【正文】 a）混合策略（ p1, p2, …, pM）是關(guān)于 si的最優(yōu)反應(yīng)，當(dāng)且僅當(dāng)它的支撐中的每一個(gè)純策略本身是關(guān)于 si的最優(yōu)反應(yīng) （ b）在那種情況，在這個(gè)支撐上的任何混合策略都是最優(yōu)反應(yīng)。 第 8章 零和博弈 ：最大最小 ：最小最大 ：既穩(wěn)妥又充分地參與 1. 零和博弈 零和博弈是這樣的一個(gè)博弈 ， 不管兩個(gè)局中人采取的是什麼樣的策略向量 ，他們的盈利總是相加為零；就是說(shuō) ，對(duì)所有的策略 s1和 s2， 成立 ?1(s1, s2) + ?2(s1, s2) = 0 在（兩人） 零和博弈 中，局中人 2的盈利 正好是局中人 1的盈利的負(fù)值。例 2是從任何角度都很象零和博弈的一類博弈中的一個(gè)例子。在這類博弈中，兩個(gè)盈利合計(jì)總是等于常數(shù)。對(duì)于任意策略 s1，存在局中人 2可以選擇的策略 b(s1) ，使得他的盈利可能最高而同時(shí)使得局中人 1的盈利最低。因此，為了有把握（或穩(wěn)妥）地參與，局中人 1應(yīng)該取策略 s1，它使局中人 1最差情況下的盈利比起她采取其它任何一個(gè)策略的最差情況盈利要好一些。 畢竟 ， 回想起當(dāng)我們研究壁球游戲時(shí) ， 我們發(fā)現(xiàn)稍許有點(diǎn)虛張聲勢(shì)會(huì)使局中人得處境好一些；如果她擊球落點(diǎn)是在球場(chǎng)前面和后面之間的混合 ， 她贏的百分比就會(huì)高一些 。這個(gè)盈利稱為 最大最小 盈利并記為 m1： ),(m i nmax 211spmsp??如果策略 p* 滿足 ? [ p*, b(p*)] = m1，則稱p*為局中人 1的穩(wěn)妥策略。所以，穩(wěn)妥的方法是，局中人預(yù)期她的對(duì)手采取最優(yōu)反應(yīng)并且防范任何隨之發(fā)生的不利結(jié)局。她知道，如果采取一個(gè)穩(wěn)妥策略 p*，她不可能比 m1更差。這不像最優(yōu)反應(yīng)行為，該行為要求局中人 1徹底地全面考慮問(wèn)題：我在對(duì)什么作出最優(yōu)反應(yīng)？當(dāng)然，這樣的單方面策略的實(shí)施可能產(chǎn)生很高的代價(jià)；穩(wěn)妥地參與可能不像采用最優(yōu)反應(yīng)那樣有利。 3. 充分地參與：最小最大 代替采用防止最差情況結(jié)局，局中人 1可以通過(guò)采用最優(yōu)反應(yīng)從而 “ 更加積極地 ” 對(duì)付局中人2的策略。與之相聯(lián)的概念稱作最小最大盈利；它是局中人 1的最優(yōu)（反應(yīng)）盈利中最差的一個(gè)（將它記為 M1）： ),(m a xm i n 111qsMsq??這里， ? (s1, q)是當(dāng)局中人 1采取純策略 s1和她的對(duì)手采用混合策略 q時(shí)她的期望盈利。局中人1的最小最大盈利至少和她的最大最小盈利一樣高，即 M1 ? m1。 ? 命題 2（ 一個(gè)局中人的最小最大是另一個(gè)局中人的最大最小 ） 。 ) 4. 實(shí)施納什均衡策略：既穩(wěn)妥又充分地參與 定義 : 一對(duì)混合策略 ， 如果對(duì)所有純策略 s1和 s2， 有 )~,()~,~(),~( 12 qsqpsp ??? ??則 構(gòu)成零和博弈的納什均衡。 令 構(gòu)成零和博弈的納什均衡。反之，假使最小最大和最大最小盈利相等。 )~,~( qp)~,~( qp?p~ q~第 9章 展開(kāi)型博弈和后推歸納 ，混合策略，和事件結(jié) IEDS的聯(lián)系 ： “ 毒藥 ” 和其他收購(gòu)?fù)? 劇院博弈 1. 展開(kāi)型 為了讓 “ 樹(shù) ” 描繪博弈，其結(jié)點(diǎn)和枝需要滿足三條性質(zhì)： ? 1． 單一的出發(fā)點(diǎn) 。 因而 ， 如圖 。 重要的是在博弈運(yùn)行中 ， 我們不要陷入僵局；樹(shù)枝循原路折回并造成一個(gè) 循環(huán) 一定是不可接受的 。 重要的是 ， 對(duì)于博弈如何進(jìn)行下去不能模棱兩可 ， 因此 ， 必定不存在二個(gè)或多個(gè)枝導(dǎo)向同一個(gè)結(jié) 。 2． 前結(jié)點(diǎn)的前結(jié)點(diǎn)也是前結(jié)點(diǎn)： 如果結(jié)點(diǎn) ?是 ?的前結(jié)點(diǎn) ， 依次結(jié)點(diǎn) ?是 ?的前結(jié)點(diǎn) ， 那么 ?也是?的前結(jié)點(diǎn) 。 4． 必定存在一個(gè)共同的前結(jié)點(diǎn)： 考慮任意兩個(gè)結(jié) ， ?和 ?， 它們之間沒(méi)有一個(gè)是另一個(gè)的前結(jié)點(diǎn) 。 策略，混合策略，和事件結(jié) 策略 局中人的策略是行動(dòng)的一個(gè) 完全的，有條件 的計(jì)劃。說(shuō)它是 完全的 ，因?yàn)樗嬖V局中人在每一個(gè)有關(guān)的決策結(jié)上選擇什么策略。因此在序貫的劇院博弈中，局中人 1的混合策略有兩個(gè)數(shù) p和 q給定，他們分別是選擇 b 和選擇 c的概率（而1 – p – q 是選擇 s的概率）。 事件結(jié) 我們也可以在展開(kāi)型內(nèi)建立不確定性，這種不確定性是博弈本身所具有的（與之對(duì)立的是局中人通過(guò)混合策略引進(jìn)的不確定性）。對(duì)這種可能性建模的一個(gè)方法是允許第三類型的結(jié)點(diǎn)，稱之為 事件結(jié)； 這是一個(gè)其枝表示若干隨機(jī)可能性的結(jié)點(diǎn)。 一個(gè) 完美信息的博弈 是不存在（具有多個(gè)結(jié)的）信息集的展開(kāi)型博弈。一家公司 ——譬如， “ 可口可樂(lè) ” ——正在盤算是否進(jìn)入一個(gè)新市場(chǎng) ——比方說(shuō)是前蘇聯(lián) (FSU)——在那里，市場(chǎng)由它的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手 “ 百事 ” 所獨(dú)占。如果 “ 百事 ” 發(fā)動(dòng)一場(chǎng)廣告大戰(zhàn)，花費(fèi)大量金錢用于改善設(shè)施，以排他性協(xié)議捆住零售商 ——換句話說(shuō)，反應(yīng) “ 強(qiáng)硬 ” ——那么“ 可口可樂(lè) ” 將會(huì)遭受損失。在圖 ， E(進(jìn)入 )和 O(呆在外面 )表示 “ 可口可樂(lè) ” 的抉擇，而 T（強(qiáng)硬）和 A（寬容）指 “ 百事 ” 在如何制止 “ 可口可樂(lè) ” 的進(jìn)入方面的兩個(gè)選擇。 例 2：進(jìn)入 Ⅱ ? 對(duì)于（稍微）復(fù)雜一些的模型，我們考慮如下變體。換句話說(shuō)，假使在看到了“ 百事 ” 的反應(yīng)之后， “ 可口可樂(lè) ”本身將不得不行為 “ 強(qiáng)硬 ” 或 “ 寬容 ” 例 3：（不完美信息）進(jìn)入 Ⅲ ?假設(shè)，萬(wàn)一 “ 可口可樂(lè) ” 進(jìn)入 FSU市場(chǎng)， “ 可口可樂(lè) ” 和 “ 百事 ” 兩家將對(duì)在這個(gè)市場(chǎng)上投資多少作出決策。但是，例 2不同，假定這些決策是同時(shí)策劃的（這個(gè)事實(shí)使得這種情況不是完美信息的博弈） 3. 后推歸納 我們感興趣的問(wèn)題是，例 1和例 2中行為的合理預(yù)測(cè)是什么？這實(shí)際上是關(guān)于 序貫理性的問(wèn)題。它包含了序貫性，因?yàn)榫种腥藢⑼茢辔磥?lái)將會(huì)怎樣，并且知道在未來(lái)，局中人將以同樣的方式推理。 注意到 “ 可口可樂(lè) ” 的每一個(gè)策略必定有三個(gè)分量 。 例如EAT表示 （ 1） 進(jìn)入 ， （ 2） 以寬容對(duì)付強(qiáng)硬的 “ 百事 ” ， （ 3） 采取強(qiáng)硬策略對(duì)付寬容的 “ 百事 ” 。 百事 T A 可口可樂(lè) ETT 2, 1 0, 3 ETA 2, 1 1, 2 EAT 3, 1 0, 3 EAA 3, 1 1, 2 OTT 0, 5 0, 5 OTA 0, 5 0, 5 OAT 0, 5 0, 5 OAA 0, 5 0, 5 該策略型基本上有三個(gè)純策略納什均衡： 1． 其 “ 百事 ” 取 T， 而 “ 可口可樂(lè) ”取它呆在外面的 （ 四個(gè) ） 策略中的任何一個(gè)的納什均衡 ， ——OTT, OTA, OAT, 和 OAA。 3． (EAA, A)——跟第二個(gè)均衡有相同的結(jié)局 。你也許認(rèn)為這對(duì)博弈也應(yīng)該是對(duì)的。這種陳述最初聽(tīng)起來(lái)似乎自相矛盾，但是直覺(jué)上的確很易明白。反過(guò)來(lái)，這種行為將影響她同時(shí)也影響其他局中人的當(dāng)前措施。 只強(qiáng)硬的 “ 百事 ” 假如我們以下述方式簡(jiǎn)化這個(gè)（已經(jīng)簡(jiǎn)單的！）例子：在 “ 可口可樂(lè) ” 進(jìn)入 FSU 市場(chǎng)之后， “ 百事 ”除了采取 “ 強(qiáng)硬 ” 之外別無(wú)其他選擇。 只強(qiáng)硬的 “ 可口可樂(lè) ” 假如我們以下述方式修改例子：在 “ 可口可樂(lè) ” 進(jìn)入 FSU市場(chǎng)之后，除了強(qiáng)硬之外， “ 可口可樂(lè) ”沒(méi)有其他的選擇（即，假定 “ 可口可樂(lè) ” 少了一個(gè)選擇：它不能寬容）。 每一個(gè)具有有限個(gè)結(jié)的完美信息博弈有后退歸納解。 5. 與策略型中 IEDS的聯(lián)系 博弈展開(kāi)型中的后退歸納解與在策略型中用累次剔除劣策略（ IEDS）求解博弈得到完全相同的結(jié)果。一方面，如果他們決定反對(duì)（并提出一個(gè)股份報(bào)價(jià)）， CSX聯(lián)合鐵路公司要么可以通過(guò)拒絕談判，或抬高自己的條款，等等采取強(qiáng)硬策略，要么他們可能寬容并達(dá)成某種三邊協(xié)議。 此外，現(xiàn)在假設(shè) CSX聯(lián)合鐵路公司必須作一最初選擇，決定是否用 “ 毒藥 ” 來(lái)武裝自 己。 沒(méi)有 “ 毒藥 ” ， CSX聯(lián)合鐵路公司將會(huì)寬容，從而南諾?？诉M(jìn)入，于是前者的利潤(rùn)為 2。顯然， CSX聯(lián)合鐵路公司樂(lè)意采取“ 毒藥 ” ，這一承諾使他們獲得額外的 1千萬(wàn)美元利潤(rùn)。考慮下圖?，F(xiàn)在，雖然，盡管有 “ 毒藥 ” ，南諾?？税l(fā)現(xiàn)進(jìn)入仍是有利可圖的（因?yàn)樗玫搅死麧?rùn) ）。 因此后退歸納結(jié)局是 CSX聯(lián)合鐵路公司寧愿采用“ 毒藥 ” 條文，南諾?？嗽敢馓岢鲆粋€(gè)股份報(bào)價(jià)（發(fā)動(dòng)對(duì)聯(lián)合鐵路公司的收購(gòu)）， CSX聯(lián)合鐵路公司采取強(qiáng)硬措施。 第 10章 應(yīng)用：研究和發(fā)展 Ramp。D模型 假如在一個(gè)行業(yè)有兩家公司 ， RCA與索尼 (Sony)——此后稱為公司 R和公司 S——每一家都在為生產(chǎn) HDTV而進(jìn)行 Ramp。 在 HDTV可以進(jìn)入市場(chǎng)之前有若干必須成功地完成的階段 。 2. 兩家公司在任何一個(gè)周期都可以前進(jìn) 1步 ， 2步 或 3步后完成項(xiàng)目 。 4. 無(wú)論哪家公司最先完成所有步驟的則獲得專利；專利值 20（ 百萬(wàn) ） 美元 。D。D，它將花費(fèi)最少可能的資金，并且一次向前進(jìn)展一步。 后退歸納：模型分析 5. 兩家公司輪流決定在 Ramp。D決策，直到它知道索尼接下去的 Ramp。而且，索尼在 RCA宣告之后的周期里作出它的通告。首先 RCA有 Ramp。 更清晰的描述可用位置空間 圖給出 第 1步 假如博弈處在 （ 1, s） ， 并且輪到公司Ｒ行動(dòng) 。 這將產(chǎn)生價(jià)值 20（ 百萬(wàn) ） 美元的專利和花費(fèi) 2（ 百萬(wàn) ） 美元成本 。 第 2步 現(xiàn)在假設(shè)兩家公司或者在（ 2, 1），或者在（ 3, 1），并且輪到公司 R行動(dòng)。事實(shí)上，如果 R不是一次完成博弈，它知道 S就在下一個(gè)機(jī)會(huì)中完成項(xiàng)目（為什么？），于是 R要么從那一刻起什么也得不到，要么蒙受損失。如果它做不完全的進(jìn)展 ——從（ 2, 1）出發(fā)走 1步或從（ 3, 1）出發(fā)走 2步或不到 2步 ——他將招致成本損失卻不會(huì)贏得專利。（ b）然后，如果博弈處于（ 3, 2）并輪到公司 R行動(dòng)，你能證明它應(yīng)該一次完成項(xiàng)目嗎？如果博弈處在（ 2, 3）并且輪到 S首先行動(dòng)，情況會(huì)怎樣？ 經(jīng)由第 1步到第 3步，我們已經(jīng)證明了下述： 命題（ 1） 如果博弈處在任何位置（ r, s）， r ? 3和 s ? 3，無(wú)論哪一家公司在那時(shí)首先行動(dòng)都將觸發(fā)完工，即，將一次結(jié)束項(xiàng)目。它最多可以做的是將項(xiàng)目朝前推進(jìn) 3步到（ 1, 3）。或者它可以通過(guò)停止 Ramp。在這些情況中的頭 3個(gè)， R知道 S將在下一步完成博弈（為什么？）。這等價(jià)于退出競(jìng)爭(zhēng)。由于迅速的 Ramp。D更昂貴， S的最好辦法是以花費(fèi)最少的方式行動(dòng)，一次一步，逼近專利。位置（ 5, 3），（ 5, 2），和（ 5, 1）的情況怎么樣？ 命題 2 對(duì)于所有的位置（ r, s），只要 r 3 和 s ? 3，公司 R作為最先行動(dòng)者，可以做得最好的事情是退出（競(jìng)爭(zhēng)）。 所有位置 (r, s)，只要 r ? 3和 s 3，是公司 R的安全區(qū)域 I。 稱作 S的 安全區(qū)域 I 第 6步 考慮如 （ 4， 4） 那樣的位置 。 事實(shí)上 ， 公司 R可以一步使博弈進(jìn)入它的安全區(qū)域 I——以代價(jià) 2。 更一般地，只要 R有辦法進(jìn)入它的安全區(qū)域 ——此后一次一步行動(dòng) ——而消耗少于專利的價(jià)值 $20的代價(jià)，那么這值得 R這樣去做。 第 7步 從位置 （ r, s） 證明 ， 如果 r, s = 4, 5，首先行動(dòng)者將發(fā)現(xiàn)讓博弈導(dǎo)入自己的安全區(qū)域 I是有利可圖的 。 但是，如果處于（ 6, 5），就不值得公司 R轉(zhuǎn)入它的安全區(qū)域。 命題 3 在（ 3, 3）與（ 5, 5）之間存在第二個(gè)觸發(fā)區(qū)域；在這個(gè)區(qū)域的最先行動(dòng)者應(yīng)該使博弈移入它自己的安全區(qū)域 I。 R的安全區(qū)域 Ⅱ 為 3 ? r? 5 和 s 5 （對(duì)稱地， S的安全區(qū)域 II 為 3 ? s? 5和 r 5）。 以這種方式繼續(xù)下去 第 11章 子博弈完美均衡 ?例題 ?子博弈和子博弈內(nèi)的策略 ?子博弈完美均衡 ?若干注記 ?案例分析：第一次世界大戰(zhàn)戰(zhàn)壕中的和平 ?總結(jié) 例 1：進(jìn)入 Ⅲ 回憶可口可樂(lè)公司正在爭(zhēng)論是否進(jìn)入先前尚未占領(lǐng)的東歐市場(chǎng)，這一次是在特蘭西瓦尼亞（ Transylvania ? 羅馬尼亞中部地區(qū)）?？煽诳蓸?lè)公司可以作出一組同樣的選擇 ——T或者 A。）進(jìn)入后的競(jìng)爭(zhēng)階段其盈利如下： 可口可樂(lè)＼百事 T A T 2, 1 0, 3 A 3, 1 1, 2 可口可樂(lè)＼百事 T A ET 2, 1 0,