【正文】 計(jì) 上 顯 著 ， 則 表 明 數(shù) 據(jù) 中 存 在 異 方 差 性 。 其基本思想是：先將樣本一分為二，對子樣①和子樣②分別作回歸，然后利用兩個(gè)子樣的殘差平方和之比構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 75 （ 1）將 n 對樣本觀察值 (Xi ,Yi) 按觀察值 Xi 的大小排隊(duì)； （ 2）將序列中間的 c = n/4個(gè)觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個(gè)子樣本，每個(gè)子樣樣本容量均為 (nc)/2； （ 3）對每個(gè)子樣分別進(jìn)行 OLS回歸，并計(jì)算各自的殘差平方和； G Q 檢驗(yàn)的具體步驟： 221212iieenck????? 分 別 用 與 表 示 較 小 與 較 大的 殘 差 平 方 和 ， 自 由 度 均 為 。當(dāng)然，還可根據(jù)兩個(gè)殘差平方和對應(yīng)的子樣的順序判斷是遞增型異方差還是遞減型異方差。懷特檢驗(yàn)的基本思想與步驟（以二元為例）： 0 1 1 2 22O L Si i i iiY X X ue? ? ?? ? ? ?(1) 先 對 模 型 做 回 歸 ，得 到 。 22~ ( )asyn R m?中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 78 (4)在大樣本下，對統(tǒng)計(jì)量 nR2 進(jìn)行相應(yīng)的 檢驗(yàn)。 2?2? 如果存在異方差性，則表明確與解釋變量的某種組合有顯著的相關(guān)性，這時(shí)往往顯示出有較高的可決系數(shù)以及某一參數(shù)的 t 檢驗(yàn)值較大。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 79 6. 布羅施 培甘 (BreuschPagan)檢驗(yàn) 0 1 120 1 1( ) ( ), 1 , 2 , ,i i k k i iiii m m iY X X uV a r u f zz z i n? ? ??? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?即 為非隨機(jī)變量 z的函數(shù) ?(z)； 2i?部分或全部解釋變量 Xj可以作為 z。中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 81 ，對給定的顯著性水平 ?， 當(dāng) 時(shí)，拒絕原假設(shè)， 即異方差性存在。 使用 BP檢驗(yàn)時(shí)，不需要特別對函數(shù) ?(z)的類型進(jìn)行限制，只需要其中包含常數(shù)項(xiàng)。 對于模型 設(shè)隨機(jī)擾動項(xiàng)的方差表示為： 0 1 1 2 2 ......i i i k k i iY X X X u? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2( ) , 1 , 2 , . . . ,i i iV a r u i n? ? ?? ? ?22 ii???其 中 為 一 未 知 常 數(shù) ， 表 示 一 組 已 知 數(shù) 值 ， 則 用去 除 模 型 的 各 項(xiàng) ， 模 型 變 為 ：011 ...i i k i iki i i i iY X X u? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 83 2 2 22211( ) ( )iiii i iuV a r V a r u ? ? ?? ? ?? ? ?由 于 所以變換后隨機(jī)擾動項(xiàng)的方差為常數(shù)，可以應(yīng)用 OLS法進(jìn)行估計(jì)，得到的參數(shù)估計(jì)量為 BLUE。對于原模型而言，它已不是 OLS估計(jì)量，我們稱為 廣義最小二乘估計(jì)量 （ GLS估計(jì)量）。 設(shè) GLS模型為： Y=Xβ +u 滿足 E(u） = 0， E(uu180。 根據(jù)矩陣代數(shù)知識可知，對于任一正定矩陣 Ω，存在著一個(gè)滿秩矩陣 P，使得 1 1 1 1P P Y P X P u?? ? ? ???用 左 乘 原 模 型 可 得 ：1 1 1()P P P P? ? ???? ? ? ?， 則中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 85 1 1 1* * *,Y P Y X P X u P u? ? ?? ? ?令 ：* * *Y X u???可 以 得 到 ：* O L Su我 們 討 論 一 下 新 的 擾 動 項(xiàng) 是 否 滿 足 的 基 本假 設(shè) 條 件 ： 11**( ) ( ( ) )E u u E P u u P??? ? ??11( ) ( )P E u u P?????1 2 1( ) ( )PP??? ???2 1 1( ) ( )P P P P? ?????2 1 1( ) ( )P P P P? ?? ??2I??中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 86 這表明 ， 新模型中的擾動項(xiàng) u*滿足 OLS法的基本假設(shè) ，可直接用 OLS估計(jì) ， 估計(jì)量向量為： 這就是 廣義最小二乘估計(jì)量 （ GLS估計(jì)量 ） 的公式 ， 該估計(jì)量是 BLUE。 1G L S * * * *? ()X X X Y? ????1 1 1 1 1( ( ) ) ( )X P P X X P P Y? ? ? ? ?? ? ? ??1 1 1()X X X Y? ? ???? ? ?中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 87 如果只存在異方差性 ， 則 其中 顯然有 : 2()E u u ?? ??2122 220 0. .....00 0. .....0........0 0 0. .....n???????????????????2 0 , 1 , 2 , . . . . . . ,i in? ??120 0. .....00 0. .....0........0 0 0. ......nPP????????????????????中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 88 11121 0 0 .. .. .. 010 0 .. .. .. 0()........10 0 0. .. .. ..nPP????????????????????2121221 0 0 .. .... 01 0 0 ... ... 0........1 0 0 0.... ...n??????????????????所 以 ， ?于 是 ， 是 一 個(gè)特 殊 的 對 角 矩 陣 。 1i??i?中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 90 加權(quán)最小二乘法是廣義最小二乘法的一個(gè)特例，在 Ω矩陣為對角矩陣這種特殊情形下，我們既可以直接應(yīng)用矩陣形式的廣義最小二乘估計(jì)量公式得到GLS估計(jì)值，亦可避開矩陣運(yùn)算，采用加權(quán)最小二乘法得到其 WLS估計(jì)值，兩者結(jié)果完全相同，無論你稱之為 GLS估計(jì)值還是 WLS估計(jì)值，二者是一碼事。 在采用 OLS方法時(shí) : 對較小的殘差平方 ei2賦予較大的權(quán)數(shù)， 對較大的殘差平方 ei2賦予較小的權(quán)數(shù)。中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 93 這表明干擾項(xiàng)方差與 X的平方成比例在模型的兩邊除以 Xji，對模型進(jìn)行變換。 jiX1jiX可用 WLS法估計(jì) ,在這里“權(quán)”就是 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 95 對數(shù)變換常常能減低異方差性，原因就是對數(shù)變換壓縮了測量變量的尺度，把兩個(gè)值的 10倍之差降低到約 2倍之差。 在實(shí)際操作中我們也可以不對原模型進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)，而是直接選擇加權(quán)最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時(shí)。 ? 如果不存在異方差性，則加權(quán)最小二乘法等價(jià)于普通最小二乘法。農(nóng)村人均純收入包括： (1)從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營的收入； (2)包括從事其他產(chǎn)業(yè)的經(jīng)營性收入； (3)工資性收入； (4)財(cái)產(chǎn)收入； (5)轉(zhuǎn)移支付收入。 對兩個(gè)子樣本分別作 OLS回歸，求各自的殘差平方和 RSS1和 RSS2： 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 100 子樣本 1： 21 XXY ??? () () () R2 = ， RSS1 = 子樣本 2： 21 XXY ??? () () () R2 = ， RSS2 = 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 101 計(jì)算 F 統(tǒng)計(jì)量： F = RSS2 / RSS1= 查表 給定 ? = 5%，查得臨界值 (9,9) = ， 判斷 F (9,9)。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 102 （ 2）懷特檢驗(yàn) 作輔助回歸 : 2222112 )( l )( l XXXXe ?????? ( ) () () () () 21 lnln0 XX? () R2 = 似乎沒有哪個(gè)參數(shù)的 t 檢驗(yàn)是顯著的 。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 103 去掉交叉項(xiàng)后的輔助回歸結(jié)果 2222112 )( l n0 3 3 )( l n0 4 7 4 XXXXe ????? () () () () () R2 = X2 項(xiàng)與 X2 的平方項(xiàng)的參數(shù)的 t 檢驗(yàn)是顯著的，且 n R2 = 31? = ? = 5%下 ，臨界值 ?(4) = ， 拒絕同方差的原假設(shè)。 對于模型 Yi = ?0 +?1X1i+ ?2X2i+…+ ?kXki+ ui i =1,2, …, n 隨機(jī)誤差項(xiàng)互不相關(guān)的基本假設(shè)表現(xiàn)為 Cov(ui , uj) = 0 i ? j, i, j = 1,2, …, n 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 107 或者表示為矩陣形式為： 在其他假設(shè)仍成立的條件下，自相關(guān)可以表示為： E(ui uj)≠ 0 ， i≠j, i, j=1,2, …, n Cov(U)=E(UU39。 一般地， E(ut utk) ? 0被稱為 k 階自相關(guān)。 相鄰的誤差項(xiàng)傾向于共同上升，或共同 下降，ut1和 ut的正負(fù)符號相同的可能性較大 。 相鄰誤差項(xiàng)呈現(xiàn)出一增一減的運(yùn)動模式， ut1和ut的正負(fù)符號相反的可能性較大。 ut1對 ut的影響很小。 由于消費(fèi)習(xí)慣的影響被包含在隨機(jī)誤差項(xiàng)中，則可能出現(xiàn)自相關(guān)性（往往是正相關(guān)）。 比如，本來應(yīng)該估計(jì)的模型為 Yt = ?0+?1X1t+ ?2X2t + ?3X3t + ut 但在模型設(shè)定中做了下述回歸： Yt = ?0+ ?1X1t + ?1X2t + vt 因此， vt = ?3X3t + ut，如果 X3 確實(shí)影響 Y，則出現(xiàn) 自相關(guān)。 但建模時(shí)設(shè)立的模型是： Yt= ?0+ ?1Xt + vt 因此，由于 vt = ?2Xt2 + ut, ，包含了產(chǎn)出的平方對隨機(jī)項(xiàng)的系統(tǒng)性影響，隨機(jī)項(xiàng)也呈現(xiàn)自相關(guān)性。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 115 比如：季度數(shù)據(jù)來自月度數(shù)據(jù)的簡單平均，這種平均的計(jì)算減弱了每月數(shù)據(jù)的波動性，從而使隨機(jī)擾動項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)。因此，新生成的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)間就有了內(nèi)在的聯(lián)系，表現(xiàn)出自相關(guān)性。 中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 116 一旦出現(xiàn)自相關(guān)，如果仍采用 OLS法估計(jì)模型參數(shù)，會產(chǎn)生哪些后果呢？ 以一階自相關(guān)為例說明，即假設(shè)： ut =? ut1+ ?t 2 2 211( 2 )t t t tE u u? ? ? ???? ? ?2 2 21( ) ( )ttE u E?????22()tVa r u ?????22 1 ( ) ( ) [ ( ) ]t t t tVar u E u E u?? ?? ? ?則 有 ：222 ( ) 1tuV a r u?????? ?解 得 ：11( , ) ( )t t t tC o v u u E u u??? ? ?11()t t tE u u??????2 11()t t tE u u?????? 2u???中央財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院 邊雅靜 117 因此，可以看出自相關(guān)的后果與異方差