【正文】 1 \ 2 c n c 5, 5 0, 15 n 15, 0 1, 1 總 結(jié) 1． 博弈規(guī)則必須明確說明局中人是 “ 誰 ” ， 每個(gè)局中人可使用的選擇是 “ 什么 ” ， 和從局中人群體所作的一組選擇中 ， 每個(gè)局中人得到 “ 多少 ” 。 2． 博弈規(guī)則有兩種主要的表示式 ， 展開型和策略型 。 3． 展開型是博弈的圖形表示 ， 它明確地說明了局中人選擇的順序 ， 每個(gè)局中人有多少次選擇 （ 以及每次她可適用的選擇 ） ， 和對于任何選擇序列每個(gè)局中人最終的盈利 。 4． 策略型是這樣的表示式 ， 其中明確地說明了局中人的選擇 （ 策略 ） 和每組選擇集帶來的的盈利 。 你可以把策略型視為博弈型式 ， 局中人對所有的策略只做一次選擇的 。 5． 博弈中的盈利應(yīng)當(dāng)被視為馮 ?諾伊曼 摩根斯坦效用 。 對于不確定情況 ， 盈利應(yīng)當(dāng)在不確定性的所有可能解上取期望值而計(jì)算得到 。 第 2章 策略型博弈 ?策略型博弈 ?案例 :藝術(shù)品拍賣的策略型 ?占優(yōu)策略解 ?案例研究續(xù)：拍賣中的占優(yōu)策略 策略型博弈 博弈的策略型由三項(xiàng)內(nèi)容所確定： 1. 博弈中局中人的名單 . 2. 每個(gè)局中人可使用的策略集 . 3. 與任何策略組合 （ 每個(gè)局中人一個(gè)策略 ） 相對應(yīng)的盈利 . 盈利是馮 ?諾依曼 摩根斯坦效用。最簡單的博弈類型是兩個(gè)局中人有兩個(gè)策略的博弈。 策略型 : 局中人 2 北 南 局中人 1 高 π1 , π2 π1 , π2 (高 ,北 ), (高 ,北 ) (高 ,南 ),(高 ,南 ) 低 π1 , π2 π1 , π2 (高 ,北 ), (高 ,北 ) (高 ,南 ), (高 ,南 ) 當(dāng)局中人多于兩個(gè)，以及每個(gè)局中人有兩個(gè)以上的策略時(shí)，對策略型的三個(gè)分量使用下述符號： 局中人 將標(biāo)記為 1， 2， … ， N。一個(gè)局中人代表將表示為第 i個(gè)局中人。 局中人 i的策略 通常表示為 si，一個(gè)特定的策略表示 si*或 si。除了局中人 i以外的所有其它局中人的策略選擇記為 si。 π i 將表示 局中人 i的盈利 (或馮 ?諾依曼 摩根斯坦效用 )函數(shù)。對于策略組合， s1*， s2*， … ， sN*，其中每一個(gè)局中人相應(yīng)于一個(gè)策略，局中人 i的盈利將表示為 π i (s1*， s2*， … ， sN*)。 囚徒困境 （ c = 認(rèn)罪， nc = 拒絕認(rèn)罪） 卡爾文＼克雷 c nc c 0, 0 7, 2 2, 7 5, 5 性別爭端（ F = 足球， O = 歌?。? 丈夫＼妻子 F O F 3, 1 0, 0 O 0, 0 1, 3 拋硬幣打賭（ Matching pennies） ( h = 正面 , t = 反面 ) 局中人 1＼局中人 2 正面 反面 正面 1， 1 1， 1 反面 1， 1 1， 1 鷹 鴿（或懦夫博弈） （ t = 強(qiáng)硬 , c = 退讓） 局中人 1＼局中人 2 t c t 1, 1 10, 0 c 0, 10 5, 5 投票 對每一個(gè)投票者，在這個(gè)博弈中的策略有三個(gè)部分：在第一輪中如何投票和第二輪中如何投票，而在第二輪中的投票本身有兩個(gè)分量。第一個(gè)分量是，如果議案A在第一階段通過后在第二輪中投票人如何投票，第二分量是，如果（在第一輪中）議案 B通過后，該投票人又將如何投票。特別地，每個(gè)投票人有下述 8個(gè)策略可供選擇 *。 AAN。 AAB。 ANB。 ANN。 BAN。 BAB。 BNB。 BNN。 *當(dāng)然，投票人知道她在第一輪中自己是怎樣投票的。原則上，她的策略也可以根據(jù)這個(gè)信息。目前我們將略去這種復(fù)雜性，因?yàn)檫@樣的話，每一個(gè)策略中分量的個(gè)數(shù)將增加到 5——替代原來的 3。（為什么？） 與展開型的等價(jià)性 兩種表示博弈的方式是等價(jià)的：每一個(gè)展開型博弈可以寫成策略型且反之亦然。 案例：藝術(shù)品拍賣的策略型 ? 藝術(shù)品拍賣：描述 假如我們被帶入位于紐約洛克菲勒中心的索士比 ?派克伯尼特的大型拍賣場之一 。 拍賣商站在房間前面的講臺(tái)上 。 她的旁邊有一對隨從舉著待拍賣物件的影像 。 設(shè)想待拍賣的物件是雷諾伊（ Renoir, 1841—1919） 的一組繪畫；你很想擁有標(biāo)號為“ 264‖的那件可愛的咖啡吧景色 。 你必須開始做如下的事 。 注冊： 如果你打算投標(biāo) ， 必須在商品展銷室的入口處注冊 。 那里你將得到一塊寫有編號的拍賣牌 。 （ 為了注冊 ， 恐怕你需要一張信用卡 。 ) 出價(jià)程序： 一旦輪到標(biāo)號 264， “ 你出價(jià)所必須做的就是舉起你的拍賣牌并等待拍賣商理會(huì)你 ， 你不必叫出你出價(jià)的數(shù) ——通常由拍賣商以 10%的增量自動(dòng)確定高一些的出價(jià) 。 你不必坐的畢恭畢敬；抓耳撓腮不能算作為一個(gè)出價(jià) （ 除非你與拍賣商事先就做了安排 ） 。 如果沒有人超過你的出價(jià) ， 就是說 ， 沒有其他的拍賣牌舉起 ， 那么拍賣商敲下小木槌以結(jié)束拍賣 。 ” 藝術(shù)品拍賣：策略型 ? 局中人：注冊的那些人 ? 策略：考慮局中人策略的一個(gè)簡單方法是認(rèn)定局中人愿意舉牌的最高價(jià)。 ? 結(jié)局：最后一個(gè)舉牌的拍賣者贏得雷諾依作品（抓耳撓腮者不能得到）。 ?盈利：贏者將付多少錢？ 占優(yōu)策略解 定義 . 如果不管其他局中人選擇什么樣的策略 ， 局中人 i的策略 s?i的盈利嚴(yán)格地大于他的所有其他策略的盈利 ， 換言之 ， πi (s?i, si) πi (si, si) 對一切 si和 si成立 其中 si是除了局中人 i以外的其他局中人選擇的策略向量 。 那么我們稱策略 s?i強(qiáng)優(yōu)于局中人 i的所有其他策略 . 考慮局中人 1， 我們稱該局中人的策略 b——記作 s1b——優(yōu)于其他策略 ——s1a， 意指針對局中人 2的兩個(gè)策略來說 ， s1b比 s1a 更好一些；于是 π1(s1b , s2a) π1(s1b, s2a) π1(s1b , s2b) π1(s1a , s2b) 第一個(gè)不等式指出了，如果局中人 2采用了他的第一個(gè)策略，那么 s1b比 s1a 產(chǎn)生較高一些的盈利；第二個(gè)不等式指出了即使局中人 2選擇他的第二個(gè)策略，同樣的事實(shí)也成立。 定義 . 如果局中人 i的策略 s?i， 對于其他局中人的每一個(gè)策略來說 ， 至少與他的另一個(gè)策略 si一樣地好 ， 而對于其他局中人的某個(gè)策略來說 ， s?i嚴(yán)格地好于 si， 即 則稱策略 s?i（ 弱 ） 優(yōu)于策略 si。 在這種情況，我們稱 si為劣策略。如果 s?i弱占優(yōu)于其他任何一個(gè)策略 si，那么 s?i被稱為弱占優(yōu)策略 *。 * 同樣的定義應(yīng)用于強(qiáng)優(yōu)。如果公式 si =si，稱策略s?i強(qiáng)優(yōu)于策略。于是策略 si稱作強(qiáng)劣的。 iiiiiiiiiiiiiissssssssss?????????)?,()?,39。(),(),39。(對某些對所有????占優(yōu)策略解 當(dāng)每一個(gè)局中人都有占優(yōu)策略時(shí) ， 博弈就有一個(gè)占優(yōu)策略解 。 一個(gè)策略的組合 ， 如果每一個(gè)局中人的策略都是占優(yōu)策略 ， 那稱這個(gè)策略的組合為占優(yōu)策略解 。 例如，囚徒困境中（認(rèn)罪，認(rèn)罪）構(gòu)成了一個(gè)占優(yōu)策略解。 左 右 頂 7, 3 5, 3 底 7, 0 3, 1 案例研究續(xù)：拍賣中的占優(yōu)策略 競拍人 以她對雷諾依作品的真實(shí)估價(jià)作為她的最高叫價(jià) 的策略是一個(gè)占優(yōu)策略。不管其他競拍人怎樣叫價(jià)，你所能做得最好的辦法是，以你認(rèn)為畫所值的價(jià)格作為叫價(jià)來。從不同的方式講，如果你認(rèn)為畫值 3000美元，你最好的辦法是閉上你的眼睛，舉著你的拍賣牌直到聽到拍賣商宣布的叫價(jià)高于 3000美元為止 為什么它是個(gè)占優(yōu)策略，與其他幾個(gè)策略作比較。假使你決定 “ 節(jié)省你的出價(jià) ” ，并且在 2500美元處放下拍賣牌。有兩種可能的情況。一種情況是，還有某些人最高叫價(jià)超過 3000美元，其次，若最高叫價(jià) ——即贏得雷諾依作品的叫價(jià) ——是 2700美元?，F(xiàn)在，你感覺自己象個(gè)傻瓜！你失去了一幅估價(jià)為 3000美元的畫，而你用（稍高于2700美元）就可以擁有它。 3000美元的最高叫價(jià)比起2500美元的叫價(jià)來決不會(huì)差些 ——而有時(shí)候嚴(yán)格地更好一些。 總 結(jié) ， 每個(gè)局中人可使用的策略 ，和關(guān)于任何策略組合 （ 一個(gè)策略對應(yīng)于一個(gè)局中人 ） 的盈利來描述 。 ， 策略型可以很方便地表達(dá)為盈利矩陣 。 對于更多的局中人情況 ， 符號表示式更方便一些 。 。 每一個(gè)策略型博弈至少有一種展開型表示 。 ， 占優(yōu)策略比其他每一個(gè)策略給出較高的盈利 。 ， 博弈存在占優(yōu)策略解 。 ， 真實(shí)地叫價(jià)是該博弈的占優(yōu)策略解 。 第三章 占優(yōu)可解性 概念 1. 劣與非劣策略 2. 累次剔除劣策略 案例研究：選舉聯(lián)合國秘書長 更正式的定義 討論 概念 1. 劣與非劣策略 定義。 策略 si 劣于另一個(gè)策略 s?i，如果對于其他局中人的每一個(gè)策略，后者與 si 至少一樣好，而對于其他局中人的某些策略， s?i嚴(yán)格地好于si，以致 如果一個(gè)策略不劣于任何其他策略，則稱它為 非劣策略 。將劣策略認(rèn)為 “ 壞 ” 策略，而將非劣策略認(rèn)為 “ 好 ” 策略 iiiiiiiiiiiiiissssssssss???????????),?,()?,(),(),(對所有對所有????2. 累次剔除劣策略 局中人 1 局中人 2 左 (L) 右 (R) 上 (U) 1, 1 0, 1 中 (M) 0, 2 1, 0 下 (D) 0, 1 0, 0 3 .更多例題 例 1： 伯川德（價(jià)格）競爭 假設(shè)雙寡壟斷市場中的兩個(gè)公司都可以開出三個(gè)價(jià)格中的任一個(gè) ——高，中或低。 進(jìn)一步假設(shè)不管哪個(gè)公司開價(jià)較低的話就可以得到整個(gè)市場。 如果兩個(gè)公司開價(jià)相同，他們將平分市場。這些假設(shè) ——和任何的價(jià)格對 ——轉(zhuǎn)換成兩個(gè)公司的收益水平。 例如，對于公司 1，只有當(dāng)它的價(jià)格不高于公司2的價(jià)格，才能有所收益。 假定收益由如下盈利矩陣給出 公司 1＼公司 2 高 中 低 高 6， 6 0， 10 0， 8 中 10， 0 5， 5 0， 8 低 8， 0 8， 0 4， 4 剔除 “ 高 ” 策略后 ， 留給我們?nèi)缦掠仃? 公司 1＼公司 2 中 低 中 5， 5 0， 8 低 8， 0， 4， 4 例 3：投票博弈 投票博弈：采用多數(shù)規(guī)則 ， 三個(gè)投票人挑選兩個(gè)議案 A或 B中的一個(gè) 。 通過了第 Ⅰ輪的方案再面臨與維持原狀 N（ “ 都不 ” ） 進(jìn)行決賽 。 三個(gè)投票人的真實(shí)偏愛如下： 投票人 1： 投票人 2： 投票人 3： BNA ??NAB ??BAN ??每一個(gè)策略有三個(gè)分量：策略 A（ 后面跟 ） AN是指“ 投 A的票而反對 B， 然后在第 Ⅱ 輪中投 A的票 （ 反對N） ， 或投 N的票 （ 反對 B） 。 ” 至于盈利 ， 讓我們使用約定 ， 如果他最愿意的方案通過 ， 則獲盈利 1， 第二喜歡的通過 ， 盈利為 0， 如果第三喜歡 （ 即 ， 最不喜歡 ）方案通過 ， 則他的盈利為 1。 在第 Ⅱ 輪中真實(shí)地投票優(yōu)于非真實(shí)性投票；于是 ， 對投票人 1來說 ， AAN優(yōu)于 ANN, ANB， 和 AAB。 類似地 ，BBN優(yōu)于 BNN, BNB, 和 BAB。 由同樣的邏輯推理 ， 對于局中人 2， 作為第 Ⅱ 輪中的投票策略 ， AB優(yōu)于 NB, NN, 和 AN；對局中人３ ， 第 Ⅱ 輪的投票策略 NN優(yōu)于其他策略 。 可以看到如果投票人在第 Ⅱ 輪中真實(shí)地投票 ， 那么在那個(gè)階段 ， A擊敗 N， 而 B輸給 N。 剔除了 （ 第 Ⅱ 輪非真實(shí)的 ） 劣策略后 ， 策略型如下 投票人３采用 ANN 投票人１＼投票人２ AAB BAB AAN 1, 0, 0 1, 0, 0 BAN 1, 0, 0 0, 1, 1 投票人３采用 BNN 投票人１＼投票人２ AAB BAB AAN 1, 0, 0 1, 1, 1 BAN 0, 1, 1 0, 1, 1 現(xiàn)在看到，對局中人１， AAN優(yōu)于 BAN，對局中人２ AAB優(yōu)于BAB，而對局中人３， BNN優(yōu)于 ANN。從而，我們得到了IEDS結(jié)局為：投票人１取 AAN，投票人２取 AAB，投票人３取 BNN， A（以２票）贏得第 Ⅰ 輪，而在決賽中繼續(xù)擊敗 N。 案例研究：選舉聯(lián)合國秘書長 考慮有兩個(gè)投