【正文】 2 20 8 ,n n nna S S n??? ? ? ? ?① 這里出現(xiàn)了 nS 與 na 之間的關(guān)系，結(jié)合 nnn SSa ?? ?? 11 ，遞推思想的運用在此油然而生，很自然想到將 n 向前加一位或向后減一位。 觀察 ⑤式 ∵ 5 2 0,n?? ∴ 3 2 12 0 ,n n na a a? ? ?? ? ? 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 5 頁 共 36 頁 ∴ 3 2 2 1 3 2 5,n n n na a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?又 215,aa?? 等差數(shù)列最鮮明的特征在此處展現(xiàn)出來了。 對于第三問是證明不等式 51mn m na a a??，我們可以從這個式子入手分析， 要想證明 51mn m na a a?? 只要證明 15 ?? nmmn aaa 即只要證 ? ?215 ?? nmmn aaa 又由（ 2）知， ? ?*5 4 .na n n N? ? ? 考慮 ? ?5 5 5 4 2 5 2 0 .mna m n m n? ? ? ? ? ? ? ?21 2 1 1 2 5 1 5 9 .m n m n m n m n m na a a a a a a a a a m n m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ ? ? ? ?25 1 1 5 2 9 1 5 2 2 9 1 0 ,m n m na a a m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ?25 1 ,mn m na a a?? ∴ 5 m na a a?? 因此 5 m na a a?? 這種“執(zhí)果索因”的分析方法，在今后的學(xué)習(xí)中將被經(jīng)常用到，同學(xué)們要好好體會。 等比數(shù)列的綜合問題 方法引導(dǎo)： 解決等比數(shù)列的綜合問題時，首先要深刻理解等比數(shù)列的定義，能夠用定義法或等比中項法判斷或證明一個數(shù)列是等比數(shù)列；其次要熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和前 n 項和公式，能夠用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題。 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 6 頁 共 36 頁 例 2 已知等比數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 ? ?*2 3 , .nnS k k R n N? ? ? ? ? （ 1） 求 ??na 的通項公式； （ 2） 設(shè)數(shù)列 ??nb 滿足 ? ?4 5 ,nnabnak?? nT 為數(shù)列 ??nb 的前 n 項和，求證： nT?? 選題意圖： 此題依然是想考查學(xué)生對于數(shù)列 ??na 與 nS 之間關(guān)系的理解，第二問的? ?4 5 ,nnabnak?? 直觀的感覺很復(fù)雜，可是只要我們算下去，就會“由難變易”。這里也再次強調(diào)，對于數(shù)列問題而言，函數(shù)思想是必須具備的。第一問是求 ??na 的通項公式，第二問證明不等式。這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的元認知中的“控制”，即當(dāng)我們遇到一道新題目時，對如何入手、如何策劃、如何構(gòu)思、如何選擇、如何組 織、如何猜想、如何修正等都應(yīng)該作出基本策劃和安排。所以 1 2 3 4 2 3 11 2 3 1 ,4 3 4 3 4 3 4 3nn nnT b b b b b ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ?① 觀察 nT 的構(gòu)造，很自然想到用錯位相減法求出 nT ， 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 7 頁 共 36 頁 即221 2 3 13,4 4 3 4 3 4 3n nnT ??? ? ? ? ????? ? ?② 則② ? ①得2 2 11 1 1 1 12,4 4 3 4 3 4 3 4 3n nnnT ?? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? 所以，2 2 1 11 1 1 1 1 3 2 1 ,8 8 3 8 3 8 3 8 3 1 6 1 6 3n n n nnnT ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? 要證 nT?? 即要證13 2 1 30 1 6 1 6 3 1 6nn ??? ? ??，很顯然要考慮1316 12 ???nn的取值情況，即考查它的單調(diào)性。同學(xué)們往往被這些附帶的東西迷惑，致使解題出現(xiàn)困難。 能力考察： 已知函數(shù) ? ? 2 4f x x??，設(shè)曲線 ? ?y f x? 在點 ? ?? ?,nnx f x 處的切線與 x 軸的交點為 ? ?? ?*1,0nx n N? ? ，其 中 1x 為正實數(shù)。如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或成等比數(shù)列的項抽出來，研究這些項與項數(shù)之間的關(guān)系；如果兩個數(shù)列通過運算綜合在一起，要從分析運算入手，把兩個數(shù)列分割開，弄清兩個數(shù)列各自的特征，再進行求解 。其中正確的個數(shù)是 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 8 頁 共 36 頁 選題意圖： 此題以等差數(shù)列為面等比數(shù)列為里綜合而成的。 分析解答： 四個命題我們一個一個看，首先第一個命題說數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列，由條件知4321 2,2,2,2 4321 aaaa bbbb ???? .不妨設(shè) 1 2 3 4, , ,a a a a 的公差為 d ，則 1 24ad??，又102a??，所以 12d??.易知數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列，公比為 d2 ，故（ 1）正確；其次第二個命題，由于 ? ?23 2,3a a d? ? ? ，所以 22 24ab ??，故（ 2）正確；再次第三個命 題，由于 43 5,a a d? ? ? ，所以 44 2 32ab??，故（ 3）正確；最后第四個命題因為2 4 328a a a? ? ?，所以 24 824 2 2 2 5 6aabb ?? ? ?，故（ 4）正確 .故四個命題都是正確的，選D. 等差與等比數(shù)列的綜合問題，我們只要能熟悉它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，按部就班地從基本的想法試下去，就一定可以做出來 . 能力考察： 已知數(shù)列 ??na 是首項為 1 4a? 的等比數(shù)列，且 1 5 34 , , 2a a a? 成等差數(shù)列，則其公比 q 等于 B. ? 1 或 ? 1 D. 2 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 9 頁 共 36 頁 第二講： 數(shù)列的求和 授課題目 數(shù)列求和 課型 習(xí)題課 年級 高三 教學(xué)目標(biāo) 知識與技能 熟悉各種求和方法的定義以及運用的條件，能熟練地運用各種求和方法來求數(shù)列的和 . 過程與方法 通過對數(shù)列的各種求和公式的運用來培養(yǎng)學(xué)生歸納、分類討論、遷移的能力 . 情感、態(tài)度與價值觀 在解決實際問題的過程中，體會如何去分析問題、解決問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力 . 學(xué)情分析 在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng) 學(xué)習(xí)了各種求和公式的推導(dǎo)以及主要的求和思想，本節(jié)是對學(xué)生能否用已學(xué)知識來解決問題的一次考查。而我們常用的幾個求和公式如下： （ 1） ? ? ? ?2 2 2 2 11 2 3 1 2 1 .6n n n n? ? ? ??? ? ? ? ? （ 2） ? ? 23 3 3 3 211 2 3 1 .4n n n? ? ? ???? ? ? （ 3） 0 1 2 n n nC C C C? ? ? ???? ? 熟練這些公式，是能求出數(shù)列前 n 項和的保障。 例 1 已知函數(shù) ? ? ? ?2 2 *( ) 2 1 5 7 .f x x n x n n n N? ? ? ? ? ? ? （ 1）若函數(shù) ()fx的圖像的頂點的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 ??na ，試證明數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列； （ 2）設(shè)函數(shù) ()fx的圖像的頂點到 x 軸的距離構(gòu)成數(shù)列 ??nb ，試求數(shù)列 ??nb 的前 n 項和nS 。這種結(jié)合在數(shù)列綜合題問題的考查中時有發(fā)生，屬于常規(guī)考法，比較典型。接著看，既然說 ??na 是由 函數(shù) ()fx的圖像的頂點的橫坐標(biāo)構(gòu)成的，所以我們要看看 ()fx的頂點橫坐標(biāo)是什么。 而對于第二個問題，又出現(xiàn)了另一個數(shù)列 ??nb ，其實只要對第一問很熟悉，我們自己都可以“猜測”到第二問的問題，一個框架，造出來的樓也是很相似的，由上面的分析可得 3 ??很顯然下一步我們要去掉絕對值，于是 當(dāng) 12n??時， 38nbn?? ? ，數(shù)列 ??nb 為等差數(shù)列， 1 5b? ，由公式 ? ?21n naanS ??, ∴ ? ? 25 3 8 3 1322n nn nnS ?? ????； 當(dāng) 3n? 時， 38nbn??，數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列，這里的首項是 3 1b? ，共有 2?n 項， ∴ ? ? ? ? 22 2 1 3 8 3 13 2822n nn nnSS ? ? ? ??? ? ? ∴223 13 , 1 22 .3 13 28 ,32nnn nS nnn? ?? ????? ? ??? ???到 此問題就全部解決了。在第（ 2）問的求解中， 12n??或 3n? 時，都可以用等差數(shù)列的前 n 項和公式，但當(dāng) 12n??時，不要誤求為數(shù)列的前 2 項和；當(dāng) 3n? 時，數(shù)列的首項為 3b ，項數(shù)為 2n? ，不要誤求為 n 項的和，也不要誤求為 3n? 項的和。 （ 1）求公比 q ； （ 2）設(shè) 12nnA S S S? ? ? ????，求 .nA 錯位相減法求和 方法引導(dǎo)： 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積組成的，此時可把式子 12nnS a a a? ? ? ????的兩邊同乘以公比 q ，得到1 2 2 3n n n nq S a q a q a q a a a q a? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ?，兩式錯位相減整理即可求出 nS 。下面就來看看錯位相減法求和是怎么一回事。 選題意圖： 從 ? ?*4lo gn n nb a a n N??一看便知，此題是借著對數(shù)模型發(fā)揮，綜合考查學(xué)生對于 ??nb 與 nS 之間的關(guān)系的理解、錯位相減法的應(yīng)用、以及比較大小的處理方法。也希望通過此題讓同學(xué)們類比函數(shù)模型與數(shù)列結(jié)合這一類問題的解題思路。依然分析一下問題，第一問想求 數(shù)列 ??nb 的前 n 項和 nS ，想求 nS ，就得求 ??nb ，想求 ??nb 就得求??na ，這里依然遵循“從基本的想法試下去”這一原則，所以 由題得 nnaq? , ∴ 4 4 4l o g l o g 5 l o g 5n n nn n nb a a q q n? ? ? ? ? ? ?, ∴ ? ?2 41 5 2 5 5 l o g 5nnSn? ? ? ? ? ???? ?， 要求出 nS ,關(guān)鍵是求出 nn 55251 2 ????????? . 故可設(shè) 21 5 2 5 5 nnTn? ? ? ? ? ???? ?，①（這里出現(xiàn)了運用錯位相減法的時機） 故 ? ?2 3 15 1 5 2 5 1 5 5nnnT n n ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?，② 于是由① ? ②得 ? ?2 3 1 15 5 14 5 5 5 5 5 54nn n nnT n n???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ∴ ? ? ? ?4554 5 5 1 , 4 5 5 1 l o g 51 6 1 6n n n nnnT n S n? ? ? ? ? ? ? ? 到此第一問運用錯位相減法就解決了。 當(dāng)然也可通過作差的方法，建立關(guān)于 n 的不等式，求出 n 的取值范圍， 即 ∵441 4 1 4l o g l o g ,1 5 1 5nn n nb a a n ???? ???? ∴ ? ? 11 4 4 41 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 41 l o g l o g l o g 01 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5n n nnn nb b n n?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?， 此處 的式子乍一看很復(fù)雜，其實仔細分析一下就變成了 14 015 15n??的樣子。 此類問題應(yīng)該從整體進行觀察、分析、處理，從全局把握條件與結(jié)論間的聯(lián)系，抓住問題的本質(zhì)，使問題變得簡潔、明晰，從中發(fā)現(xiàn)解決問題的辦法，即“整體 化策略”。 數(shù)列求和的其他方法 方法引導(dǎo)： 數(shù)列求和的方法有很多，這里再重點說說倒序相加法、裂項相消法、并項轉(zhuǎn)化法這三種方法。當(dāng)然運用倒序相加法求和具有一定的局限性，只有與首尾兩項等距離的兩項之和是常數(shù)時才可以用。 這里列舉了一些常用的裂項技巧： （