【文章內容簡介】 則的值等于 （ 15）已知平面α⊥β， =， P是空間一點，且 P 到α、β的距離分別是 2，則點 P 到的距離為 （ 16）設坐標平面內有一個質點從原點出發(fā)，沿 x 軸跳動，每次向正方向或負方向跳 1個單位，經(jīng)過 5 次跳動質點落在點（ 3， 0）（允許重復過此點）處，則質點不同的運動方法共有 種（用數(shù)字作答） 三 . 解答題：本大題共 6小題，滿分 74 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 （ 17）（本題滿分 12 分） 已知數(shù)列的前 n項和為 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求證數(shù)列是等比數(shù)列 （ 18）（本題滿分 12 分） 在Δ ABC中，角 A、 B、 C所對的邊分別為 a、 b、 c， 且 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求 bc 的最大值 （ 19）（ 19）（本題滿分 12 分） 如圖，已知正方形 ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直， AB=， AF=1， M是線段 EF 的中點 （Ⅰ）求證 AM∥平面 BDE； （Ⅱ）求證 AM⊥平面 BDF； （Ⅲ）求二面角 A— DF— B的大?。? （ 20）（本題滿分 12 分） 某地區(qū)有 5 個工廠，由于用電緊缺，規(guī)定每個工廠在一周內必須選擇某一天停電（選哪一天是等可能的）假定工廠之間的選擇互不影響 （Ⅰ）求 5 個工廠均選擇星期日停電的概率； （Ⅱ）求至少有兩個工廠選擇同一天停電的概率 （ 21）（本題滿分 12 分） 已知 a 為實數(shù)， （Ⅰ）求導數(shù)； （Ⅱ）若，求在 [2， 2] 上的最大值和最小值； （Ⅲ）若在（ ∞， 2]和 [2， +∞）上都是遞增的，求 a 的取值范圍 （ 22）（本題滿分 14 分） 已知雙曲線的中心在原點，右頂點為 A（ 1， 0）點 P、 Q在雙 曲線的右支上，支 M（ m,0）到直線 AP的距離為 1 （Ⅰ）若直 線 AP 的斜率為 k，且，求實數(shù) m的 取值范圍； （Ⅱ）當時，Δ APQ的內心恰好是點 M，求此雙曲 線的方程 2021年普通高等學校招生浙江卷文史類數(shù)學試題 參考答案 一選擇題本大題共 12小題 ,每小題 5分 ,共 60 分 3. B 11D 12. B 二 .填空題 (本大題共 4小題 ,每小題 4分 ,共 16分 ) 13. 14. – 4 15. 16. 5 三 .解答題 17. 解 : (Ⅰ )由 ,得 ∴ 又 ,即 ,得 . (Ⅱ )當 n1時 , 得所以是首項 ,公比為的等比數(shù)列 . (12 分 ) (18) 解 : (Ⅰ ) = = = = (Ⅱ ) ∵ ∴ , 又∵ ∴ 當且僅當 b=c=時 ,bc=,故 bc的最大值是 . (19) (滿分 12分 ) 方法一 解 : (Ⅰ )記 AC 與 BD 的交點為 O,連接 OE, ∵ O、 M 分別是 AC、 EF 的中點， ACEF是矩形， ∴四邊形 AOEM是平行四邊形， ∴ AM∥ OE ∵平面 BDE， 平面 BDE， ∴ AM∥平面 BDE (Ⅱ )在平面 AFD中過 A作 AS⊥ DF 于 S，連結 BS， ∵ AB⊥ AF， AB⊥ AD， ∴ AB⊥平面 ADF， ∴ AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影， 由三垂線定理得 BS⊥ DF ∴∠ BSA是二面角 A— DF— B的平面角 在 RtΔ ASB中， ∴ ∴二面角 A— DF— B的大小為 60186。 （Ⅲ）設 CP=t（ 0≤ t≤ 2） ,作 PQ⊥ AB于 Q，則 PQ∥ AD， ∵ PQ⊥ AB， PQ⊥ AF， ∴ PQ⊥平面 ABF，平面 ABF， ∴ PQ⊥ QF 在 RtΔ PQF中，∠ FPQ=60186。， PF=2PQ ∵Δ PAQ為等腰直角 三角形， ∴ 又∵Δ PAF為直角三角形， ∴， ∴ 所以 t=1或 t=3(舍去 ) 即點 P 是 AC 的中點 方法二 （Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系 設，連接 NE， 則點 N、 E的坐標分別是（、（ 0,0,1） , ∴ =(, 又點 A、 M的坐標分別是 （）、（ ∴ =（ ∴ =且 NE與 AM不共線， ∴ NE∥ AM 又∵平面 BDE， 平面 BDE， ∴ AM∥平面 BDF （Ⅱ）∵ AF⊥ AB， AB⊥ AD， AF ∴ AB⊥平面 ADF ∴為平面 DAF的法向量 ∵ =（ =0， ∴ =（ =0得 ,∴ NE 為平面 BDF的法向量 ∴ cos= ∴的夾角是 60186。 即所求二面角 A— DF— B的大小是 60186。 （Ⅲ）設 P(t,t,0)(0≤ t≤ )得 ∴ =（， 0， 0） 又∵ PF 和 CD所成的角是 60186。 ∴ 解得或（舍去）， 即點 P 是 AC 的中點 (20) 解 : (Ⅰ )設 5個工廠均選擇星期日停電的事件為 A, 則 . (Ⅱ )設 5個工廠選擇的停電時間各不相同的事件為 B, 則 因為至少有兩個工廠選擇同一天停電的事件是 , 所以 (12 分 ) (21) 解 : (Ⅰ )由原式得 ∴ (Ⅱ )由 得 ,此時有 . 由得或 x=1 , 又 所以 f(x)在 [2,2]上的最大值為最小值為 (Ⅲ )解法一 : 的圖象為開口向上且過點 (0,4)的拋物線 ,由條件得 即 ∴ 2≤ a≤ 2. 所以 a 的取值范圍為 [2,2]. 解法二 :令即 由求根公式得 : 所以在和上非負 . 由題意可知 ,當 x≤ 2或 x≥ 2時 , ≥ 0, 從而 x1≥ 2, x2≤ 2, 即 解不等式組得 : 2≤ a≤ 2. ∴ a 的取值范圍是 [2,2]. (22) (滿分 14分 ) 解 : (Ⅰ )由條件得直線 AP 的方程 (即 .又因為點 M 到直線 AP 的距離為1,所以 得 . ∵ ∴≤≤ 2, 解得 +1≤ m≤ 3或 1≤ m≤ 1. ∴ m 的取值范圍是 (Ⅱ )可設雙曲線方程為 由 得 . 又因為 M 是Δ APQ 的內心 ,M 到 AP 的距離為 1,所以∠ MAP=45186。,直線 AM 是∠ PAQ的角平分線 ,且 M到 AQ、 PQ 的距離均為 1因此，（不妨設P 在第一象限） 直線 PQ 方程為 直線 AP 的方程 y=x1, ∴解得 P 的坐標是（ 2+， 1+），將 P點坐標代入得， 所以所求雙曲線方程為 即 第四篇： 04 普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試浙江卷理科數(shù)學試題及答案 2021年普通高等學校招生浙江卷理工類數(shù)學試題 第Ⅰ卷 (選擇題 共 60 分 ) 一 .選擇題 : 本大題共 12小題 ,每小題 5分 ,共 60分 .在每小題給出的四個選項中 ,只有一項是符合題目要求的 . (1) 若 U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 則 = (A) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4} (2) 點 P從 (1,0)出發(fā) ,沿單位圓逆時針方向運動弧長到達 Q點 ,則 Q的坐標為 (A) (B) ( (C) ( (D) ( (3) 已知等差數(shù)列的公差為 2,若成等比數(shù)列 , 則 = (A) – 4 (B) – 6 (C) – 8 (D) – 10 (4)曲線關于直線 x=2對稱的曲線方程是 (A) (B) (C) (D) (5) 設 z=x— y ,式中變量 x和 y滿足條件則 z的最小值為 (A) 1 (B) – 1 (C) 3