【正文】 2( ) lg ( 2 1)f x a x x? ? ?，① 若 ()fx的定義域是 R，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； ② 若 ()fx的值域是 R，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍（答：① 1a? ； ② 01a??） （ 2）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求確定自變量的范圍。 如（ 1） 若函數(shù) )(xfy? 的定義域?yàn)??????? 2,21 ，則 )(log2 xf 的定義域?yàn)?__________（答： ? ?42| ?? xx ）； （ 2） 若函數(shù) 2( 1)fx? 的定義域?yàn)閇 2,1)? ，則函數(shù) ()fx的定義域?yàn)?________（答： [1,5]）． （最值）的方法 ： （ 1） 配方法 ――二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間 [ , ]mn 上的最值；二是求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問(wèn)題。 運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新 元 t 的范圍 ）； （ 3） sin cos sin cosy x x x x? ? ? 的值域?yàn)?____（ 答：1[ 1, 2]2?? ）； （ 4） 249y x x? ? ? ?的值域?yàn)?____（ 答： [1,3 2 4]? ）； （ 3） 函數(shù)有界性法 ――直接 求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性， 如 求函數(shù) 2sin 11 siny ? ??? ? ， 313xxy? ?，2sin 11 cosy ? ??? ? 的值域（ 答： 1( , ]2?? 、（ 0,1）、 3( , ] 2?? ）； （ 4） 單調(diào)性法 ―― 利用 一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等 函數(shù)的單調(diào)性 ， 如 求1 (1 9)y x xx? ? ? ?， 2 29si n 1 si nyx x???， 5 32 log 1xyx?? ? ?的值域?yàn)?______（ 答：80(0, )9 、 11[ ,9]2 、 [2,10] ）； （ 5） 數(shù)形結(jié)合法 ――函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率 、 等等，如（ 1） 已知點(diǎn) ( , )Pxy 在圓 221xy??上，求 2yx? 及 2yx? 的取值范圍（答： 33[ , ]33? 、[ 5, 5]? ）； （ 2） 求函數(shù) 22( 2) ( 8 )y x x? ? ? ?的值域（答： [10, )?? ）； （ 3） 求函數(shù)226 1 3 4 5y x x x x? ? ? ? ? ?及 6 1 3 4 5y x x x x? ? ? ? ? ?的值域（答： [ 43, )?? 、( 26, 26)? ） 注意 ：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩 定 點(diǎn)在 x 軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩 定 點(diǎn)在 x 軸的同側(cè) 。 如 設(shè) 12, , ,x a a y 成等差數(shù)列， 12, , ,xb b y 成等比數(shù)列，則21221 )(bb aa ?的取值范圍是____________.（答： ( , 0] [4, )?? ??） 。（ 答： － 48） 提醒 ：（ 1）求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫成集合形式了嗎？（ 2）函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？ 。在 求分段函數(shù)的值 0()fx 時(shí)，一定首 先要判斷 0x 屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集 。 如 已知 ()fx 為二次函數(shù)，且 )2()2( ???? xfxf ，且 f(0)=1,圖象在 x 軸上截得的線段長(zhǎng)為 2 2 ,求 ()fx的解析式 。 如（ 1） 已知,sin)co s1( 2 xxf ?? 求 ? ?2xf 的解析式 （答： 2 4 2( ) 2 , [ 2 , 2 ]f x x x x? ? ? ? ?）； （ 2） 若22 1)1( xxxxf ???，則函數(shù) )1( ?xf =_____（答： 2 23xx??）； （ 3） 若函數(shù) )(xf 是定義在 R上的奇函數(shù)，且當(dāng) ),0( ???x 時(shí)， )1()( 3 xxxf ?? ，那么當(dāng) )0,(???x 時(shí)， )(xf =________ 4 （答： 3(1 )xx? ） . 這里需 值得注意 的是所求解析式的定義域的等價(jià)性 ，即 ()fx的定義域應(yīng)是()gx的值域 。 如（ 1 ） 已知( ) 2 ( ) 3 2f x f x x? ? ? ?，求 ()fx的解析式（ 答： 2( ) 3 3f x x?? ? ）； （ 2） 已知 ()fx是奇函數(shù)，)(xg 是偶函數(shù)，且 ()fx+ )(xg = 11?x ,則 ()fx= __（答： 2 1xx? ） 。 如 函數(shù) 2 23y x ax? ? ?在區(qū)間 [1, 2]上存在反函數(shù)的充要條件是 A、 ? ?,1a??? B、 ? ?2,a? ?? C、 [1,2]a? D、 ? ?,1a??? ? ?2,?? （答： D） （ 2）求反函數(shù)的步驟：①反求 x ；②互換 x 、 y ；③注明反函數(shù)的定義域（原來(lái)函數(shù)的值域 ）。 如 設(shè))0()1()( 2 ??? xxxxf .求 )(xf 的反函數(shù) )(1 xf? （ 答： 1 1( ) ( 1)1f x xx? ??? ） ． （ 3）反函數(shù)的性質(zhì)： ①反函數(shù)的定義域是原來(lái)函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來(lái)函數(shù)的定義域。 如（ 1） 已知函數(shù) ()y f x? 的圖象過(guò)點(diǎn) (1,1),那么? ?4fx? 的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn) _____（ 答： （ 1,3））； （ 2） 已知函數(shù) 132)( ??? xxxf ，若函數(shù)()y g x? 與 )1(1 ?? ? xfy 的圖象關(guān)于直線 xy? 對(duì)稱，求 (3)g 的值（ 答： 72 ）； ③ 1( ) ( )f a b f b a?? ? ?。 如 已知 ??fx是 R 上的增函數(shù)，點(diǎn)? ? ? ?1,1 , 1,3AB? 在它的圖象上， ??1fx? 是它的反函數(shù)，那么不等式 ? ?1 2log 1fx? ? 的解集為_(kāi)_______（ 答： （ 2,8）） ； ⑤ 設(shè) ()fx的定義域?yàn)?A，值域?yàn)?B，則有 1[ ( )] ( )f f x x x B? ??， 1[ ( )]f f x x? ? ()xA? ，但 11[ ( )] [ ( )]f f x f f x??? 。 （ 1）具有奇偶性的函數(shù)的 定義域的特征： 定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ！為此 確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 。 ② 利用 函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式： ( ) ( ) 0f x f x? ? ?或 ()1()fxfx? ??（ ( ) 0fx? ） 。 （ 3）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)： ① 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反 . ② 如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù) . ③ 若 ()fx為 偶函數(shù) ，則 ( ) ( ) (| |)f x f x f x? ? ?.如 若定義在 R 上的偶函數(shù) ()fx在 ( ,0)??上是減函數(shù)，且 )31(f =2， 則 不等式 2)(log81 ?xf的解集為 ______.（答： (0, ) (2, )??） ④ 若奇函數(shù) ()fx定義域中 含 有 0，則必有 (0) 0f ? .故 (0) 0f ? 是 ()fx為奇函數(shù)的 既不充分也不必要條件 。為奇函數(shù)，則 實(shí)數(shù) a ＝ ____（ 答： 1） . ⑤ 定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和（或差）”。①判斷 )(xF 與 )(xG 的奇偶性； ②若將函數(shù) )110lg()( ?? xxf ，表示成一個(gè)奇函數(shù) )(xg 和一個(gè)偶函數(shù) )(xh 之和，則 )(xg ＝ ____（ 答： ① )(xF 為偶函數(shù)， )(xG 為奇函數(shù)；② )(xg ＝ 12x ） ⑥ 復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“ 內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外 ” . ⑦ 既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)（ ( ) 0fx? ，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意一個(gè)數(shù)集） . 。 如 已知函數(shù) 3()f x x ax??在區(qū)間 [1, )?? 上是增函數(shù)，則 a 的取值范圍是 ____(答： (0,3] ） )； 5 ② 在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等， 特別要注意 (0by ax ax? ? ? 0)b? 型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運(yùn)用：增區(qū)間為 ( , ],[ , )bbaa?? ? ??，減區(qū)間為[ , 0), (0, ]bbaa? .如 （ 1） 若函數(shù) 2)1(2)( 2 ???? xaxxf 在區(qū)間（－∞， 4] 上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ______(答： 3??a ） )； （ 2） 已知函數(shù) 1()2axfx x ?? ?在區(qū)間 ? ?2,? ??上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍 _____（答： 1( , )2??）； （ 3） 若函數(shù)? ? ? ?l og 4 0 , 1a af x x a ax??? ? ? ? ????? 且的值域?yàn)?R，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ______(答：04a??且 1a? ） )； ③ 復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點(diǎn) 是 同增異減 ， 如 函數(shù) ? ?212log 2y x x? ? ?的單調(diào)遞增區(qū)間是 ________(答：（ 1,2） )。（答： 1223m? ? ? ） 11. 常見(jiàn)的圖象變換 ① 函數(shù) ? ?axfy ?? )0( ?a 的圖象是把函數(shù) ? ?xfy? 的圖象沿 x 軸向左平移 a 個(gè)單位得到的。 如（ 1） 若 2( 1 9 9 ) 4 4 3f x x x? ? ? ?， 則函數(shù) ()fx的最小值為 ____(答： 2)； （ 2） 要得到)3lg( xy ?? 的圖像，只需作 xy lg? 關(guān)于 _____軸對(duì)稱的圖像，再向 ____平移 3 個(gè)單位而得到 (答：y ；右 )； （ 3） 函數(shù) ( ) lg ( 2 ) 1f x x x? ? ? ?的圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有 ____個(gè) (答： 2) ③函數(shù) ? ?xfy? +a )0( ?a 的圖象是把函數(shù) ? ?xfy? 助圖象沿 y 軸向上平移 a 個(gè)單位得到的； ④ 函數(shù) ? ?xfy? +a )0( ?a 的圖象是把函數(shù) ? ?xfy? 助圖象沿 y 軸向下平移 a 個(gè)單位得到的； 如 將函數(shù) aax by ??? 的圖象向右平移 2 個(gè)單位后又向下平移 2 個(gè)單位 ,所得圖象如果與原圖象關(guān)于直線 xy? 對(duì)稱 , 那么 0,1)( ??? baA RbaB ??? ,1)( 0,1)( ?? baC RbaD ?? ,0)( (答： C) ⑤ 函數(shù) ? ?axfy? )0( ?a 的圖象是把函數(shù) ? ?xfy? 的圖象沿 x 軸伸縮為原來(lái)的a1得到的。 ① 滿足條件 ? ? ? ?f x a f b x? ? ?的函數(shù)的圖象關(guān)于直線2abx ??對(duì)稱。特別地，點(diǎn) (, )xy 關(guān)于直線 yx? 的對(duì)稱點(diǎn)為 ( , )yx ；曲線 ( , ) 0f x y ? 關(guān)于直線 yx? 的對(duì)稱曲線的方程為 ( , )f yx 0? ；點(diǎn) (, )xy 關(guān)于直線 yx?? 的對(duì)稱點(diǎn)為 ( , )yx?? ；曲線 ( , ) 0f x y ? 關(guān)于直線 yx?? 的對(duì)稱曲線的方程為 ( , ) 0f y x? ? ? 。 如 若函數(shù)xxy ?? 2 與 )(xgy? 的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 2， 3）對(duì)稱，則 )(xg ＝ ______（答： 2 76xx? ? ? ） ⑦ 形如 ( 0 , )a x by c a d b cc x d?? ? ?? 的圖像是雙曲線， 其 兩漸近線分別直線 dx c?? (由分母為零確定 )和 直線 ay c? (由分子、分母中 x 的系數(shù)確定 )， 對(duì)稱 中心是點(diǎn) ( , )dacc? 。 如（ 1） 作出函數(shù) 2| log ( 1) |yx??及 2log | 1|yx??的圖象； （ 2） 若函數(shù) )(xf 是定義在 R 上的奇函數(shù)，則函數(shù) )()()( xfxfxF ??的圖象關(guān)于 ____對(duì)稱 （答： y 軸 ） 提醒 ：（ 1）從結(jié)論 ②③④⑤⑥ 可看出，求對(duì)稱曲線方程的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是 利用代入法轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題；（ 2）證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任 一 點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；（ 3） 證明圖像 1C 與 2C 的對(duì)稱性， 需證兩方面 ： ① 證明 1C 上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在 2C 上； ② 證明 2C 上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在 1C上 。求證：函數(shù) )(xf 的圖像關(guān)于點(diǎn) ( , 1)Ma? 成中心對(duì)稱圖形； （ 2） 設(shè)曲線 C 的方程是 xxy ?? 3 ,將 C 沿 x 軸 , y 軸正方向分別平行移動(dòng) ,ts單位長(zhǎng)度后得曲線 1C 。 13. 函數(shù)的周期性 。如（ 1） 2 3 5log 25 log 4 log 9的值為 ________(答 ： 8)； （ 2）2log 81()2的值為 ________(答 ： 164) 15. 指數(shù)、對(duì)數(shù)值的大小比較 ：（ 1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；（ 2）作差或作商法；（ 3）利用中間量（ 0 或 1）；（ 4）化同指數(shù)（或同真數(shù)）后利用圖象 比較 。（ 1）求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟： ① 審題――認(rèn)真讀題，確切理解題意，