【正文】 1） ? ?1 1 1 1n n k k n n k?????????? （ 2） ? ?11 n k nkn k n ? ? ??? （ 3） ? ? ? ?1 1 1 12 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n??????? ? ? ??? （ 4） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 11 2 2 1 1 2n n n n n n n??????? ? ? ? ??? （ 5） 1 1m m mn n nC C C? ??? （ 6） ? ?! 1 ! !n n n n? ? ? ? 最后看看并項轉化法，即在求數列的前 n 項和時，如果一個數列的項是正負交錯的，尤其是當各項的絕對值又構成等差數列時，可以先將相鄰的兩項或幾項合并，然后再利用其 他相關的方法進行求和。 例 3 二次函數 2()f x x x??，當 ? ?? ?*,1x n n n N? ? ?時， ()fx的函數值中所有整數值的個數為 ()gn ， ? ?32 *23()n nna n Ngn???，則 ? ? 11 2 3 4 1 nnnS a a a a a?? ? ? ? ? ???? ? ? A.? ? ? ?1 11 2n nn? ?? B.? ? ? ?11 2n nn?? C. ? ?12nn? D. ? ?12nn?? 選題意圖： 此題依然是將數列問題“嫁接”在函數的“樹干”上，對于此類問題的解決，一定要從函數的思想方法入手，深入研究，找出那些被函數所隱藏的信息。同時本題對于并項轉化法求和的訓練也是相當的有深度的，希望同學們能體會。故當 ? ?? ?*,1x n n n N? ? ?時，函數 2()f x x x??的值隨 x 的增大而增大，則 ()fx的值域為? ?2 2 *, 3 2n n n n n N??? ? ? ???，∴ ? ? ? ?2 2 *( ) 3 2 1 2 3g n n n n n n n N? ? ? ? ? ? ? ? ?. 既然 ()gn 已經求出，所以可得 32 223()n nnangn???.此處求出了 na 。注意在利用并項轉化法求和時，由于數列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數 n 進行分類討論，但最終的結果卻往往可以用一個公式來表示。例如要研究數列的單調性、周期性，可以通過研究其通項公式所對應函數的單調性、周期性來實現，但要注意數列與函數的不同，數列只能看作是自變量為正整數的一類函數，在解決問題時要注意這一特性。一方面我們要了解這種關系，另一方面也要能夠利用數列與函數的這種關系解決問題。而數列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點內容。在解決這些問題時，要充分利用數列自身的特點，例如在需要用數列的單調性的時候，可以通過比較相鄰兩項的大小進行判斷。 例 1 已知二次函數 ? ? ? ?2( ) 2 2f x x m x m x R? ? ? ? ? ?同時滿足：①不等式 ( ) 0fx?的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在 12,xx，使得 120xx??，但 12( ) ( )f x f x? 。 （ 1）求 ??xf 的表達式； （ 2）求數列 ??na 的通項公式 ； （ 3 ）若 ? ? 25 1163,na n n nnnnnb b bbc bb? ??????， 數列 ??nc 的前 n 項和為 ,nnT T n m?? 對 數列綜合題習題課 第 19 頁 共 36 頁 *,2n N n??恒成立，求 m 的取值范圍。內容豐富，知識點也比較多，通過此題的解答過程，想給同學們一些啟發(fā)。當然裂項法求數列的和，也是我們必須掌握的技能。依然是先分析一下問題，第一問求 ??xf 的表達式，關鍵是求出 m 的值，從題目已知的條件①不等式 ( ) 0fx? 的解集有且只有一個元素，再結合一元二次函數的性質我們或許可以得到一些啟示，嘗試一下。 ∴ ? ? ? ?22 4 2 0 2m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 或 ? 這里解出了 m 的值。故可將 m 的值代入之后一一驗證即可。故不存在 12,xx，使得 120xx??，且 12( ) ( ).f x f x? 這里“數形結合”思想的運用，是很重要的。故 2( ) 4 4f x x x? ? ?. 對于第二問是求數列 ??na 的通項 公式，由條件已知 ()nS f n? ，故由第一問的結果可知 2 44nS n n? ? ? ，這里考查 na 與 nS 之間的關系。 ∴數列 ??nc 的前 n 項和 ? ?1 2 1 2 1 11 1 2 1 12 1 1 8 2 23 3 2 7 9 3nn nnT c c c c n n????? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????1111 6 2 ,2 7 3 nn ?? ? ? ? ∴ nT n m?? 即1111 6 22 7 3 nn n m?? ? ? ? ?對 *,2n N n??恒成立，由于是想求出 m 的取值，常用策略就是分離變量， 于是分離變量之后可轉化為：11116 2 7 3 nmn ?? ? ? ?對*,2n N n??恒成立，此處要理解“恒成立”的意義，將問題轉化一下，其實就是考查11116 27 3nn ?? ? ?的增減性，來找最值。尤其是第（ 3）問，需要用裂項法求數列的和，這是學習中的一個難點，需要我們慢慢體會與理解。 數列與解析幾何的綜合問題 方法引導： 數列與解析幾何的綜合問題，尤其是解析幾何中的點列 問題正成為高考的熱點內容。然而此節(jié)學習還有一處難點，就是對學習者計算能力的挑戰(zhàn)，解析幾何與數列中都有較大量的計算，所以要求學習者的計算功底要相當扎實，既要快又要準，下面來看看例題。 選題意圖： 此題是解析幾何與數列結合考查的常見形式，求和、通項、比較大小也是大眾題型。 解析： 此類問題對于題意的理解很重要，一定要從題意中概括出大致意思，輔之于圖像，幫助自己理解題意。話不多說先看看問題。 即 2 4nnxy? ① 2 114nnxy??? ② 又∵直線 1nnPP? 的斜率為 12n，即 1112nnnyyxx??? ?? ③ 把①②代入③式可得 2 11 211 1 14 2 2nn nnnnxx xx? ? ?? ?? ? ? ? ??，到此得到了 nx 與 1nx? 之間的關系。結合問題考慮 1?nb ，故得 1 14nnbb? ?， 等比數列最鮮明的特征已經展現在我們眼前了，所以 ??nb是以 14 為公比的等比數列。 針對第二問是比較 3 14nS?與 13 10n? 的大小，首先要求出 nS ， 由（ 1）知1 212nnnxx? ???，且 ? ? ? ?2 1 2 1 2 1 2 2 2 1n n n n n n nb x x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?, ∴ ? ? ? ?1 3 2 2 1 1 2 1b x x x x? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ ? ?1 1 4 1 3 1111 3 4 4 4nnnnnbqSSq? ??? ? ? ? ? ??????,原題轉化成比較n41與 13 10n? 的大小。這里“轉化策略”的運用，可以省去很多麻煩，由于 4n是指數形式， 3 10n? 是一次函數形式，考慮作差或者相除都必將導致運算量增大，故索性就從“簡單自然”的方法 考慮，即可對 n 進行討論，即 當 1n? 時， 4 4, 3 10 13n n? ? ?， ∴ 4 3 10n n??； 當 2n? 時， 4 16 , 3 10 16n n? ? ?， ∴ 4 3 10n n??； 數列綜合題習題課 第 23 頁 共 36 頁 當 3n? 時， ? ? 1 2 24 1 3 1 3 3nn nnCC? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 211 3 3 1 3 9 3 102nnn n n?? ? ? ? ? ? ? ?， ∴（ 1）當 1n? 時， 3114 3 10nS n?? ?； （ 2）當 2n? 時， 3114 3 10nS n?? ?； （ 3）當 3n? ， *nN? 時， 3114 3 10nS n?? ?。 能力考察： 已知曲線 :1C xy? 過 C 上一點 ? ?,n n nA x y 作斜率為 12n nk x?? ?的直線交曲線C 于另一點 ? ?1 1 1,n n nA x y? ? ? ，點列 ? ?,n n nA x y ? ?1,2,3,n? ??? 的橫坐標構成數列 ??nx ，其中1 117x?。數列與很多知識都有關聯， 有很強的綜合性， 所出 題 型 信息量較大，涉及知識面廣，復雜難懂，學生往往讀完題后沒有任何頭緒，使同學們苦不堪言，其實單個的知識點，同學們都非常熟悉，可是當這些知識點“糾纏”在一起時，同學們或許是因為題意理解有障礙，或許是因為某些知識點不夠清晰，導致無法解題，本節(jié)再次以例題講解為主，來幫助同學們體會這類題的解題方法。 教學方法 講授法 教具 粉筆、直尺 遞推公式與通項公式 方法引導： 如果一個數列 }{na 的連續(xù)兩項（或幾項）的關系，可以用一個公式)(1 nn afa ?? （或者 ))(,( 11 ????? ????? Nkaaafa knnnkn ）來表示，就稱該公式為數列的遞推公式；由數列的首項（或前幾項），及遞推公式給出的數列，稱為遞推數列。如果說由通項公式給出的數列是直接的、具體的，那么相對而言遞推公式給出的數列則是間接的、抽象的。此節(jié)內容的學習會遇到很多 數列綜合題習題課 第 25 頁 共 36 頁 關系式，可以利用函數的思想來進行考慮，當然也要求我們具有比較高的化簡與變形關系式的能力。下面看看例題。設計新穎，問題層層遞進很有層次感，且方法比較普遍具有代表性。 解析： 首先分析一下問題，第一問是要求 數列 {}nb 的通項公式 ，條件給出了 ??na 與 {}nb 的關系，又給出了 ??na 的遞推關系式，因此從此遞推關系式出發(fā)，想辦法求出 ??na 是解出此題關鍵。當然這題還可以通過從 1n n nb a a???這個關系式作為突破點來考慮，我們知道在高中學習階段，我們所學習的數列中特殊的不多，常見的就是等差與等比數列，能求出通項的也就只有這兩種，本題是要我們求 {}nb 通項公式，是否可以考慮 {}nb 是等差或等比數列呢？可以嘗試一下。 由 121 ??? ?? nnn aab ? ?1 1 15 2 2 23 3 3 3n n n n n na a a a a b? ? ?? ? ? ? ? ?，這里出現了等比數列的典型特點，我們的嘗試有了結果。到此第一問我們便解決了。想求出 nS ，那么我們就要知道{}nna 的“樣子”。我們很容易由第一問的結論得出 1?na 與 na 之間的關系，即1 23nn n nb a a? ??? ? ? ????, 注意到 ,11?a 由等比數列的意義可得 , ),2,1(3231 ???? ? na nnn，這里我們求出數列 ??na ，當然就知道了 {}nna 的“樣子”， 數列綜合題習題課 第 26 頁 共 36 頁 所以13 23 ???? nnn nnna，要求 {}nna 的前 n 項和 nS ，分析一下 {}nna 的結構，它是由兩部分組成的。 不妨記 數列 1123nnn?????????的前 n 項和為 nT ， 則 1221 2 ,33nnTn???? ? ? ? ? ?????這個式子的特征在前幾節(jié)數列求和中講過，可以利用錯位相減法來求和。 由上可得 122nnS a a na? ? ? ?3 (1 2 ) 2 nnT? ? ? ? ? 113 ( 3 ) 2( 1 ) 182 3nnnnn???? ? ? ?。 能力考察： 設數列 }{na 、 }{nb 、 }{nc 滿足： 2??? nnn aab ， 21 32 ?? ??? nnnn aaac （ ???? 3,2,1n ） , 證明： }{na 為等差數列的充分必要條件是 }{nc 為等差數列且 1?? nn bb （ ???? 3,2,1n ） . 數列與存在性問題 方法引導： 近年來 ,隨著高考改革的深化和新教材中研究性課題的不斷引入 ,探索題正逐漸成為高考的熱點 ,尤其是以數列存在性問題為代表、考查學生創(chuàng)新意識與研究性 數列綜合題習題課 第 27 頁 共 36 頁 學習能力的題目倍受命題者的