【正文】 博弈論 主講 施錫銓 2021年 3月 第一章 引論 應(yīng)用及例題 基本理論 博弈論關(guān)注的是互相依存 （ interdependence） ? 每一個體猜測其他個體的選擇是什么 ？ ? 每個人將采取什么樣的行動 ？ (當(dāng)最優(yōu)的行動依賴于其他人的所作所為時 ， 這個問題尤其令人關(guān)注 。 ) ? 這些行動產(chǎn)生什么樣的結(jié)局 ？ 對于整個群體 ， 這個結(jié)局好嗎 ？ ? 如果群體不止一次地互相作用 ， 會有任何差異嗎 ？ ? 如果每一個體對群體內(nèi)其他個體的特性沒有把握 ，答案將發(fā)生怎樣的變化 ？ 取自經(jīng)濟(jì)學(xué)，政治學(xué)，財政金融，法律，甚至日常生活中的若干相互依存性事例 ? 藝術(shù)品拍賣 (諸如在克里斯蒂（ Christie）或索士比（ Sotheby）拍賣行，那里待售出自布拉克（ Braque）直至維羅內(nèi)塞（ Veronese）的藝術(shù)品 )和債券拍賣（美國財政部為籌措聯(lián)邦預(yù)算支出，以這種方式出售政府公債） 。 ? 聯(lián)合國的選舉（ 例如，選舉新的聯(lián)合國秘書長） 。 ? 動物爭斗（爭奪良好的棲息地以及種類中稀少的發(fā)情期雌性動物，等等） 。 ? 自然資源的可持續(xù)使用（像石油那樣的可耗盡資源或像森林那樣的可重建資源的提取形式） 。 ? 運(yùn)動會和工作場所的隨機(jī)藥物檢測（選取少量運(yùn)動員和工作人員進(jìn)行核實使用違禁藥物的測試） 。 ? 破產(chǎn)法（詳細(xì)說明在什么時候和有多少債權(quán)人可以從已破產(chǎn)的公司那兒收賬） 。 ? ―毒藥 ” 條款（該條款給予管理部門一定的權(quán)限以抵制不受歡迎者試圖接管或兼并他們的公司） ? Ramp。D開支（譬如，制藥公司的研究開發(fā)費(fèi)用） ? 第一次世界大戰(zhàn)的壕溝戰(zhàn)（在法德之間的邊界地區(qū)，當(dāng)軍隊連續(xù)數(shù)月地互相對峙時，掘進(jìn)到敵方的戰(zhàn)壕里去） ? OPEC（石油卡特爾，控制著世界石油產(chǎn)量的一半，因此，在決定人們支付油價方面擁有重要的發(fā)言權(quán) ? 群體項目（諸如為你們的博弈論課程準(zhǔn)備案例研究） 博弈論 —— 分析在一群舉止行為頗具策略的理性人之間的相互作用的正規(guī)方法。 博弈論 是考慮以下每一項條款的正規(guī)方法： 群體 ——在任何博弈中有不止一個決策者；每一個決策者稱為局中人 相互作用 ——任何單個局中人的行為直接影響到群體內(nèi)至少一個其他的局中人 。 策略 ——單個局中人在決定自己所取的行動時 ， 會考慮到相互依存性 。 理性 ——在考慮到這種相互依存性時，每一個局中人會選擇自己的最優(yōu)行動。 來自日常生活中的例子 ? 致力于一項群體項目，為博弈論課程準(zhǔn)備案例研究： “ 群體 ” 包括一起做案例的學(xué)生。他們之間的 “ 相互作用 ” 來自于這樣的事實：為了寫一篇論文，需要付出一定的工作量；因此，如果一個學(xué)生偷懶，另外的某個人在論文到期前的夜晚不得不投入額外的幾個小時。 “ 策略 ” 運(yùn)用包含了估計群體內(nèi)總想占別人便宜者的可能性，“ 理性 ” 參與需要對較好分?jǐn)?shù)的好處與額外工作的成本仔細(xì)地進(jìn)行比較。 ? （奧林匹克運(yùn)動會中）中隨機(jī)藥物檢測：“ 群體 ” 由比賽運(yùn)動員和國際奧林匹克委員會（ IOC）組成。 “ 相互作用 ” 是兩方面的，一方面是運(yùn)動員之間的相互作用 ——他們做出在訓(xùn)練安排中和不管什么情況下一樣服禁藥的決策；另一方面是在運(yùn)動員與 IOC之間的相互作用，后者需要維護(hù)運(yùn)動的聲譽(yù)。 “ 理性策略 ” 的應(yīng)用需要運(yùn)動員根據(jù)獲勝的機(jī)會以及如果服用了興奮劑之后被逮到的機(jī)會之間進(jìn)行比較而作出決策。類似地，它要求 IOC根據(jù)檢測成本和清白聲譽(yù)的價值而制定藥物檢測的程序和相應(yīng)的懲罰措施。 經(jīng)濟(jì)與財政金融的例子 ? 制藥公司的 Ramp。D效果：某些評估表明，研究與開發(fā)（ Ramp。D）經(jīng)費(fèi)支出占美國制藥公司年銷售額的 20%之多。以及平均來說，一種新藥的開發(fā)成本大約為 3億 5千萬美元。公司自然關(guān)心諸如資金投入哪一條生產(chǎn)線，新藥定價應(yīng)多高，如何縮減與新藥開發(fā)相伴的風(fēng)險，等等問題。在這個例子中， “ 群體 ” 是藥物公司全體組成的集合。 “ 相互作用 ” 起因于藥的最先開發(fā)者將獲得最大的收益（由于專利權(quán)的緣故）。如果 Ramp。D經(jīng)費(fèi)的選取大小使得在確知競爭者對這條新藥生產(chǎn)線進(jìn)行投資的前提下能最大化從新藥開發(fā)中得到收益，那么 “ Ramp。D‖ 經(jīng)費(fèi)是策略性的和是理性的。 ? 債券拍賣：正常情況下，美國財政部通過拍賣形式處理政府證券 *。主要的投標(biāo)人是投資銀行，如萊曼兄弟（ Lehman Brothers） 或摩里爾 ?林奇（ Merrill Lynch）等（他們轉(zhuǎn)而將證券出售給他們的客戶）。因此， “ 群體 ” 就是投資銀行組成的集合。（實際上，從一次拍賣到又一次拍賣，這些投標(biāo)人極少發(fā)生改變。）他們 “ 互相作用和影響 ” 著，因為其他人的標(biāo)價決定了一個投標(biāo)人是否分配到任何債券，也可能決定了投標(biāo)人支付的價錢。如果投標(biāo)基于可能的競爭上和在支付太多與得不到任何債券的風(fēng)險之間達(dá)到適當(dāng)?shù)钠胶?，那么?“ 出價 ” 是 “ 理性的 ” 和 “ 策略的 ” 。 * 這些證券是公債和國庫債券，以及公共部門（或者他們的代理人，例如共同基金信托公司或養(yǎng)老基金等）所擁有的準(zhǔn)金融債券。這些證券承諾在一個固定的周期（譬如，三個月，一年，或五年）后支付一筆錢。另外，他們也可能承諾在證券有效期內(nèi)定期地支付固定額的錢款。 來自生物學(xué)與法律方面的例子 ? 動物習(xí)性：剛過去的 25年里，博弈論更吸引人的應(yīng)用之一已經(jīng)深入生物學(xué)領(lǐng)域，特別是關(guān)于動物之間爭斗和競爭的分析。通常野生動物不得不為了稀少資源（諸如具繁殖能力的雌性動物或者動物的尸體）而競爭；于是，為了發(fā)現(xiàn)這些資源 ——或者為了從發(fā)現(xiàn)者那兒奪取資源，它們會有所付出。問題在于這種做法會導(dǎo)致代價昂貴的爭斗。這里， “ 局中人群體 ” 是眼睛盯著同一獵物的所有動物。由于資源的有限性，它們互相影響著。假如它們考慮競爭對手做出反應(yīng)，選擇就是 “ 策略 ” ，如果由于這種 “ 策略 ” 滿足了它們的短期目標(biāo)，譬如解決了饑餓，或者滿足了它們的長期目標(biāo)，譬如保持了物種的繁衍不絕，這樣的選擇是“ 理性的 ” 。 ? 破產(chǎn)法：在美國，一旦公司宣告破產(chǎn)，它的財產(chǎn)不再由單獨(dú)的債權(quán)人扣押，而代之以安全保管，直至公司與它的債權(quán)人達(dá)成某種程度的諒解。但是，債權(quán)人可以在破產(chǎn)宣告之前促使法庭去收帳 (雖然通過這種做法債權(quán)人可能逼迫公司陷入破產(chǎn) )。這里，債權(quán)人 “ 群體 ” 內(nèi)的 “ 相互作用 ” 來自于這樣的事實：個別債權(quán)人能夠成功地依法占有的錢就不再可能屬于其他任何一個人。 “ 策略 ” 的選取需要估計其他債權(quán)人可能有多大耐心，而“ 理性的 ” 選擇包含了在早收賬與逼迫公司不必要的破產(chǎn)之間的權(quán)衡。 例題 1. 拿子游戲 (Nim和 Marienbad) 這是兩個室內(nèi)游戲 ， 玩法如下 。 有兩堆火柴 ， 和兩個局中人 。 游戲從局中人 1開始 ， 此后局中人輪流行動 。 在每個局中人的輪次里 ， 他可以從兩堆火柴的任一堆中拿走任何數(shù)量的火柴 。 只要任何一堆中尚有剩余的火柴 ， 則要求每個局中人拿走一定數(shù)量且不能空手而返 ， 但每個輪次只能從一堆中取火柴 。 在 “ 拿子游戲 ” Nim中，無論那個局中人，取走最後火柴者算贏。而在 Marienbad，誰拿走最后的火柴，那么這個局中人就算輸。 2. 投票 假設(shè)有兩個競爭議案 ， 這里表示為 Ａ 與 Ｂ ， 3個議員 ，投票人 1， 2和 3， 他們投票決定是否通過這些議案 。結(jié)局可能會是兩種中的某一個：要么通過 Ａ 和 Ｂ 中的一個 ， 要么議員們沒有通過任何一項議案 （ 延緩而以原來法律代替 ） 。 投票過程如下：首先 ， 讓議案 A與議案 B互相競爭；然后 ， 競爭的獲勝方與原來法律互相競爭 ， 為簡便起見 ， 我們將原法律稱為 “ 都不贊成 ”（ 或者 N） 。 在兩輪投票中的每一輪 ， 獲多數(shù)票的法案算勝出 。 三個議員在可適用的選擇中有如下偏好： 投票人 1： 投票人 2： 投票人 3： （這里， 表示 “ 喜歡議案 A甚于喜歡議案 B‖） BANNABBNA??????BA ?3. 囚徒困境 克雷＼卡爾文 認(rèn)罪 不認(rèn)罪 認(rèn)罪 5， 5 0， 15 不認(rèn)罪 15， 0 1， 1 總 結(jié) 。 它研究局中人群體中的互相作用 ， 這些局中人根據(jù)策略地分析群體內(nèi)其他人可能做什么而進(jìn)行理性的選擇 。 ， 選取聯(lián)合國秘書長 ， 動物習(xí)性 ， 和 OPEC的生產(chǎn)策略等廣泛不同的問題 。 150年前 。 但是 ， 學(xué)科的主要發(fā)展是近代的 ， 大約在最近 50年期間 ， 使得博弈論成為經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)范圍內(nèi)最年輕的學(xué)科之一 。 示理性局中人將達(dá)到的結(jié)局 。 對于整個局中人群體來說 ， 這些結(jié)局并不總是稱心的 。 博弈的規(guī)則： 每個博弈通過一組規(guī)則進(jìn)行，規(guī)則必須說明四件事： ? “ 誰 ” （ Who） 在參與 ——策略地互相作用的局中人群體 。 ? 他們以 “ 什么 ” （ What） 來參與 ——每個局中人可使用的策略供替代的行動或選擇 。 ? 每個局中人 “ 何時 ” （ When） 行動 （ 以什么順序 ） ? 從參與博弈所作的選擇中 ， 他們得到 （ 或失去 ）“ 多少 ” （ How much） 關(guān)于規(guī)則的共同知識 每一個局中人知道博弈的規(guī)則 ， 并且這一現(xiàn)象是眾所周知的 。 ―誰 ” ， “ 什么 ” ，和 “ 何時 ” ：展開型 展開型 規(guī)則的一種圖形表示式。主要的畫圖形式稱為博弈樹，是由一個根和若干枝依次排列組成。 ? b c s ? b c s R 1 R 2 A H E L R 1 = 路線 1 R 2 = 路線 2 H = 高架路 A = 大街 E = 特快 L = 慢車 信息集和策略 在展開型里怎樣表示 同時行動 局中人 1 局中人 2 c n c c n n 信息集 決策結(jié)的集合，局中人不能區(qū)分這些決策結(jié) 策略 局中人的策略是指在局中人需要做出選擇的信息集處可采取的行動。 策略是行動的藍(lán)圖，在每一個決策結(jié)告訴局中人如何去選擇。由于局中人在任何一個信息集里不能區(qū)分決策結(jié)，策略詳細(xì)說明了在每一個結(jié)所做的行動 。 正則（或策略）型 博弈規(guī)則中另一種表示方式稱為 正則型 或 策略型 策略型 有關(guān) “ 局中人，他們每一個人可使用的策略，和每人的得益 ” 的完整的一覽表。 sss ssb ssc bbs … ccb ccs ccc b N, T N, T N, T T, N N, T N, T N, T c T, N T, N T, N T, N T, N T, N T, N s T, N T, N N, T T, N T, N T, N N, T 局中人 2 局中人 1 馮 ?諾伊曼 ——摩根斯坦效用函數(shù) 拿子游戲 Nim 假設(shè)在一堆中有 2根火柴，在另一堆中有 1根火柴。記這個布局為（ 2， 1）。與贏相聯(lián)的盈利數(shù)必定高于對應(yīng)于輸?shù)挠麛?shù)；假設(shè)這些數(shù)分別為 1與 1。 局中人 1 局中人 1 1, 1 1, 1 1, 1 局中人 2 (0, 0) 1, 1 1, 1 (2, 1) (0, 1) l 局中人 2 (1, 0) (0, 1) (1, 1) (1, 0) (2, 0) r L u R d m 策略型表示式如下： 1 / 2 lL lR rL rR u 1, 1 1, 1 1,1 1, 1 m 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 d 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 投票博弈 假如一個投票人所贊成的議案通過，她得到的盈利為 1。如果她的第二個選擇通過，則盈利為 0，如果她最不贊同的抉擇通過，此時她的盈利是 1。 投票人 2 投票人 3 投票人 1 A B B B B B A B A A A B A A 投票人 1 投票人 2 投票人 3 A N N N N N A A A A N A N A 0, 1, 1 1, 0, 0 囚徒困境 局中人 1 局中人 2 c n n c 5, 5 0, 15 n c 15, 0 1, 1 ? 博弈的展開型 ? 策略型