【正文】 和“充分遠(yuǎn)”是什么意思。例如數(shù)列 1122n? ??? ?等數(shù)列都具有這樣的特點，當(dāng) n無限增大時，它們都無限地接近于 0 。由此引出數(shù)列極限的精確定義，在各版本的教材中也稱為數(shù)列極限的《 ??? 》定義。 黑河學(xué)院學(xué)士畢業(yè)論文（設(shè)計） 2 若數(shù)列 {}na 沒有極限，則稱 {}na 不收斂，或稱 {}na 為發(fā)散數(shù)列。有時我們把“ {}na 的極限是 a ”，說成“ na 趨于 a ”或“ na 收斂于 a ”。 從定義 1 可以看出收斂數(shù)列一定有極限。 )Ua? 之外，數(shù)列 {}na 中項只有有限個，則稱數(shù)列 {}na 收斂，且收斂于 a 。對于任給的 0?? ，在 數(shù)軸上作出 a 點的 ? 鄰域 ? ?,aa????。因為 ? 是任意小的正數(shù)，所以數(shù)列 {}na中各項所對 應(yīng)的點 na 都無限聚集在點 a 的附近。 收斂數(shù)列的定義 通過數(shù)列極限的定義我們可以看出，如果我們知道一個數(shù)列的極限，那么也就說明這個數(shù)列收斂于這個極限，即數(shù)列收斂。 黑河學(xué)院學(xué)士畢業(yè)論文（設(shè)計） 3 第 二 章 判別數(shù)列收斂的方法 第一章的定義 1與定義 2給出了數(shù)列收斂定義，且有著明顯的幾何意義。其特點是將數(shù)列 {}na 與一個常數(shù)聯(lián)系在一起進(jìn)行論證。同時，問題往往不是孤立的 ，一個數(shù)列極限的計算可能要使用幾種方法。 那么怎樣判斷一個數(shù)列是否收斂或者說極限是否存在的問題，對于簡單的數(shù)列，其極限的存在常?？梢?通過觀察直接看出（例如，數(shù)列 nx ? 1n 的極限顯然存在，而且是零），或通過四則運算得出（參看上面例 7）。極限 （ 21） 是一個重要的極限，在研究放射性元素的衰變規(guī)律，電容器的充放電以及自然對數(shù)等許多問題中都 要用到它。它們不僅可以用來判斷一些較復(fù)雜的極限（例如極限 （ 21）的存在性），而且在理論研究時也經(jīng)常用到。所以說用定義可以判別一個數(shù)列是否收斂。并依此求得對應(yīng)的 N。又由于 （ 22） 式是在 3n? 的條件下成立的，故應(yīng)取 黑河學(xué)院學(xué)士畢業(yè)論文（設(shè)計） 4 maxN? {3， 9? } ． （ 24） 證 任給 0?? ，取 maxN? {3， 9? }。于是 本題得證。但應(yīng)注意這種放大必須適當(dāng)，以根據(jù)給定的 ? 能確定出 N 。一般地，在定義 1 中的 N 不一定限于正整數(shù)，而只要它是正數(shù)即可。 證明：對 0??? ，要使得 ?????nnn 111，只須 ?1?n ，所以取 ??????? ?1N，當(dāng) Nn? 時，有????? nnn 111 ，所以 11lim ???? nnn 。然而，盡管 ? 具有任意性，但一經(jīng)給出，就應(yīng)視為不變。在解題中， N 等于多少關(guān)系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個 N ，使得當(dāng) Nn? 時，有 ???axn就行了，而不必求最小的 N 。 證明：對 0??? ，因為nanann an an222222)(1 ?????? （此處不妨設(shè) 0?a ，若 0?a ，顯然有 1lim 22 ???? nann） 所以要使得 ???? 122n an，只須 ??na2 就行了。 注 3：有時找 N 比較困難，這時我們可把 axn? 適當(dāng)?shù)刈冃?、放大（千萬不可縮?。。?，若放大后小于 ? ，那么必有 ???axn 。 應(yīng)用四則運算求數(shù)列極限 四則運算法則 若 {}na 與 {}nb 為收斂數(shù)列，則 {}nnab? ， {}nnab? ， {}nnab? 也都是收斂數(shù)列，且有 lim( )nnn ab?? ??lim limnnnnab?? ??? lim( )nnn ab?? ? lim limnnnnab?? ????． 特別當(dāng) nb 為常數(shù) c 時有 l i m ( ) l i mnnnna c a c? ? ? ?? ? ?， lim limnnnnca c a?? ???． 若再假設(shè) 0nb? 及 lim 0nn b?? ?，則 {}nnab 也是收斂數(shù)列，且有 l i m l i m l i mnnnn n nna abb? ? ? ? ? ???． 【例 4】 求 lim 1nnn aa?? ?，其中 1a?? ． 解 若 1a? ，則顯然有 1lim 12nnn aa?? ??； 若︱ a ︱ 1? ，則由 lim 0nn a?? ?得 lim 1nnn aa?? ? lim lim 1)nnnnaa?? ??? ?? ? ?0； 若︱ a ︱ 1? ，則 黑河學(xué)院學(xué)士畢業(yè)論文（設(shè)計） 6 lim 1nnn aa?? ?? 1lim11nna?? ??110? 1? ． 【例 5】 求 lim (s in 1 s in )n nn?? ?? 解，用有理化法，得 lim (s in 1 s in )n nn?? ?? = 11l i m 2 c o s s i n22nn n n n??? ? ? ? 因為 1cos 12nn??? ??，而 1lim 2nnn???? 有理化得 1lim 02 ( 1 )n nn?? ??? 所以 1lim sin 2nnn????sin0 0??， 故 lim ( sin 1 sin ) 0n nn?? ? ? ?． 【例 6】 求 2223lim( 1)n nn?? ?? 解 2223lim( 1)n nn?? ??= 2223lim 21n nnn?? ???= 2232lim 211nnnn?????= 223lim(2 )21lim(1 )nnnnn??????? = 223lim 2 lim21lim 1 lim limnnn n nnnn? ? ? ?? ? ? ? ? ????= 20 21 0 0? ??? ． 單調(diào)有界定理 有界數(shù)列的定義 定理 1 若數(shù)列 na??收斂，則為 na??有界數(shù)列，即存在正整數(shù) M ， 使得對一切正整數(shù) n 有 ︱ na ︱ ≤ M 證明 設(shè) limnn aa?? ?。 注 有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充要條件。那什么條件才是充要條件呢，接下來第三章將會介紹。 解 因為存在 1M? ，使得對于一切 na 都滿足不等式 ︱ 1nn? ︱ ≤ 1，故數(shù)列1nn???????有界。 解 因為當(dāng) n 無限增大時 2n 可超過任何正數(shù)，所以數(shù)列 ??2n 無界。事實上，任給 0?? ，按上確界的定義，存在數(shù)列 {}na 中某一項 Na ，使得 Naa??? 。所以當(dāng) nN? 時有 na a a??? ? ? ?， 這就證得 limnn aa?? ?。 公理的幾何意義十分明顯 .若數(shù)列 { na }單調(diào)增加有上界，設(shè) na 在數(shù)軸上的對應(yīng)點是 n? . 當(dāng) n 無限增大時，點 n? 在數(shù)軸上向右方移動，因為有上界，所以這些點必?zé)o限地趨近于某個點 ? .設(shè) ? 的坐標(biāo)為 a ，則 a 就是數(shù)列 {na }的極限 . 例如： 1 2 1 12 , 2 , , 2 , ,nna a a a a ?? ? ? ? ?研究數(shù)列 {}na 的收斂。 其次 ，同樣可以驗證數(shù)列 {}na 有界， 2na? ． 因此由這個知 ， 數(shù)列 {}na 必收斂。 單調(diào)有界定理的 應(yīng)用 【例 9】 試證明數(shù)列 1(1 )nnx n?? 有極限。 根據(jù)二項式定理，我們有 1(1 )nnx n? ? ? 231 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 2 ) 11 2 ! 3 !n n n n nn n n n? ? ?? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 1 ) 1