【正文】 ，易見近似程度并不高！ ?????aaxer也可以記為 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。( ) | ( )y f x x y a bb f a a????對 一 元 函 數(shù) 設 準 確 值 和 的 近 似 值 分 別 為 、 ，則 ? 算數(shù)運算的誤差估計 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 1 21 2 2 1122 21 2 1 2 2 1a a a aa a a aaa aa a a a a a? ? ? ???????? ??????? ? ??? ? ????? ? ? Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 (3) 有效數(shù)字 定義 設 是數(shù) 的近似值，如果 的絕對誤差限是它的某一位的半個單位 ，且從該位到 的第一位 非零數(shù)字 共有 位，則稱 作為 的近似有 位有效數(shù)字。 ② 用單精度浮點型變量進行計算的結果有七位有效數(shù)字，雙精度浮點型變量有 16位有效數(shù)字 注 ： Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。不難驗證對于 F中任意不為零的數(shù) f，有 ,m f M??其中 m=2L1， M=2U(12t)， 因此計算機上的計算會有溢出現(xiàn)象：上溢和下溢！ 浮點數(shù)在接近其下界 m處比較稠密，而在接近其上界 M處比較稀疏！因此，在計算中通常都是使用 相對誤差 來控制精度！ 由于計算機的有限精度而造成的誤差稱為 舍入誤差 ！ Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 若 a的絕對誤差滿足： 120. 10 mna d d d? ? ?1 102mnxa ?? ? ?設 x可表示為規(guī)格化浮點數(shù)形式 1 2 1, , , 0~ 9 0nd d d d ?其 中 都 是 中 的 整 數(shù) ， 且 ，定理 設 a是有 n位有效數(shù)字的近似數(shù)，其表達式為式 120. 10 mna d d d? ? ?則它的相對誤差滿足 ? ?15 10 nrea d???反之若近似數(shù) a的相對誤差滿足 ? ?15 101nrea d????則 a至少有 n位有效數(shù)字。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1431 例 1 要使的 近似值 a的相對誤差限不超過 ％，a應取幾位有效數(shù)字？ 30例 2 已知 的近似數(shù) a相對誤差限為 ％，試問 a至少有幾位有效數(shù)字 ? 20參考答案： 3 參考答案： 2 ? ? 3 115: 10 10 , 30 , 5 3nre a ddn??? ? ? ???解 由 及 對 于? ? 115: 10 , 20 , 4 ,1 2nre a ddn?? ? ? ????解 由 及 對 于 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。( ) , ( 1 )( ) ( )39。39。( ) ( ) ( 4 )2f x h f x f xf x h O hh?? ? ? ?考慮方法（ 1）：由泰勒展開，可得 2300 0 039。( )( ) ( ) 39。39。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1433 通過實驗發(fā)現(xiàn)，隨著 h減小，通過（ 1）計算的導數(shù)近似值與真值的誤差是 先減小后增大 ，這種現(xiàn)象是什么原因造成的呢？ 其原因就在于計算機是有限精度的，隨著 h的減小，舍入誤差逐漸被放大，并且最終成為引起誤差的主導因素！（ 要求上機體會舍入誤差的影響 ） 要學好數(shù)值分析課程一定要真正理解舍入誤差，特別是舍入誤差在算法中的 傳播 和對最終結果的影響！ 同理可以討論近似方法（ 2）的截斷誤差，以及隨著 h的減小，其誤差的變化情況！ 返回 那么是不是 h越小，計算誤差就越小呢？ Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 數(shù)值計算中需要注意的問題 1 浮點數(shù)的加法 112.。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1435 1） ， ，則 即為所求， 10 xa ? )10,1(31 ???? ? ixaa ii 10a計算得 （錯） ?a 2） （正確） )(331 ?????? xxx ?（ 2） （錯） 3231 ????? xxx（ 3） （錯） ???? xx （正確） 221212221 ))(( ???????? xxxxxx Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. amp。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1437 167。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1438 方法 1(直接應用（ 2） ) 111 , 1 , 2 , 3 ,nnE E n E ne ?? ? ? ?方法 2（考慮到結果（ 3）） 110 , , , 1 , , 2nNnEE E n N Nn??? ? ? ?考慮舍入誤差，方法 1不可取??！ 若在計算過程中 誤差被無限制放大 ，則稱該算法 不穩(wěn)定 ， 否則稱之為穩(wěn)定算法。 Phys. North China Elec. . 2021/6/1439 167。 Phys. North China Elec. . 2021/6/144