普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學試題天津卷-閱讀頁
2025-01-29 11:27本頁面
【正文】 討論的思想方法 滿分14分 （Ⅰ）解：當時，得，且， 所以，曲線在點處的切線方程是，整理得 （Ⅱ）解： 令，解得或 由于，以下分兩種情況討論 （1）若，當變化時，的正負如下表：因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且 （2）若，當變化時，的正負如下表：因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且 （Ⅲ）證明：由，得，當時， 由（Ⅱ）知，在上是減函數(shù)，要使，只要即 ?、僭O(shè)，則函數(shù)在上的最大值為 要使①式恒成立，必須，即或 所以，在區(qū)間上存在，使得對任意的恒成立 （22）本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力 滿分14分 （Ⅰ）證法一：由題設(shè)及，不妨設(shè)點，其中，由于點在橢圓上，有，解得，從而得到，直線的方程為，整理得 由題設(shè)，原點到直線的距離為，即，將代入原式并化簡得，即 證法二：同證法一，得到點的坐標為，過點作，垂足為B，易知，故由橢圓定義得，又，所以，解得，而，得，即 （Ⅱ）解法一：圓上的任意點處的切線方程為 當時，圓上的任意點都在橢圓內(nèi)，故此圓在點處的切線必交橢圓于兩個不同的點和，因此點，的坐標是方程組的解 當時，由①式得代入②式，得，即，于是， 若，則 所以， 由，得 在區(qū)間內(nèi)此方程的解為 當時，必有，同理求得在區(qū)間內(nèi)的解為 另一方面，當時，可推出，從而 綜上所述，使得所述命題成立
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