【正文】 之為“條件超訂概率”，并且提出了超訂研究中關(guān)于艙位取消概率的兩個重要假設(shè)，即一個艙位取消的概率不依賴該訂座是否是一個團體的一部分，也不依賴于該訂座已訂座的時間長度。航空公司在 很多地方使用標準，準點率標準、回答訂座電話的時間標準、錯誤行李發(fā)生標準，這個模型很容易向高層管理者解釋清楚。 第一次用動態(tài)方法解決航空公司超訂問，其模型將超訂問題描述為一個非齊次的馬爾可夫序貫決策過程，利用動態(tài)規(guī)劃求解。到八十年代，研究航空公司超訂問題大多數(shù)是采用動態(tài)方法，例如航空公司的等人就是利用動態(tài)規(guī)劃方法對兩等級超訂問題進行研究，最近的則有等人。年在其系統(tǒng)用不同方法超訂，考慮超訂決策的收入和成本以及最大化超訂利潤。 超訂在實際應用中有一定危險性，如果超訂點定得過高，成行旅客人數(shù)超過了航班實際艙位數(shù)，航空公司就需要對無座登機的旅客進行補償，成本因此要增加。目前典型的模型是在超訂決策中使用拉格朗日松弛法來解決問題，將總問題分解為許多子問題，每個子問題的約束條件都是總約束條件的一個子集，但在成本函數(shù)中加上一被忽略條件的不匹配的處罰值。 上述超訂決策是以風險中性為決策起點的，對于小航空公司來說，其風險偏好可能不是中性的，而是風險規(guī)避性的。對航空公司來說，盡管接受一個當前的訂座的風險比等待一個未來的可能的訂座的風險要小，但因為一個航空公司每年重要作出上百萬個接受或拒絕訂座的決策，風險中性的假設(shè)是合理的。考慮有一個訂座申請，申請?zhí)囟ê匠獭⑻囟ê桨?、特定時刻、特定票價等級的艙位，基本的收益管理決策是接受還是拒絕這個訂座申請。 接受拒絕決策可以表述成一個評估問題：所申請的艙位的期望機會成本是多少？為了最大化期望收益，只有當申請艙位的票價等于或超過所申請艙位的期望機會成本時，才接受這一訂座申請。雖然不可能對這一機會成本進行精確的評估，但人們研究出了許多近似方法，這些近似方法依然為航空公司帶來了可觀的收入。 單航段控制問題 許多早期的艙位控制研究需要下面的簡化問題的假設(shè)：序列訂座等級；票價低的等級先于票價高的等級訂座各訂座等級的需求具有統(tǒng)計獨立性；不存在訂座取消和因而不考慮超訂；單航因而不考慮網(wǎng)絡(luò)影響；沒有批量訂座。這種情況下，訂座政策可以基于每類需求的總需求而不必考慮訂座申請的實際到達過程。 最早的準則是在年首先發(fā)表的，作為他在英國航空公司收益管理研究工作的一部分。與提出了準則的穩(wěn)健性的其他證據(jù)。盡管他所提出的被稱之為啟發(fā)式 方法的優(yōu)化方法對于多等級沒有產(chǎn)生最優(yōu)化的艙位分配，但這種方法特別容易實施。研究表明對于更一般化的需求分布，的結(jié)果很差。 和尋找多等級嵌套艙位保護水平的簡單適應方法，它明顯的優(yōu)勢是不需要需求預測而使用歷史觀察值來指導保護水平的調(diào)整。他們證明在合理的假設(shè)條件下，這一 方法向優(yōu)化嵌套保護水平收斂，在實踐中，為了盈利，這一出發(fā)點并不能得到保證。然而實際需求過程的信息可以降低與之相關(guān)的需求估計的不確定性。 最優(yōu)性研究表明，在靜態(tài)研究方法中所設(shè)定的某些假設(shè)條件放寬的話，那么由靜態(tài)研究方法得到的靜態(tài)控制限額策略將不存在最優(yōu)。 和靜態(tài)方案不同，艙位控制問題的動態(tài)方案并不在訂 座一開始就確定訂座控制政策，而是不斷監(jiān)控訂座狀態(tài)并且依據(jù)當前的訂座狀態(tài)確定當有訂座到達時是否接受訂座。他們把每個等級的需求被看作一個非齊次泊松過程。模型的狀態(tài)僅依賴于直至飛機起飛的時間和剩余運力。每次決策期間過后或者運力發(fā)生變化，狀態(tài)發(fā)生變化。這個決策準則說的是只有當票價超過艙位的機會成本時，才接受這一等級的申請，這兒的機會成本是指在時間ｔ艙位的期望邊際價值。他們 證明關(guān)鍵值在訂座等級上是單調(diào)的。 證明了這一問題可以表示為動態(tài)隨機背包問題，他們的工作目標在問題的更廣闊的層次，不局限于這兒討論的單航段艙位控制問題，而包括了在時間之前給定剩余運力的最終值、運力未用的等待成本以及拒絕一個申請的罰金后，停止過程的可能性。 與拓展了和提出的模型，研究了艙位分配與艙位超訂結(jié)合的問題，構(gòu)造了一個離散時間的馬爾科夫決策過程，用動態(tài)規(guī)劃來分析結(jié)合超訂情況的艙位分配問題。使用連續(xù)時間重新構(gòu)造并求解了和的模型。他們的模型也允許批量到達。不僅要考慮單個航班的航段上的問題，還要考慮顧客整個航程可能包括多個聯(lián)程航班以及整個營運網(wǎng)絡(luò)上的問題。這一領(lǐng)域收益管理研究的進展受限并不是由于網(wǎng)絡(luò)控制方法研究的缺乏，而是由于老的訂座系統(tǒng)功能的限制。網(wǎng)絡(luò)收益管理主要應用了數(shù)學規(guī)劃方法、虛擬嵌套、投標價格等方法。網(wǎng)絡(luò)流模型的缺點是不能有效區(qū)分航線的起點和終點。這種模型的優(yōu)點是容易求解并能非常迅速地重新優(yōu)化。等人建立的是滾動水平網(wǎng)絡(luò)模型，處理的是確定性需求。在研究網(wǎng)絡(luò)艙位分配的博士論文中也是采用網(wǎng)絡(luò)模型，先針對單票價問題建模，然后拓展到多等級情況下。對起訖點問題建立一個數(shù)學規(guī)劃與邊際分析相結(jié)合的混合模型，對收益函數(shù)采取分段線性近似，同時每個起訖點的不同票價等級是嵌套的，每個起訖點的嵌套針對單個航段單獨優(yōu)化，其結(jié)果是最優(yōu)的嵌套訂座限額，這樣比較符合實際業(yè)務(wù)情況，該方法已經(jīng)被一些收益管理系統(tǒng)采用了。這是一種將起訖點客流分類歸并到數(shù)量有限的單航段訂座等級中的技術(shù)，這種方法是評估起訖點客流對航空公司的價值，按照這種評估 價值而不是它的價格，將起訖點客流分配到當前航段的訂座等級集合中。 嵌套是艙位控制問題的一個重要方面，應該加以考慮。嵌套順序應該基于組合對網(wǎng)絡(luò)收益的貢獻，按票價等級排序沒有考慮票價水平，按票價水平排序沒有考慮飛行航段的載運率。對于模型，她通過相應需求限制條件對應的影子價格來估計加一個艙位產(chǎn)生的額 外收益。隨機模型沒有需求限制條件，但依然使用平均需求增加一個所產(chǎn)生的額外收益來設(shè)定嵌套順序，額外需求的估計可以通過使用增加一個平均需求的模型重新優(yōu)化，把新的目標函數(shù)值和原來的目標函數(shù)值進行比較得到。 在確定了每個航段的嵌套順序后，就可以構(gòu)造一個嵌套的訂座控制政策。 按照的觀點，使用組合對網(wǎng)絡(luò)收益的凈貢獻來確定訂座限。他們通過使用航段的運力限制的影子價格的總和來估計一個組合的機會成本。因此嵌套順序基于： 其中表示航段上運力限制的影子價格。 投標價格控制方法的基礎(chǔ)理論的早期研究者是，他們基于不同的數(shù)學規(guī)劃方法描述了投標價格控制的思想以及許多主要的近似方法。其主要思想是：建立前面提到的確定型線性規(guī)劃模型，用期望需求代替隨機需求作為模型中的約束條件，用該模型的對偶價格來建立網(wǎng)絡(luò)中不同航節(jié)上每增加一個艙位的邊際價值，旅客路線經(jīng)過的航節(jié)上的對偶價格累加起來作為該路線的近似的替換成本（一般稱之為該路線的投標價），作為可接受票價的下限邊界值。與建立了一個起訖點控制問題的一般模型，通過動態(tài)規(guī)劃方法對該模型的最優(yōu)控制結(jié)構(gòu)以及投標價格控制性能的嚴格分析，深入地研究了投標價格方法的理論基礎(chǔ)。這種線性要求通常并不滿足，然而，他們也證明當運力和銷售量巨大時，競價政策是漸進優(yōu)化的。其思想是使用需求的隨機向量取代期望需求來融合更多的隨機信息。個優(yōu)化艙位分配提供了組影子價格，航段的競價簡單定義為航段上個影子價格的平均。 這種方法和 De Boer 使用的的機會成本的近似 ，而且直接把接受一個訂座申請獲得的收益和的機會成本聯(lián)系起來。這可能使得航班裝滿了僅對網(wǎng)絡(luò)收益有邊際貢獻的旅客。 綜上所述，歷史對單航道的艙位控制問題的解決方法是完美的，目前，在這方面注意的工作是擴展已有模型，說明如超訂、成批到達、較少依賴需求預測等問題。 Weatherford[34]曾提出了價格與艙位控制決策的綜合公式，但由于 收入函數(shù)的表達式較為復雜，至今沒有計算出結(jié)果。目前，該理論也得到了國內(nèi)外一些知名專家學者的積極研究，它最先產(chǎn)生于 2021 年 Biyaxogorsky和 Gerstrie [46]提出的可召回服務(wù)的概念，美國哥倫比亞大學的 Gallego 教授對該理論做出了 開創(chuàng)性的工作，并在 AGIFORS 網(wǎng)站上發(fā)表了初步的研究成果，國內(nèi)一些學者也在該領(lǐng)域取得了一定的研究進展，于輝和張道明在 2021 年利用實物期權(quán)的思想為航空公司在淡季促銷中引入了可召回機制 [47]，不過目前這種新方法仍在研究，還沒有進入具體的實施階段，但就模擬的效果來看，可召回機制這種柔性控制方法確實可以減少矛盾，提高收益 [48]。 對于收益管理定價方法的有效性， Theodore C. Botimer（ 1996）從經(jīng)濟學效率的角度對其進行了分析，他認為制定差別定價體系可以保證旅客在供給大于需求的情況下按最大支付意愿購買機票，使艙位的分配效率達到最佳，使社會和航空公司效益最大化 [35]。此外， Cooper（ 2021）認為，盡管航空公司會對不同等級的機票設(shè)定不同的限制措施，但實際銷售過程 中高收益群體仍然有購買低價票的傾向，所以傳統(tǒng)收益管理模式的實施往往導致航班的收益螺旋下降，久而久之給航空公司帶來較大的收益損失 [36]。理論上來說，采用動態(tài)定價方法可以確定每一銷售狀態(tài)下的機票價格，也就是說該方法已經(jīng)隱含了對艙位的控制，并且其重心在于與旅客需求聯(lián)系更為直接、更為緊密的定價方面。隨著學者對動態(tài)定價研究的深入，多種動態(tài)定價模型得以建立。價格離散變化時，最優(yōu)價格只能在預先給定的價格集中選??；連續(xù)變動時，一般假設(shè)最優(yōu)價格 p∈ [0， +∞ 。 Beat Burger 和 Matthias Fuchs*（ 2021）介紹了一個航空公司動態(tài)定價的原始隨機模型，該模型假設(shè)某航班存在一組離散價格集合，而旅客的購票意愿是該價格集合的隨機累積函數(shù)，然后以價格、剩余艙位存量等因素作為決策變 5 量、并運用動態(tài)規(guī)劃方法構(gòu)造出期望收益函數(shù)，航空公司 的決策是以期望收益最大化為目標、從價格集合中找到某一銷售狀態(tài)下的最優(yōu)機票價格 [40]。他將潛在旅客分為虛旅客和實旅客兩種，并假設(shè)潛在旅客總量服從參數(shù)為 c ， α 的負二項分布，然后以價格、剩余艙位存量和參數(shù) c ， α 作為決策變量、運用動態(tài)遞歸方法構(gòu)造了一個較為復雜的收益函數(shù) [41]。經(jīng)過改進，該模型可以求出最優(yōu)價格和最大期望收益。 Yuri Levin 和 Jeff McGill 等（ 2021）也在假設(shè)價格為連續(xù)型的基礎(chǔ)上，運用動態(tài)遞歸方法構(gòu)造了一個易腐蝕產(chǎn)品的最優(yōu)動態(tài)定價模型，與上述模型不同的是，該文將旅客效用明確考慮進來，以航空公司和旅客作為博弈雙方，雙方分別以航班期望收益最大化和旅客效用最大化為目標進行博弈，結(jié)果表明該博弈存在戰(zhàn)略均衡解，模型算例證明如果航空公司忽略旅客選擇行為那么其收益將會受到損害 [43]。 Miguel 和 Russell . Cheng 等（ 2021）假設(shè)航空公司旅客到達率是銷售剩余時間的函數(shù)，旅客購買概率是銷售剩余時間和價格的函數(shù)，并運用微積分方法構(gòu)造了一個航空公司最優(yōu)實時動態(tài)定價模型，該模型假設(shè)價格是連續(xù)型，并提出了一個與時間相關(guān)的連續(xù)定價函數(shù)，模型結(jié)果表明機票價格是銷售剩余時間的減函數(shù)，不足之處是該模型沒有考慮艙位剩余存量對價格的影響 [44]。 通過以上描述可容易看出，根據(jù)價格范圍限制的不同，動態(tài)定價模型可以區(qū)分為離散價格型和連續(xù)價格型，而在構(gòu)造動態(tài)定價模型時，較常用到的數(shù)學方法有微積分方法和動態(tài)遞歸方法。 需要注意的是，上述提到的模型都是以航班處于壟斷環(huán)境為基礎(chǔ)研究的，也就是說，航班的定價策略只受到自身需求和供給的影響。目前對競爭環(huán)境下航空公司收益管理研究較為成熟的也是關(guān)于 艙位控制，不過近年來對于競爭環(huán)境下采用動態(tài)定價方法確定最優(yōu)機票價格的研究也逐步增多。 Kyle Y. Lin 和 Soheil Y. Sibdari（ 2021）在考慮旅客選擇行為的基礎(chǔ)上，提出了一個生產(chǎn)同類產(chǎn)品的企業(yè)之間的動態(tài)定價競爭模型 [48]。彭際華（ 2021）既構(gòu)造了壟斷情況下的動態(tài)定價模型，也提出了存在競爭航班時的動態(tài)定價模型，比較全面的分析了航空公司對動態(tài)定價模型的應用 [49]。該模型以價格切換 點作為決策變量，假設(shè)需求服從泊松分布、并且價格離散，即給定一組價格集合，航空公司將依據(jù)價格切換點來選擇集合中的某個數(shù)值作為最優(yōu)價格。但總的來說，我國對收益管理理論的深入研究還剛剛起步，國際研究水平還有一段距離。 1917 年，愛爾朗發(fā)表了他的著名的文章―“自動電話交換中的概率理論的幾個問題的解決”。 排隊是在日常生活中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象，如顧客到商店購買物品、病人到醫(yī)院看病常 常要排隊。也就是說， 到達的顧客不能立即得到服務(wù)，因而出現(xiàn)了排隊現(xiàn)象。由于顧客到達和服務(wù)時間的隨機 性。 排隊論（ Queuing Theory ） 也 稱 隨 機 服 務(wù) 系 統(tǒng) 理 論[61,62,63,64,65,66,67]，就是為解決上述問題而發(fā)展 的一門學科。 （ 2） ?優(yōu)化問題，又 分靜態(tài) ?優(yōu)和動態(tài) ?優(yōu)，前者指 ?優(yōu)設(shè)計。 （ 3）排隊系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷，即判斷一個給定的排隊系統(tǒng)符合于哪種模型，以便 根據(jù)排隊理論進行分析研究。第一個符號 X 表示顧客到達流或顧客到達間隔時間的分布；第二個符號 Y 表示服務(wù)時間的分布；第三個符號 Z 表示服務(wù)臺數(shù)目；第四個符號 A 是系統(tǒng)容量限制；第五個符號 B 是顧客源數(shù)目；第六個符號 C 是服務(wù)規(guī)則，如先到先服務(wù) FCFS，后到先服務(wù) LCFS 等。 表示顧客到達間隔時間和服務(wù)時間的分布的約定符號為： ―指數(shù)分布（ M 是 Markov 的字頭，因為