高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1第三章導(dǎo)數(shù)在證明恒等式中的應(yīng)用word拓展資料素材-閱讀頁(yè)
2024-12-09 23:16本頁(yè)面
【正文】 ＝ c． 由假設(shè) f(x， y)≠0 ，則 c為不等零的常數(shù)． 令 x＝ y＝ 0，代入上式，有 f2(0， 0)＋ g2(0， 0)＝ 0，這與 c≠0 矛盾．于是， f(x， y)＝ 0，由 (3)式知， g(x， y)＝ 0． 例 15 已知 x≠2kπ ， k∈ Z． 求證： 證明 已知 對(duì)上式兩端同時(shí)求導(dǎo)，有 類(lèi)似可證：已知 x≠2kπ ， k∈Z ， 求證： 例 16 證明： 2sinxcosx＋ 4sin2xcos2x＋ … ＋ 2nsinnxcosnx＝ 證明 已知 對(duì)上 式兩端求導(dǎo)，得 2sinxcosx＋ 4sin2xcos2x＋ … ＋ 2nsinnxcosnx 注 欲證等式的左端 2sinxcosx＋ 4sin2xcos2x＋ … ＋ 2nsinnxcosnx 恰為 sin2x＋ sin22x＋ … ＋ sin2nx的導(dǎo)函數(shù)，所以證明開(kāi)始應(yīng)用了公式 例 17 已知 證明 對(duì)已知等式取自然對(duì)數(shù)，有 對(duì)上式兩端求導(dǎo)，有 對(duì)上式兩端求導(dǎo)，得 令 x＝ 1，則 令 x＝－ 1，則 例 19 證明：若 (a＋ b＋ c)2＝ 3(bc＋ ca＋ ab)，則 a＝ b＝ c，其中 a， b， c為常數(shù)． 證明 將 a看作變量， b， c看作固定常量，等式兩端同時(shí)對(duì) a求導(dǎo)，有 由已知條件知， a、 b、 c為對(duì)稱(chēng)的，所以有 將 (2)代入 (1)，化簡(jiǎn)得 a＝ c．同理 a＝ b，從而， a＝ b＝ c．
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