【正文】 理想情況下，抗混疊低通濾波器的 ()Dhn的頻率響應(yīng) ()jdHe? 表示為： 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 34 1/()0/jdDHeD???? ? ?? ??? ????? （ 41） 設(shè) x(n)經(jīng)過抗混疊低通濾波器后的輸出是 v(n),則 y(m)等于 0( ) ( ) ( ) ( )Dky m v D m h k x D m k??? ? ?? （ 42） 而根據(jù)上式和信號與系統(tǒng)里的知識，有 12 / /012 / 1 /012 / 1 /01( ) ( ) ( )1( ) ( )1()Dj k m D m DkDj k m D D mkDj k D DkY z v m e zDv m e zDV e zD??????? ? ?????? ? ??????????? （ 43） 因為 ( ) ( ) ( )DV z H z X z? ，所以 1 2 / 1 / 2 / 1 /01( ) ( ) ( )D j k D D j k D DDkY z H e z X e zD??? ???? ? （ 44） 將 yjze?? 代入上式，則 22101( ) ( ) ( )yyy kkDj DDDkY e H e X eD? ? ? ?? ????? ? （ 45） 原理如 圖 所示 圖 按整數(shù)因子內(nèi)插 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 35 二、 按整數(shù)因子內(nèi)插 整數(shù)倍內(nèi)插就是在原始序列 x(n)的兩個相鄰樣值之間插入 (I1)個采樣值，這就稱為整數(shù)因子 I 對 x（ n）零值內(nèi)插，用符號 “ I? ”表示。采樣率轉(zhuǎn)換常用以下兩種方法實現(xiàn) 。經(jīng)過頻率采樣法設(shè)計的 FIR濾波器之后，低頻噪聲明顯得到過濾 ， 但截 止 頻率難以控制， 局限在 2/N? 點上， 比較死板，而充分增大 N 會使計算量和復(fù)雜度增加。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 30 圖 濾波結(jié)果 首先，先看高通濾波的結(jié)果。 圖 混合 語音信號 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 28 圖 濾波后的波形圖和頻譜圖 加入噪聲后回放的語音信號與原始語音明顯不同，伴隨有明顯的嘯叫聲，從含噪頻譜中可以看出在 20xxHz 中有明顯的沖激。 其中，參數(shù) f是頻率邊界向量，范圍是 [1,1]。其調(diào)用格式為 b=firls(n,f,m)。濾波器單位脈沖響應(yīng) h(n)的波形如下所示。 而 remez函 數(shù)的功能是實現(xiàn)線性相位 FIR數(shù)字濾波器的等波紋最佳逼近設(shè)計。 第三節(jié) Matlab 實現(xiàn)等波紋逼近法設(shè)計 窗函數(shù)法和頻率采樣法有一個共同的缺點，它們的通帶和阻帶存在幅度波動。對比圖 可以發(fā)現(xiàn)，原信號在窗函數(shù)通帶內(nèi)的分量得以保存，而另一頻率則被濾除掉了。根據(jù)表 ，此時 M=2N，若此時輸入為奇數(shù)， fir1 會自動加 1，確保 M 為偶數(shù)。在最后可以通過設(shè)計的濾波器對已加噪聲的語音信號進行濾波，觀察濾波前后時域和頻域的圖像，確認濾波器的設(shè)計是否滿足要求。 1? 、 2? 分別 為 為通帶波紋峰值、阻帶波紋峰值，由（ 230）可得 0( ) [ ( ) ( ) c os( ) ] ( 1 )m a x ( ) 0 , 1 , 2... , 1M kdknW H a n nE k M? ? ? ????? ? ? ????? ? ??? （ 231） 改寫成矩陣形式為 0001111()c os c os1 ( 0)()1 c os c os ( 1 )1 c os c os ( )()()ddM M d MdMHM aHM aMHaMH??????? ? ?? ? ????? ?????? ?????? ??????????? ?? （ 232） 但由于直接求解（ 230）是困難的，一般通過雷米茲 (Remez)算法求解，步驟如下。 這樣，由于誤差在整個頻帶上均勻分布，對于同樣的技術(shù)指標，逼近理想響應(yīng)的濾波器階數(shù)較低 ；同樣的階數(shù)時，這時最大誤差最小 。 雖然不能通過增加采樣點數(shù)改善阻帶衰減特性，但是可以考慮在不連續(xù)的邊緣上增加一些過度的采樣點，減少畸變，從而改善起伏振蕩。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 12 為奇數(shù) ( ) ( ) 1 0 , 1 , 2 , .. .,( ) 0 1 , 2 , .. ., 1( 1 )( ) 0 , 1 , 2 , .. ., 1??? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ?g g cg c c cH k H N k k kH k k k k N kNkk k NN （ 224） 為偶數(shù) ( ) ( ) 1 0 , 1 , 2 , .. .,( ) 0 1 , 2 , .. ., 1( 1 )( ) 0 , 1 , 2 , .. ., 1??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ?g g cg c c cH k H N k k kH k k k k N kNkk k NN （ 225） 式中， ck 是小于等于 2??cN 的最大整數(shù)。估算 ? 和階數(shù) N 的公式如下： 0 .1 1 2 ( 8 .7 ) 5 00 .0 5 8 4 2 ( 2 1 ) 0 .0 7 8 8 ( 2 1 ) 2 1 5 00 2 1sss s ssdBd B d BdB??? ? ? ??????? ? ? ? ? ??? ?? (218) B? ?? ? (219) 主瓣隨著 ? 增大而加寬 ，旁瓣幅度 也隨著其增大而變小。用Blackman窗設(shè)計的低通濾波器的旁瓣比通帶增益低 75dB，主瓣和旁瓣差 57dB。 窗 21012()2112nNnNwnnN nNN?? ???? ??? ??? ? ? ?? ?? （ 27） 22 sin( / 4)()sin( / 2)NW N ?? ?? （ 28） 用 Bartlett 窗設(shè)計的低通濾波器，阻帶中最大旁瓣比通帶增益 低 25dB，主要性能參數(shù) 25 , 25nsdB dB??? ? ? ?。 由圖可以看出，加窗后 的主要影響是在濾波器通帶和阻帶上有波動，過渡帶變寬。 一、 窗函數(shù)法設(shè)計 FIR 數(shù)字濾波器 窗函數(shù)設(shè)計法的基本思想是通過逼近理想濾波器的特性，以獲得高性能的 FIR 數(shù)字濾波器。 FIR濾波器采用非遞歸結(jié)構(gòu)，不會積累誤差，與 IIR 濾波器的遞歸結(jié)構(gòu)會導(dǎo)致寄生振蕩 不 同，不會產(chǎn)生 極限環(huán)[4]；而 FIR 濾波器最優(yōu)秀的 特點 是嚴格線性的 相位 ，不會出現(xiàn)非線性現(xiàn)象。根據(jù)沖激響應(yīng)的不同，數(shù)字濾波器可以分為無限響應(yīng)濾波器（ Infinite Impulse Response， IIR）和有限響應(yīng)濾波器（ Finite Impulse Response， FIR）；根據(jù)功能上的區(qū)分，數(shù)字濾波器可分為低通濾波器（ Low Pass Filter， LPF）、高通濾波器（ High Pass Filter， HPF）、帶通濾波器（ Band Pass Filter， BPF）和帶阻濾波器（ Band Stop Filter， BSF）等。 在數(shù)字時 代來臨之前，信號的處理，分析，包括濾波都采用模擬信號和模擬電路的形式。本文采用窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋逼近法，通過調(diào)用 MATLAB 函數(shù)設(shè)計 FIR數(shù)字濾波器。之后用基于 MATLAB 函數(shù)設(shè)計的 FIR 數(shù)字濾波器進行語音濾波處理，通過濾 波前后信號的頻譜圖和生成的聲音文件的對比，分析不同濾波器的濾波效果。然而人們在應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)模擬信號在信息傳遞過程中，由于信號不可避免的會被噪聲污染，模擬信號由于值可以是任意的，在噪聲的干擾下很容易失真。 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以表示為 : 00()1MjjjNiiibzHzaz???????? (11) 由此可以得到系統(tǒng) I/O 關(guān)系的常系數(shù)線性差分方程為 : 00( ) ( ) ( )??? ? ? ???NMkkkky n a y n k b x n k (12) 一 、 FIR 數(shù)字濾波器 FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H（ z） 為： 10( ) ( )N nnH z h n z? ???? （ 13） 其中 H（ z） 在 z=0 處有 N1 個極點。除此之外， FIR濾波器的極點都在 Z域的原點上，不會產(chǎn)生穩(wěn)定性問題。 設(shè) ()jdHe? 是需要逼近的理想濾波器頻響 ， ()dhn是時域的單位脈沖響應(yīng) ， 由信號與系統(tǒng)知識可知 是無限長非因果序列 ，是物理不可實現(xiàn)的 。綜上所述，必須從降低通帶和阻帶波動和減小過渡帶上考慮，才能使所設(shè)計的濾波器逼近理想低通濾波器， 選擇合乎要求的 ()Rwn是關(guān)鍵 。 窗 12( ) [ 1 c o s( ) ] 0 121 nw n n NN ?? ? ? ? ?? (29) Hanning窗的頻譜函數(shù)為 22( ) 0 . 2 5 [ ( ) ( ) ]2 1 1RRRWW W WNN??? ? ?? ? ? ? ??? (210) 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 9 由式（ 210）可見， Hanning 窗的頻譜由三部分組成：即 RW 、 2()1RW N??? ? 和 2()1RW N??? ? 。 Blackman窗主要參數(shù) 57 , 75nsdB dB??? ? ? ?。 ? 的經(jīng)典范圍 4?9。對于高通和阻帶濾波器， N 只能取奇數(shù)。 增加采樣點數(shù)可以 使 阻帶衰減明顯提高，付出的代價則是過渡帶變寬。 這就是等波紋逼近法的思想。 ① 在頻域等間隔取 M+2 個頻率 0 1 1, , . M? ? ? ? 作為交錯點組頻率的初始值。 一、 Matlab實現(xiàn)窗函數(shù)法的設(shè)計 1. Matlab 信號處理工具箱函數(shù)提供了 14種窗函數(shù)產(chǎn)生函數(shù)，下面列出第二章所介紹的六種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)。 fir1 默認的窗函數(shù)是 Hamming 窗，下面列舉幾個不是默認而是指定的窗函數(shù)調(diào)用格式。 Kaiser 窗設(shè)計多帶通濾波器 設(shè)計要求：使用 Kaiser 窗，采樣頻率 200Hz；通帶截頻 ? 、 ? 、 ? 、? ，阻帶截頻 ? 、 ? 、 ? 、 ? ；阻帶衰減大于等于 30dB，通帶和阻帶波紋 。以窗函數(shù)設(shè)計法為例，在接近通帶和阻帶的邊緣，幅度波動最大。其調(diào)用格式為 hn=remez(M,fo,mo,w) remez函數(shù)返回單位脈沖響應(yīng)向量 hn。為了得到同樣效果的濾波器，用 Kaiser 窗函數(shù)（ ?? ）要多其一倍的階數(shù)?，F(xiàn)利用 firls 函數(shù)設(shè)計一帶通濾波器，通帶為 [， ]和[， ]， Fs=1000Hz，對信號 x = s i n ( 2 * 8 0 t ) + 2 * s i n ( 2 * 1 4 0 t )??進行 濾波 ，濾波結(jié)果如圖 所示， 程序見附錄 。 現(xiàn)利用 cremez 函數(shù)設(shè)計帶通濾波器，以及一個相對自由的任意頻響濾波器。經(jīng)過 Remez 函數(shù)所設(shè)計的 FIR濾波器之后， 20xxHz 處的噪聲明顯得到過濾。 濾波之后信號不論是時域還是頻域都與原信號完全不同。 第 五 節(jié) 本章小結(jié) 本章的設(shè)計目的是通過調(diào)整通帶、阻帶波紋實現(xiàn)所要求的相位和衰減 。第一種，在滿足采樣定理的前提下先將以采樣率為 1sF 的數(shù)字信號通過 數(shù)模 轉(zhuǎn)換成模擬信號， 再 按照 采樣率 2sF 采樣 ， 實現(xiàn) 了 采樣率的轉(zhuǎn)換。內(nèi)插之后再進行濾波，則有 ( ) ( )ayy m x mT? ，其簡要原理框圖如圖 所示 。 圖 按整數(shù)因子抽取 其中整數(shù)因子 D 抽取用符號 “ D? ”表示， D 為抽取因子。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 33 第四章 多采樣率數(shù)字信號處理 的研究 第一節(jié) 多采樣率數(shù)字信號處理工程需求 現(xiàn)代信號處理系統(tǒng)的復(fù)雜性導(dǎo)致經(jīng)常會 遇到采樣率的轉(zhuǎn)換問題。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 32 圖 頻率采樣法設(shè)計的 HPF 對語音濾波結(jié)果 加入噪聲后回放的語音信號與原始語音明顯不同，伴隨明顯的噪聲， 從含噪頻譜中可以看出在 250Hz中有明顯的沖激。 濾波結(jié)果如下圖所示，部分 Matlab 程序在附錄 。 程序詳見附錄 ，得到的結(jié)果如圖 和 所示。其調(diào)用格式常