【正文】 ( 1 ) ( 1 ) 1!!knn n n k n n n nk n n n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 2 1 1 21 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 ! 3 ! !1 1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ,!n n n k n nknn n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 故 11 1 1 1 2 1 1 21 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 ! 1 3! 1 1 ! 1 11 1 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 ! 1 11 1 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 。另外，從上面的 nx 的展開式， 知 211 1 1 1 1 122 ! 3 ! ! 2 2 2n nx n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11332n?? ? ? 故 ??nx 是有上界的。我們用 e 代表此極限： 1lim(1 )nn en?? ??． 用其他方法我們可以計算出 e 的精確數(shù)值是 e ? 迫斂性定理 迫斂性定理有時習慣稱 兩邊夾定理 定理 3（迫斂性定理） 設 { na }， {nb }， {nc }是三個數(shù)列。所以迫斂性定理也是判定數(shù)列收斂的一種方法，同時也提供了一個求極限的工具。 解 令 nnxn? ，因為當 1n? 時， nn 1? ，所以 nnxa??? ( 0)na? ，于是 ()nnna? ?? ≥ 212nnnna n a?? ? ? ? ?≥ 212 nn na? ? ? ， 即 0≤ 2na ≤ 21n? ?0≤ na ≤ 21n? ． 故 1≤ nx na??? ≤ 1+ 21n?． 顯然 na??收斂于零。所以，由迫斂性得 lim 1nn n?? ? ． 柯西收斂準則 有時我們可以從數(shù)列本身的項來研究數(shù)列的收斂問題 ，這就是下面的定理： 定理 4（柯西（ Cauchy）收斂準則） 數(shù)列 {na }收斂的充分必要條件是：對于任給的 ? 0，必有正整數(shù) N 存在，使當 n， mN 時，恒有 黑河學院學士畢業(yè)論文（設計） 10 │ na ? ma │ ? 即 數(shù)列 { na }收斂 ? ? ? 0， ? N?N+， ? n， mN，有 │ na ? ma │ ? . 在證明之前，我們先解釋一下│ na ? ma │ ? 的幾何意義。于是，其幾何意義就是：數(shù)列 { na }充分靠后的項之間任意接近。 柯西收斂準則也可換成如下的敘述： 數(shù)列 { na }收斂 ? ? ? 0， ? N?N+， ? n N， ? p ?N+，有 │ npa? ? na │ ? . 證明：必要性（ ?）若數(shù)列 { na }收斂，設 limnn a??=a .根據(jù)數(shù)列極限定義，即 ? ? 0， ? N?N+， ? k N，有│ ka ? a │ ? .從而 ? n ? N 與 m ? N ， 分別有│ na ? a │ ? 與│ ma ? a │ ? . 于是， ? n， mN，有 │ na ? ma │ =│ na ? a ? a ? ma │≤│ na ? a │ ? │ a ? ma │ 2 ? . 充分性 （ ?）首先證明數(shù)列 { na }有界 . 取 ? =1， ? 1N ?N+， ? n 1N 和 0m ? 1N ，有│ na ?0ma│ ， ? n 1N ，有 │ na │ =│ na ?0ma?0ma│≤│ na ?0ma│ ? │0ma│ 1 ? │0ma│ . 取 M =max{│ 1a │，│ 2a │，?，│1Na│， 1 ? │0ma│ }. 于是， ? n ?N+，有│ na │≤ M ，即數(shù)列 {na }有界 . 根據(jù)致密性定理，有界數(shù)列 { na }存在一個收斂的子數(shù)列 {kna}， 設 limk?? kna=a . 其次證明 limnn a??=a . 已知 ? ? 0， ? N?N+， ? n， mN，有│ na ? ma │ ? . 又已知 limk?? kna=a ，即 對上述同樣 ? 0， ? k ?N+， ? kn k ，有│kna? a │ ? ? . 取 L=max{N ， k }.從而， ? n ? L， ? kn ?L，同時有 │ na ?kna│ ? ? 與│kna? a │ ? ? . 黑河學院學士畢業(yè)論文（設計） 11 于是，│ na ? a │≤│ na ?kna│ ? │kna? a │ ? 2 ? ， 即 limnn a??=a .或數(shù)列 { na }收斂 . 在這里，指出， 單調(diào)有界 定理 和 Cauchy 收斂準則則只指出極限存在性 。 首先不妨設 nm? ，有 nmaa? ? ?? 121 2 191 0 1 0 1 0 1 0m m nm m n mb b b??? ? ?? ? ? ? 111(1 )1 0 1 0 nm??? ? ? 1 1 1 1(1 )1 0 1 0 1 0m n m m m ??? ? ? ? ? 此題的特點是：在討論有些數(shù) 列時，用定義 1是不好確定其收斂問題的，但是用柯西收斂準則就非常方便。 【例 12】 證明當 n ? ? 時，2s in 1 s in 2 s in2 2 2n n na ? ? ? ?收斂。于是只要 m ≥ nN? ，便有 ︱ mnaa? ︱ ? ︱12sin ( 1 ) sin ( 2 ) sin2 2 2n n mn n m??? ? ?︱ ≤112n?? 212n? ? 12m? 1111 212 12mnn????? 12n ??? 所以由柯西收斂準則知 limnn a??收斂。用定義來證明一個數(shù)列收斂（或有極限），必須事先知道（或能觀察出）該極限值，但這一點往往是比較困難的，柯西收 斂準則的優(yōu)點，就在于只通過數(shù)列本身來判斷其是否收斂。 我們知道一個數(shù)列不是收斂就是發(fā)散，那如果我們判斷出一個數(shù)列是發(fā)散的，也就說明它是不收斂的， 所以也可以判定數(shù)列是否收斂。這是收斂數(shù)列的最本質(zhì)的特征。 【例 13】 證明：若 ? n ?N+，有│ 1ny? ? ny │≤ ncr ，其中 c 是正常數(shù)，且 0r 1，則數(shù)列 { ny }收斂。 關于子列的重要定理 子數(shù)列的定義 定義 3 給定數(shù)列 {}na ： 1a ， 2a ， ， na ， ，在這個數(shù)列里，任取無窮多項，不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個子數(shù)列，任何一個數(shù)列都存在無窮多個子數(shù)列。 如果原來的數(shù)列收斂于 A，則它的任何一個子數(shù)列都一定收斂于 A。所以一個數(shù)列即使存在無窮多個收斂的子數(shù)列，我們也不能確定它是否收斂 。例如： 數(shù)列 { (1)nn? }是發(fā)散的。 數(shù)列 {(1)n? }是發(fā)散的，因為它的奇子列 { 21( 1)k?? }收 斂于 1；它的偶子列 { 2( 1)k? }收斂于 1，而 1? ? 1. 定理 6 數(shù)列 {}na 收斂的充要條件是偶子數(shù)列與奇子數(shù)列都收斂，且它們的極限相等，即 2 2 1lim limkkkka a a?? ? ? ??? 例如：在數(shù)列 {}na 中抽出子數(shù)列 21{}ka? 、 22{}ka? 和 2{}ka 都收斂，且有相同的極限值，這時數(shù)列 {}na 一定收斂。其實，在以后的接觸中你會發(fā)現(xiàn)，用這兩 個命題判別一個數(shù)列是否收斂非常方便。隨著知識的積累對數(shù)列收斂問題的理解將會更加深刻，在函數(shù)極限、多元函數(shù)極限、級數(shù)及后繼的專業(yè)理論課中對不同的問題、不同的概念都會研究 到 收斂問題，在此基礎上將會 有 更深刻和更廣泛的實際意義。 通過設計中不斷發(fā)現(xiàn)問題－解決問題的過程，我對 數(shù)列收斂 問題的知識有了更深刻的認識和理解，對本專業(yè)知識有了更新，提高了我得技術水平。我唯有在以后不斷地努力進取，以學業(yè)和工作的繼續(xù)求索來感謝培育我的母校和所有關心我的師長親朋！希望我們都幸?？鞓罚?