【正文】 11??nSnnSn=21, ∴數(shù)列??????nSn是等差數(shù)列 ,其首項(xiàng)為 2,公差為21, ∴ Tn=41n249n. {an}中， a1＜ 0,S9=S12,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最?。? 解 由條件 S9=S12可得 9a1+289?d=12a1+21112?d，即 d=101a1. 由 a1＜ 0知 d＞ 0,即數(shù)列 {an}為遞增數(shù)列 . 方法一 由??? ??? ????? 0 0111 1 ndaa d)n(aann， 得????????????01011011011nn ）（ ,解得 10≤ n≤ 11. ∴當(dāng) n為 10或 11時(shí)， Sn取最小值， ∴該數(shù)列前 10項(xiàng)或前 11 項(xiàng)的和最小 . 方法二 ∵ S9=S12，∴ a10+a11+a12=3a11=0，∴ a11=0. 又∵ a1＜ 0,∴公差 d＞ 0，從而前 10項(xiàng)或前 11項(xiàng)和最小 . 方法三 ∵ S9=S12， ∴ Sn的圖象所在拋物線的對稱軸為 x=2129?=, 又 n∈ N*， a1＜ 0,∴ {an}的前 10項(xiàng)或前 11 項(xiàng)和最小 . 方法四 由 Sn=na1+2 )1( ?nnd=2d 2n+ ?????? ?21 dan， 結(jié)合 d=101a1得 Sn= ??????? 1201a n =201a 2221?????? ?n+80441a1 （ a1＜ 0）， 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 n=221=， Sn最小 .又 n∈ N*，故 n=10或 11時(shí) Sn取得最小值 . 一、選擇題 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，若 a2=1,a3=3,則 S4等于 （ ） 答案 C {an}中，已知 1a =2,a2+a3=13,則 a4+a5+a6等于 （ ） 答案 B 10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為 15，偶數(shù)項(xiàng)之和為 30，則其公差為 （ ） 答案 C {an}的前三項(xiàng)分別為 a1,2a+1,a+7,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （ ） =4n3 B. an=2n1 =4n2 =2n3 答案 A 5.（ 2020重慶理， 14） 設(shè) Sn是等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 ,a12=8,S9=9,則 S16= . 答案 72 {an}、 {bn}都是公差為 1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為 a b1,且 a1+b1=5， a b1∈ N*.設(shè) =nba(n∈ N*),則數(shù)列 {}的前 10項(xiàng)和等于 . 答案 85 三、解答題 {an}中， a1=53， an=211?na (n≥ 2,n∈ N*),數(shù)列 {bn}滿足 bn=11?na(n∈ N*). (1)求證：數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列； （ 2）求數(shù)列 {an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由 . （ 1） 證明 因?yàn)?an=211?na(n≥ 2,n∈ N*),bn=11?na. 所以當(dāng) n≥ 2時(shí)， bnbn1=11?na111??na =11211 ????????? ??na111??na=111???nnaa111??na=1. 又 b1=111?a=25.所以，數(shù)列 {bn}是以 25為首項(xiàng)，以 1為公差的等差數(shù)列 . （ 2） 解 由（ 1）知， bn=n27,則 an=1+nb1=1+722?n. 設(shè)函數(shù) f(x)=1+722?x,易知 f(x)在區(qū)間 (∞ ,27)和 (27,+∞ )內(nèi)為減函數(shù) . 所以，當(dāng) n=3時(shí)， an取得最小值 1； 當(dāng) n=4時(shí)， an取得最大值 3. {an}的奇數(shù)項(xiàng)的和為 216，偶數(shù)項(xiàng)的和為 192，首項(xiàng)為 1，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，求此數(shù)列的末項(xiàng)和通項(xiàng)公式 . 解 設(shè)等差數(shù)列 {an}的項(xiàng)數(shù)為 2m+1,公差為 d, 則數(shù)列的中間項(xiàng)為 am+1,奇數(shù)項(xiàng)有 m+1 項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有 m項(xiàng) . 依題意，有 S 奇 =(m+1)am+1=216 ① S 偶 =mam+1=192 ② ①247。 31S3，41S4的等差中項(xiàng)為 1， 求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 . 解 方法一 設(shè)等差數(shù)列 {an}的首項(xiàng) a1=a，公差為 d， 則 Sn=na+2 )1( ?nnd，依題意，有 ??????????????? ????????? ???????? ????????? ????????? ??,212 344412 23331,2 4552512 344412 233312dadadadada 整理得?????????,2252,053 2dadad ∴ a=1， d=0或 a=4， d=512. ∴ an=1或 an= n512532?， 經(jīng)檢驗(yàn) ， an=1和 an= n512532?均合題意 . ∴所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an=1或 an= n512532?. 方法二 因 Sn是等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和，易知數(shù)列??????nSn是等差數(shù)列 .依題意得 ??????????????????????????.SS,SSS，SSS2435434253432543453解得????????,5,4,3543SSS 或?????????????.4,58,524543SSS 由此得 a4=S4S3=1， a5=S5S4=1， 或 a4=516， a5=528， ∴ d=0或 d=512. ∴ an=a4+（ n4） 0=1 或 an=a4+（ n4） (512)=532512n. 故所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=1 或 an=532512n. 知公差大于零的等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，且滿足： a3 (2)若數(shù)列 {bn}滿足 bn=Sn?,是否存在非零實(shí)數(shù) c使得 {bn}為等差數(shù)列？若存在，求出 c的值；若不存在，請說明理由 . 解 （ 1）由等差數(shù)列的性質(zhì)得， a2+a5=a3+a4=22,所以 a a4是關(guān)于 x的方程 x222x+117=0的解，又公差大于零， 所以 a3=9,a4=13. 易知 a1=1,d=4,故通項(xiàng)為 an=1+(n1) 4=4n3. (2)由 (1)知 Sn=2 )341( ?? nn=2n2n, 所以 bn=Sn?= nn??22. 方法一 所以 b1=c?11,b2=c?26,b3=c?315(c≠ 0). 令 2b2=b1+b3,解得 c=21. 當(dāng) c=21時(shí)， bn=2122??nnn =2n, 當(dāng) n≥ 2時(shí)， bnbn1=2. 故當(dāng) c=21時(shí)，數(shù)列 {bn}為等差數(shù)列 . 方法二 當(dāng) n≥ 2時(shí)， bnbn1= nn nn ?? ?????? 1 )1()1(22 22 =)1()12( 3)24(22 2 ???? ??? c , 欲使 {bn}為等差數(shù)列， 只需 4c2=2(2c1)且 3c=2c(c1) (c≠ 0)解得 c=21. 167。海南、寧夏理， 4） 設(shè)等比數(shù)列 {an}的公比 q=2,前 n項(xiàng)和為 Sn,則24aS等于 （ ） C.215 D.217 答案 C {an}中 ,a3=7,前 3項(xiàng)之和 S3=21，則公比 q的值為 （ ） 21 21 21 答案 C 1,a,b,c,9成等比數(shù)列 ,那么 （ ） =3， ac=9 =3， ac=9 =3， ac=9 ` =3， ac=9 答案 B {an}中，已知 a1a3a11=8，則 a2a8等于 （ ） 答案 D 5.（ 2020 qn3=2 3n3. ②當(dāng) a2=6時(shí)， q=31,an=2 33n ∴ an=2 3n3或 an=2 33n. 例 2（ 12分）已知數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，且對任意 n∈ N*有 an+Sn=n. （ 1）設(shè) bn=an1,求證：數(shù)列 {bn}是等比數(shù)列； （ 2）設(shè) c1=a1且 =anan1 (n≥ 2)，求 {}的通項(xiàng)公式 . （ 1） 證明 由 a1+S1=1及 a1=S1得 a1=21. 又由 an+Sn=n及 an+1+Sn+1=n+1 得 an+1an+an+1=1,∴ 2an+1=an+1. ∴ 2(an+11)=an1,即 2bn+1=bn. ∴數(shù)列 {bn}是以 b1=a11=21為首項(xiàng)， 21為公比的等比數(shù)列 . 6分 （ 2） 解 方法一 由（ 1）知 2an+1=an+1. ∴ 2an=an1+1 (n≥ 2), ∴ 2an+12an=anan1, ∴ 2+1= (n≥ 2). 8分 又 c1=a1=21 ,a2+a1+a2=2,∴ a2=43. ∴ c2=43 21 =41 ,即 c2=21 c1. ∴數(shù)列 {}是首項(xiàng)為 21 ，公比為 21 的等比數(shù)列 . 10分 ∴ =21 (21 )n1=(21 )n. ∴ an=(21)n+1. ∴ =(21)n +1???????? ????????? 1211n = 121 ??????? n n??????21= 121 ??????? n ???????211 = n??????21（ n≥ 2） . 10分 又 c1=a1=21也適合上式，∴ = n??????21. 12 分 例 3 在等比數(shù)列 {an}中， a1+a2+a3+a4+a5=8且11a+21a+31a+41a+51a=2,求 a3. 解 方法一 設(shè)公比為 q,顯然 q≠ 1, ∵ {an}是等比數(shù)列，∴??????na1也是等比數(shù)列，公比為q1. 由已知條件得?????????????????211)11(181)1(5151qqaqqa,解得 a21 q4 =4, ∴ a23 =（ a1q2） 2=4， ∴ a3=177。 2. 例 4 某林場有荒山 3 250 畝，每年 春季在荒山上植樹造林，第一年植樹 100畝，計(jì)劃每年比上一年多植樹 50畝（全部成活） （ 1）問需要幾年，可將此山全部綠化完？ （ 2）已知新種樹苗每畝的木材量是 2立方米，樹木每年自然增長率為 10%，設(shè)荒山全部綠化后的年底的木材總量為 S約為多少萬立方米？（精確到 ） 解 （ 1）每年植樹的畝數(shù)構(gòu)成一個(gè)以 a1=100， d=50的等