣法設(shè)計線性相位濾波器的條件 以第一類線性相位濾波器為例， ()hn 是實序列， ( ) ( 1 )? ? ?h n h N n。 三 、逼近誤差及其采樣措施 用頻率采樣法逼近目標濾波器，通帶和阻帶出現(xiàn)波動，過渡帶加寬，實際的()?jHe 與理想的 ()?jdHe 相比產(chǎn)生誤差。所以增加采樣點數(shù)不能改善濾波器的阻帶衰減特性。 四 、 頻率采樣法設(shè)計 FIR 濾波器的步驟 綜上所述，頻率采樣法設(shè)計 FIR數(shù)字 濾波器的步驟歸納如下： ① 根據(jù)阻帶最小衰減 ?s 選擇過渡采樣點數(shù) m。 顯然 拉平皺紋重慶郵電大學本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 的幅度，可以更好地逼近理想濾波器的響應(yīng) 。設(shè)所要求的濾波器幅度函數(shù) 為 ()?dH ，幅度函數(shù) ()?gH 為逼近函數(shù)，設(shè)逼近誤差加權(quán)函數(shù)為 ()?W ，則加權(quán)逼近誤差函數(shù)為 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]? ? ? ???dgE W H H （ 229） 由于不同頻帶 m ax[ ( ) ( )]???dgHH不同，所以不同頻帶中 ()?W 可以不同，通過調(diào)整 ()?W 使得各頻帶加權(quán)誤差 ()?E 一樣。 重慶郵電大學本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 15 二、 利用最佳一致逼近準則設(shè)計線性相位 FIR 數(shù)字濾波器 設(shè)希望設(shè)計的線性相位 FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 10() 0 pd sH??? ? ? ?????? ? ???? 中， p? 是通帶截止頻率， s? 為和阻帶截止頻率。將 M+2 個頻率點全部檢查后，便得到了新的交錯點組，求出 ① 所說的參數(shù)，完成了一次迭代； ③ 重復以上步驟，得到 ? 收斂的上限，得到 ()gH? 最佳一致逼近 ()dH? ，在之后由 ()gH? 求得 ()hn 。 重慶郵電大學本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 17 第三章 Matlab 實現(xiàn) FIR 數(shù)字濾波器 第一節(jié) Matlab 實現(xiàn)窗函數(shù)法設(shè)計 在前面討論中，利用 Matlab 設(shè)計 FIR數(shù)字濾波器可以采取窗函數(shù)法，頻率采樣法和最佳一致逼近法，通過調(diào)用 Matlab 中的函數(shù)和不同的參數(shù)可以實現(xiàn)不同要求的 FIR數(shù)字濾波器。 調(diào)用格式 hn=fir1(M,wc)：返回 6dB截至頻率為 wc 的 M 階（ N=M+1， N 為hn的長度） FIR 的低通濾波器系數(shù)向量 hn。 調(diào)用格式 hn = fir(M， wc， ?filtertype?)，當 ?filtertype?為 high 時，所設(shè)計即為高通濾波器；而其為 stop 時，即為帶阻濾波器， wc=[wcl,wcu]。 hn=fir1(M,wc， ?high?， blackman(M+1)) %指定 Bartlett 窗為設(shè)計濾波器的窗函數(shù) 。 由圖 可以明顯看出，信號是兩個頻率的正弦信號的復合信號。 圖 多帶通濾波器增益響應(yīng) 重慶郵電大學本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 21 圖 信號濾波前的時域和頻域波形 圖 信號濾波后的時域和頻域波形 重慶郵電大學本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 22 第二節(jié) Matlab 實現(xiàn)頻率采樣法設(shè)計 頻率采樣法是從頻率 角度進行處理 ， 對 ()jdHe? 等間隔采樣，然后以此 ()dHk作為實際 FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的采樣值 H(k)，再利用 拉格朗日 內(nèi)插公式得到 FIR數(shù)字濾波器的 ()Hz以及 ()jHe? 。 圖 頻率采樣法設(shè)計 LPF 重慶郵電大學本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 23 從參考程序及圖 ：濾波器的階數(shù) N 為 65，濾波器的通帶截頻 ? /4，過渡帶寬為 ? /16，滿足 設(shè)計 要求。 函數(shù) remezord 是 Matlab 波紋逼近法設(shè)計濾波器的函數(shù)， 調(diào)用 help 命令可知其功能是 基于 Remez交迭算法得到 等波紋最佳逼近 FIR數(shù)字濾波器的最低階數(shù) M，逼近 誤差加權(quán)向量 w 和歸 一化邊界頻率向量 f，并使?jié)M足要求的濾波器成本最低。 f和 m 描述的各逼近頻段允許的波紋振幅（幅頻響應(yīng)最大偏差）用 rip 表示， f的長度是 rip 的兩倍。 fo 和 mo 為希望逼近的幅度特性， fo 為單調(diào)增的邊界頻率向量，從 0 開始，到 Fs/2 結(jié)束； mo 為與 f對應(yīng)的幅度向量， m(k)表示頻率點 fo(k)的幅頻響應(yīng)值。 調(diào)用 remez 函數(shù)和 remezord 函數(shù)求解程序 見附錄 ，運行程序 ， 得 到 濾波器階數(shù) N=28，修正為 N=30。 圖 等波紋法設(shè)計的 FIR 低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)、頻譜響應(yīng)和相位響應(yīng) 二、 FIR 濾波器 約束 最小二乘法設(shè)計分析 基于最小方差原則的 約束 最小二乘法 （ Contained Least Square， CLS） 是一種數(shù)據(jù)處理方法 [9]，其設(shè)計可以不用明確過渡帶的幅值響應(yīng)，只需要指定截止頻率，通帶的邊緣頻率和阻帶的邊緣頻率 。 firls 函數(shù)，可以實現(xiàn)此濾波器的設(shè)計。 firls 設(shè)計的濾波器通帶和阻帶的波紋較小，但是在整個頻帶內(nèi)卻不一致。其調(diào)用格式常見的為： b=cremez（ n， f， ?fresp?）； b=cremez（ n， f， ?fresp?， w）。各段最優(yōu)化權(quán)向量為： w=[1 10 1]；第二個濾波器：取 N=30，邊界頻率向量為： f=[1 1]； 幅度響應(yīng)為 a=[3 2 2 2 1 2]；各段最優(yōu)化權(quán)向量為； w=[2， 10， 5]；實現(xiàn) MATLAB 代碼見附錄 。 程序詳見附錄 ，得到的結(jié)果如圖 和 所示。 二、 GUI設(shè)計及濾波結(jié)果分析 設(shè)計 按照規(guī)劃，需要在布局 區(qū) 域 放置 如下控件： 3 個 Panel、 7 個 Axes、 7 個 Text、5 個 PushButton、 1 個 RadioButton 和 1 個 CheckBox。 濾波結(jié)果如下圖所示，部分 Matlab 程序在附錄 。其次，帶通濾波的結(jié)果 與高通濾波結(jié)果一致，濾波效果也很差 。 重慶郵電大學本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 32 圖 頻率采樣法設(shè)計的 HPF 對語音濾波結(jié)果 加入噪聲后回放的語音信號與原始語音明顯不同，伴隨明顯的噪聲， 從含噪頻譜中可以看出在 250Hz中有明顯的沖激。這體現(xiàn)了 工程設(shè)計經(jīng)常需要取舍的矛盾。 重慶郵電大學本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 33 第四章 多采樣率數(shù)字信號處理 的研究 第一節(jié) 多采樣率數(shù)字信號處理工程需求 現(xiàn)代信號處理系統(tǒng)的復雜性導致經(jīng)常會 遇到采樣率的轉(zhuǎn)換問題。而第二種方法就是直接在數(shù)字域進行轉(zhuǎn)換，本章就主要討論第二種方法。 圖 按整數(shù)因子抽取 其中整數(shù)因子 D 抽取用符號 “ D? ”表示， D 為抽取因子。 圖 濾除鏡像頻譜 在此就不再贅述頻譜的推導，直接給出 ()jYe? 和 ()jXe? 的關(guān)系： ( ) 0 /()0/j 。內(nèi)插之后再進行濾波，則有 ( ) ( )ayy m x mT? ，其簡要原理框圖如圖 所示 。根據(jù) ,yxFF比例的不同，采樣率轉(zhuǎn)換分為以下幾種情況： （ 1）若 /yxF T D? ， D 為正整數(shù)，即 ()xn 每隔 D1 個采樣值抽取一個，使采樣率降低為原來的 1/D ，稱為按整數(shù)因子 D 抽??； （ 2）若 yxF IF? ， I 為正整數(shù)，即 ()xn 的兩個相鄰采樣值之間插入 I1 個新的采樣值，使采樣率提高到原來的 I 倍，稱為按整數(shù)因子 I 插值； （ 3）若 //yxF F I D? ,且 I 和 D 互素，使采樣率變?yōu)樵瓉淼?/ID倍，稱為按有理數(shù)因子 /ID的采樣率轉(zhuǎn)換； （ 4）若 /yxFF為任意 有限數(shù)，稱為按任意因子的采樣率轉(zhuǎn)換 [13]。第一種，在滿足采樣定理的前提下先將以采樣率為 1sF 的數(shù)字信號通過 數(shù)模 轉(zhuǎn)換成模擬信號， 再 按照 采樣率 2sF 采樣 ， 實現(xiàn) 了 采樣率的轉(zhuǎn)換。 在設(shè)計中，參數(shù)的選定和優(yōu)化是非常重要的 。 第 五