【正文】 cos= ∴的夾角是 60186。 （Ⅲ）設 P(t,t,0)(0≤ t≤ )得 ∴ =（， 0， 0） 又∵ PF 和 CD所成的角是 60186。,直線 AM 是∠ PAQ的角平分線 ,且 M到 AQ、 PQ 的距離均為 1因此，（不妨設P 在第一象限） 直線 PQ 方程為 直線 AP 的方程 y=x1, ∴解得 P 的坐標是（ 2+， 1+），將 P點坐標代入得， 所以所求雙曲線方程為 即 第四篇： 04 普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試浙江卷理科數學試題及答案 2021年普通高等學校招生浙江卷理工類數學試題 第Ⅰ卷 (選擇題 共 60 分 ) 一 .選擇題 : 本大題共 12小題 ,每小題 5分 ,共 60分 .在每小題給出的四個選項中 ,只有一項是符合題目要求的 . (1) 若 U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 則 = (A) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4} (2) 點 P從 (1,0)出發(fā) ,沿單位圓逆時針方向運動弧長到達 Q點 ,則 Q的坐標為 (A) (B) ( (C) ( (D) ( (3) 已知等差數列的公差為 2,若成等比數列 , 則 = (A) – 4 (B) – 6 (C) – 8 (D) – 10 (4)曲線關于直線 x=2對稱的曲線方程是 (A) (B) (C) (D) (5) 設 z=x— y ,式中變量 x和 y滿足條件則 z的最小值為 (A) 1 (B) – 1 (C) 3 (D) – 3 (6) 已知復數 ,且是實數 ,則實數 t= (A) (B) (C) (D) (7) 若展開式中存在常數項 ,則 n的值可以是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (8)在Δ ABC 中 ,“ A30186。 （Ⅱ）證明 (Ⅲ )若記證明是等比數列 . 2021年普通高等學校招生浙江卷理工類數學試題 參考答案 一 .選擇題 : 本大題共 12小題 ,每小題 5分 ,共 60分 . 1. D 二 .填空題 :本大題共 4小題 ,每小題 4分 ,滿分 16 分 . 13. 14. 25 15. 5 16. 三 .解答題 :本大題共 6小題 ,滿分 74分 . 17. (本題滿分 12 分 ) 解 : (Ⅰ ) = = = = (Ⅱ ) ∵ ∴ , 又∵ ∴ 當且僅當 b=c=時 ,bc=,故 bc的最大值是 . (18) (滿分 12分 ) 解 : (Ⅰ )由題意可得 ,隨機變量ε的取值是 10 隨機變量ε的概率分布列如下 ε 2 3 4 6 7 10 P 隨機變量ε的數學期望 E ε =2 +3 +4 +6 +7 +10 =. (19) (滿分 12分 ) 方法一 解 : (Ⅰ )記 AC 與 BD 的交點為 O,連接 OE, ∵ O、 M 分別是 AC、 EF 的中點， ACEF是矩形， ∴四邊形 AOEM是平行四邊形， ∴ AM∥ OE ∵平面 BDE， 平面 BDE， ∴ AM∥平面 BDE (Ⅱ )在平面 AFD中過 A作 AS⊥ DF 于 S，連結 BS， ∵ AB⊥ AF， AB⊥ AD， ∴ AB⊥平面 ADF， ∴ AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影， 由三垂線定理得 BS⊥ DF ∴∠ BSA是二面角 A— DF— B的平面角 在 RtΔ ASB中， ∴ ∴二面角 A— DF— B的大小為 60186。 PF=2PQ ∵Δ PAQ為等腰直角三角形， ∴ 又∵Δ PAF為直角三角形， ∴， ∴ 所以 t=1或 t=3(舍去 ) 即點 P 是 AC 的中點 方法二 （Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系 設，連接 NE， 則點 N、 E的坐標分別是（、（ 0,0,1） , ∴ =(, 又點 A、 M的坐標分別是 （）、（ ∴ =（ ∴ =且 NE與 AM不共線， ∴ NE∥ AM 又∵平面 BDE， 平面 BDE， ∴ AM∥平面 BDF （Ⅱ）∵ AF⊥ AB， AB⊥ AD， AF ∴ AB⊥平面 ADF ∴為平面 DAF的法向量 ∵ =（ =0得 ,∴ NE 為平面 BDF的法向量 ∴ cos= ∴的夾角是 60186。 （Ⅲ）設 P(t,t,0)(0≤ t≤ )得 ∴ =（， 0， 0） 又∵ PF 和 CD所成的角是 60186。 B． 60176。 D． 30176。 所以 AB=AD=AC=a， 在△ PAB中， 由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PA⊥ AB. 同理， PA⊥ AD，所以 PA⊥平面 ABCD. 因為 所以 、共面 . 又 PB 平面 EAC，所以 PB//平面 EAC. 證法二 同證法一得 PA⊥平面 ABCD. 連結 BD，設 BDAC=O，則 O為 BD的中點 . 連結 OE，因為 E是 PD 的中點，所以 PB//OE. 又 PB 平面 EAC， OE 平面 EAC，故 PB//平面 EAC. （Ⅱ）解 作 EG//PA交 AD 于 G，由 PA⊥平面 ABCD. 知 EG⊥平面 ABCD. 作 GH⊥ AC 于 H，連結 EH，則 EH⊥ AC，∠ EHG 即為二面角的平面角 . 又 E 是 PD 的中點，從而 G是 AD的中點， 所以 19．（本小題滿分 12 分） 解：（Ⅰ）設 A、 B、 C 分別為甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的事件 . ① ② ③ 由題設條件有 由①、③得 代入②得 27[P(C)]2－ 51P(C)+22=0. 解得 （舍去） . 將 分別代入 ③、② 可得 即甲、乙、丙三臺機床各加工的零件是一等品的概率分別是 （Ⅱ）記 D 為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的事件， 則 故從甲、乙、丙加 工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為 20．（Ⅰ）證明 由成等差數列， 得， 即 變形得 所以（舍去） . 由 得 所以 12S3， S6， S12－ S6成等比數列 . （Ⅱ）解： 即 ① ①得： 所以 21．（本小題滿分 12 分） 解：（Ⅰ）由得交點 O、 A的坐標分別是（ 0， 0），（ 1， 1） . 即 （Ⅱ） 令 解得 當從而在區(qū)間上是增函數； 當從而在區(qū)間上是減函數 . 所以當 時，有最大值為 22．解：（Ⅰ）依題意，可設直線 AB的方程為 代入拋物線方程得 ① 設 A、 B 兩點的坐標分別是 、 x2 是方程①的兩根 . 所以 由點 P（ 0， m）分有向線段所成的比為， 得 又點 Q 是點 P關于原點的對稱點， 故點 Q 的坐標是（ 0，－ m），從而 . 所以 （Ⅱ）由 得點 A、 B的坐標分別是（ 6， 9）、（－ 4， 4） . 由 得 所以拋物線 在點 A 處切線的斜率為 設圓 C 的方程是 則 解之得 所以圓 C 的方程是 即