【正文】 的頻率必須介于 0～ 2π 之間。 ?不帶輸出變量的 freqz函數(shù)可在當(dāng)前圖形窗口中繪制出幅頻和相頻特性曲線。在對數(shù)幅相平面上作出 M軌跡和 N軌跡，由 M軌跡和 N軌跡構(gòu)成的圖線就稱為 nichols圖線。軸線。M軌跡和 N軌跡重復(fù)依次，且在每個 180186。 M軌跡匯集在臨界點(diǎn)（ 0dB， 180186。若把開環(huán)頻率響應(yīng)曲線重疊在 nichols圖線上，那么，開環(huán)頻率響應(yīng)曲線與 M軌跡和 N軌跡的交點(diǎn)，就給出了每一頻率上閉環(huán)頻率響應(yīng)的幅值和相角 。 響應(yīng)曲線軌跡與M=3dB軌跡交點(diǎn)的頻率就是 閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬。 頻率w的范圍自動給定 。 頻率w的范圍人工給定 ， 可由 ngrid命令在尼氏圖上作尼氏網(wǎng)格線 。 其中 m為頻率特性 G(jω)的幅值向量 ， m=∣G(j ω)∣ ； p為頻率特性 G(jω)的幅角向量 ，p＝ arg[G(jω)]， 單位為度 (。 Logspace(d1,d2,n)： 從 10d1到 10d2之間做對數(shù)等分分度，給定等分?jǐn)?shù) n。 從曲線上可以查出， 開環(huán)頻率響應(yīng)曲線與 M軌跡相切于 1dB，所以系統(tǒng)的閉環(huán)諧振峰值大約為 1dB。 已知系統(tǒng)的開環(huán)模型為 G(s)=k/s(s+1)(s+2)，當(dāng) k=2， k=10時，分別作尼柯爾斯圖。 2021/6/16 45 三、頻域分析應(yīng)用實(shí)例 結(jié)果分析： Nyquist曲線 不包圍 1+j0點(diǎn)，且在右半 s平面無極點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定； k11時，gm0dB， pm0186。 已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=1/s(+1)(+1)，（ 1） 繪制系統(tǒng)的 Nyquist曲線， 判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 （ 2）給系統(tǒng)增加一個開環(huán)極點(diǎn) p=2，求 Nyquist曲線，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，并繪制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線和零極點(diǎn)圖。 （ 2）系統(tǒng)增加一個開環(huán)極點(diǎn) p=2后 ， Nyquist曲線 不包圍 1+j0點(diǎn)，與在右半 s平面極點(diǎn)數(shù)不相等，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 ? ?uxxyx???????????????????????????????0001?2021/6/16 48 Pade函數(shù)可以近似表示延時環(huán)節(jié) e^(at)，它的調(diào)用格式為： (num,den)=pade(t,n)：產(chǎn)生最佳逼近時延 t秒的 n階傳遞函數(shù)形式。 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 求出有理傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng)，繪制以四階 pade近似表示的系統(tǒng)頻率響應(yīng)。其中 ))()(()(???? sssssG2021/6/16 50 結(jié)果分析：從兩個圖的第 2子圖的脈沖響應(yīng)看出 ， 兩系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定 。 從 奈奎斯特圖上分析 ， 因?yàn)橄到y(tǒng)開環(huán)有一個右半平面極點(diǎn) （ s=） ， 奈奎斯特曲線必須以反時針繞 （ 1， 0） 點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈 ， 系統(tǒng)才是穩(wěn)定的 。 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 畫出其 奈奎斯特圖 ， 判別其閉環(huán)穩(wěn)定性 。 )6)(1)((50)(???? ssssH 2021/6/16 51 第四節(jié) 控制系統(tǒng)的根軌跡分析 ?控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ， 由其閉環(huán)極點(diǎn)唯一地來確定 。 根軌跡法是在已知控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布的基礎(chǔ)上 ， 研究某一參數(shù)變化時對系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)分布的影響 。 一般來說 ， 這一參數(shù)選作開環(huán)系統(tǒng)的增益 K， 而在無零極點(diǎn)對消時 ， 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) 。 一、根軌跡分析方法的概念 2021/6/16 52 繪制根軌跡的基本法則 根軌跡的分支數(shù)： 根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階 數(shù) n（ 根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目 ） 。 根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)： 根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) ， 終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn) 。 實(shí)軸上的根軌跡： 實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段的右側(cè) ， 開環(huán)零 、 極點(diǎn)數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù) 。 利用它可以對系統(tǒng)進(jìn)行各種性能分析 。如果根軌跡越過虛軸進(jìn)入右半 s平面，則其交點(diǎn)的 K值就是臨界穩(wěn)定開環(huán)增益。 2021/6/16 54 （ 3）動態(tài)性能 當(dāng) 0K，所有閉環(huán)極點(diǎn)位于實(shí)軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程；當(dāng) K=，閉環(huán)兩個極點(diǎn)重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)仍為非周期過程，但速度更快；當(dāng) K，閉環(huán)極點(diǎn)為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程，且超調(diào)量與 K成正比。在 MATLAB中，專門提供了繪制根軌跡的有關(guān)函數(shù)。 rlocfind：計(jì)算給定一組根的根軌跡增益。 2021/6/16 56 零極點(diǎn)圖繪制 MATLAB提供了函數(shù) pzmap()來繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖： ?[p,z]=pzmap(a,b,c,d)：返回狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的極點(diǎn)矢量和零點(diǎn)矢量，而不在屏幕上繪制出零極點(diǎn)圖。 ?pzmap(a,b,c,d)或 pzmap(num,den)：不帶輸出參數(shù)項(xiàng)，則直接在 s復(fù)平面上繪制出系統(tǒng)對應(yīng)的零極點(diǎn)位置，極點(diǎn)用 表示，零點(diǎn)用 o表示。 2021/6/16 57 根軌跡圖繪制 MATLAB提供了函數(shù) rlocus()來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖： ?rlocus(a,b,c,d)或者 rlocus(num,den)：根據(jù) SISO開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述模型和傳遞函數(shù)模型，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。 ?rlocus(a,b,c,d,k)或 rlocus(num,den,k)： 通過指定開環(huán)增益k的變化范圍來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。（正反饋系統(tǒng)或非最小相位系統(tǒng)） 2021/6/16 58 rlocfind()函數(shù) MATLAB提供了函數(shù) rlocfind()來找出給定的一組根（閉環(huán)極點(diǎn)）對應(yīng)的根軌跡增益。然后，此命令將產(chǎn)生一個光標(biāo)以用來選擇希望的閉環(huán)極點(diǎn)。 ?不帶輸出參數(shù)項(xiàng) [k,p]時，同樣可以執(zhí)行，只是此時只將 k的值返回到缺省變量 ans中。 ?sgrid(‘new’)：是先清屏，再畫格線。 sgrid()函數(shù) 2021/6/16 60 三、根軌跡分析應(yīng)用實(shí)例 例 例 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)模型 要求繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡，并確定交點(diǎn)處的增益 K。 22 )34()2()(????sssksH利用函數(shù) [k,p]=rlocfind(num,den)。 2021/6/16 61 例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=k/s(s+1)(s+2) 試尋找一個合適的 k值使得閉環(huán)系統(tǒng)具有較理想的階躍響應(yīng)。 通過 rlocfind，配合前面所畫的 z及 wn柵格線，可以找出能產(chǎn)生主導(dǎo)極點(diǎn)阻尼比 z= 2021/6/16 62 例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)=1/(s^4+12s^3+30s^2+50s) 畫出系統(tǒng)的根軌跡，并試尋找出臨界點(diǎn)（即根在虛軸上）的增益 k值。 先建立系統(tǒng)的連續(xù)模型 s， 然后用 rlocus(s)函數(shù)畫它的根軌跡，鍵入 rlocfind(s)函數(shù)，用鼠標(biāo)選擇根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，即臨界點(diǎn)。 連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)根平面之間的映射關(guān)系。 s平面上的虛軸映射為 z平面單位圓邊界， s平面上的原點(diǎn)映射為 z平面上的點(diǎn) (1， 0)，而 s平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)映射為 z平面上的點(diǎn) (1， 0)。 ? 通過求取系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型直接獲得系統(tǒng)的零極點(diǎn)，從而可以直接對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及是否為最小相位系統(tǒng)作出判斷。 ? 根軌跡分析是求解閉環(huán)特征方程根的簡單的圖解方法，要求掌握根軌跡