【正文】 2?n 都有 2321 naaaa n ?? ，則 ?? 53 aa ______（答： 6116 ） ⑷ 若 1 ()nna a f n? ?? 求 na 用累加法： 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? 1a? ( 2)n? 。 如 數(shù)列 {}na 滿足1 1 154, 3n n na S S a??? ? ?， 求 na （答： ?14, 13 4 , 2nn na n??? ?） ： （ 1） 公式法 ： ①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式， 特別聲明 ： 運用等比數(shù)列求和公式，務必檢查其公比與 1 的關系，必要時需分類討論 .；③常用公式： 11 2 3 ( 1 )2n n n? ? ? ? ? ?，2 2 2 11 2 ( 1 ) ( 2 1 )6n n n n? ? ? ? ? ?， 3 3 3 3 2( 1 )1 2 3 [ ]2nnn ?? ? ? ? ?.如（ 1） 等比數(shù)列 {}na 的前 n 項和 Sｎ ＝ 2ｎ －１， 則 2232221 naaaa ???? ?＝ _____（答： 413n? ）； （ 2） 計算機是將信息轉換成二進制數(shù)進行處理的。 如 已知數(shù)列 ?,3219,1617,815,413試寫出其一個通項公式： __________（答：11212n nan ?? ? ?） ⑵ 已知 nS （即 12 ()na a a f n? ? ? ?）求 na ，用作差法： ? 11, ( 1), ( 2 )nnnSna S S n??? ??。只要已知這 5 個元素中的任意 3 個，便可求出其余 2 個，即知 3 求2； （ 2） 為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設為?， 22 , , , ,aaa aq aqqq?（公比為 q ）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設為? 33 , aqaqqaqa，?，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設，且公比為 2q 。（答：前 13 項和最大，最大值為 169）； （ 2） 若 {}na 是等差數(shù)列，首項 1 0,a? 2020 2020 0aa??， 2020 2020 0aa??，則使前 n 項和 0nS? 成立的最大正整數(shù) n 是 （答： 4006） (8)如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù) . 注意 ：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究 nmab? . ： （ 1） 等比數(shù)列的判斷方法： 定義法 1 (nna qqa? ? 為 常 數(shù) ）， 其中 0, 0nqa??或 11nnaa??? ( 2)n? 。 提醒 ： （ 1） 等差數(shù)列的通項公式及 前 n 和公式 中，涉及到 5 個元素： 1a 、 d 、 n 、 na 及 nS ，其中 1a 、 d 稱作為基本元素。 如 已知 )xf 是定義在 R 上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為 T，則 ?? )2( Tf ____（答： 0） （ 2） 利用函數(shù)的性質（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）進行演繹探究 ： 如（ 1） 設函數(shù) ( )( )f x x N? 表示 x 除以 3 的余數(shù)，則對任意的 ,x y N? ，都有 A、 ( 3) ( )f x f x?? B、( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ? C、 (3 ) 3 ( )f x f x? D、 ( ) ( ) ( )f xy f x f y? （答： A） ； （ 2） 設 )(xf 是定義在實數(shù)集 R 上的函數(shù)，且滿足 )()1()2( xfxfxf ???? ，如果 23lg)1( ?f ， 15lg)2( ?f ，求 )2020(f （答： 1）； （ 3） 如設 )(xf 是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 )()2( xfxf ??? ，證明：直 7 線 1?x 是函 數(shù) )(xf 圖象的 一條 對稱 軸； （ 4 ） 已知定 義域為 R 的函 數(shù) )(xf 滿足)4()( ???? xfxf ，且當 2?x 時， )(xf 單調(diào)遞增。 （ 1） 類比“三角函數(shù)圖像”得 ： ① 若 ()y f x? 圖像有兩條對稱軸 , ( )x a x b a b? ? ?，則 ()y f x? 必是周期函數(shù)，且一周期為 2| |T a b??； ② 若 ()y f x? 圖像有兩個對稱中心 ( , 0 ), ( , 0 )( )A a B b a b?，則 ()y f x? 是周期函數(shù)，且一周期為 2| |T a b??； ③ 如果函數(shù) ()y f x? 的圖像有一個對稱中心 ( ,0)Aa 和一條對稱軸 ()x b a b??，則函數(shù)()y f x? 必是周期函數(shù)，且一周期為 4| |T a b??； 如 已知定義在 R 上的函數(shù) ()fx是以 2 為周期的奇函數(shù)，則方程 ( ) 0fx? 在 [ 2,2]? 上至少有__________個實數(shù)根 （答： 5） （ 2） 由周期函數(shù)的定義 “函數(shù) ()fx滿足 ? ? ? ?xafxf ?? ( 0)a? ，則 ()fx是周期為 a 的周期函數(shù)” 得 ： ① 函數(shù) ()fx滿足 ? ? ? ?xafxf ??? ，則 ()fx是周期為 2a 的 周期函數(shù)； ② 若 1( ) ( 0)()f x a afx? ? ?恒成立，則 2Ta? ； ③ 若 1( ) ( 0)()f x a afx? ? ? ?恒成立，則 2Ta? . 如 (1) 設 )(xf 是 ),( ???? 上的奇函數(shù)， )()2( xfxf ??? ，當 10 ??x 時， xxf ?)( ，則 )(f 等于 _____(答 ： ? )； (2)定義在 R 上的偶函數(shù) ()fx滿足 ( 2) ( )f x f x?? ，且在[ 3, 2]?? 上是減函數(shù)，若 ,??是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則 (sin ), (cos )ff??的大小關系為_________(答 ： (sin ) (co s )ff? )； （ 3） 已知 ()fx是偶函數(shù)，且 (1)f =993， ()gx= ( 1)fx?是 奇 函數(shù) ，求 (2020)f 的值 ( 答 ： 993) ； （ 4 ） 設 ??fx 是 定 義 域為 R 的函 數(shù)， 且? ? ? ?21f x f x??????? ?1 fx?? ，又 ? ?2 2 2f ?? ，則 ? ?2020f = (答 ： 222? ) 、對數(shù)式 ： m n mnaa? ， 1mn mna a? ? ， 0 1a ? ， log 1 0a ? ， log 1aa? ， lg2 lg5 1??， log lne xx? ，l og ( 0 , 1 , 0)b aa N N b a a N? ? ? ? ? ?， loga NaN? ， loglog logcacbb a? ， log logm n aa nbbm? 。 如 己知函數(shù) 33( ) , ( )2 3 2xf x xx???? ,若 )1( ?? xfy 的圖像是 1C ,它關于直線 yx? 對稱圖像是 22,CC 關于原點對稱的圖像為 33, CC 則 對應的函數(shù)解析式是___________（答： 221xy x??? ? ）； ⑥ 曲線 ( , ) 0f x y ? 關于點 (, )ab 的對稱曲線的方程為 (2 , 2 ) 0f a x b y? ? ?。 （ 2） 特別提醒： 求單調(diào)區(qū)間時， 一是勿忘定義域， 如 若函數(shù) 2( ) log ( 3 )af x x ax? ? ?在區(qū)間( , ]2a?? 上為減函數(shù)，求 a 的取值范圍（答： (1,2 3) ）；二是 在多個單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號 “ ” 和 “ 或 ” ；三是單調(diào)區(qū)間應該用區(qū)間表示，不能用 集合或不等式 表示． （ 3）你注意到函數(shù) 單調(diào)性與奇偶性的逆用 了嗎 ?（①比較大?。虎诮獠坏仁?；③求參數(shù)范圍 ） .如 已知奇函數(shù) )(xf 是定義在 )2,2(? 上的減函數(shù) ,若 0)12()1( ???? mfmf ，求實數(shù) m 的取值范圍。 如 判斷11( ) ( )2 1 2xf x x??? 的奇偶性 ___.（ 答： 偶函數(shù)） ③ 圖像法：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關于 y 軸對稱 。 如 單調(diào)遞增函數(shù))(xf 滿足條件 )3( ?axf = x ，其中 a ≠ 0 ，若 )(xf 的反函數(shù) )(1 xf? 的定義域為 ?????? aa 4,1 ，則)(xf 的定義域是 ____________（ 答： [4,7]） . ② 函數(shù) ()y f x? 的圖象與其反函數(shù) 1()y f x?? 的圖象關于直線 yx? 對稱， 注意 函數(shù)()y f x? 的圖象與 1()x f y?? 的圖象相同。（答：21( ) 2 12f x x x? ? ?） （ 2） 代換（配湊）法 ―― 已知形如 ( ( ))f g x 的表達式，求 ()fx 的表達式。 （ 6） 判別式法 ――對分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用 ，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先 通過 部分分式后 ，再 利用均值不等式 ： ①2by kx? ?型，可直接用不等式性質， 如 求232y x? ?的值域（ 答： 3(0,]2 ） ②2 bxy x mx n? ??型，先化簡，再用均值不等式， 如（ 1） 求21 xy x? ?的值域（答： 1( , ]2?? ）；（ 2） 求函數(shù) 23xy x ?? ? 的值域（ 答： 1[0,]2 ） ③ 22x m x ny x mx n?????型，通常用判別式法； 如 已知函數(shù) 23 2 8lo g 1m x x ny x??? ?的定義域為 R，值域為 [0， 2]，求常數(shù) ,mn的值（答： 5mn??） ④ 2x m x ny mx n????? ? 型，可用判別式法或均值不等式法， 如 求 2 11xxy x??? ? 的值域（答 ：( , 3] [1, )?? ? ??） （ 7） 不等式法 ――利用基本不等式 2 ( , )a b ab a b R ?? ? ?求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。構成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應法則。方程 2( ) 0 ( 0 )f x a x b x c a? ? ? ? ?在 ),( ??k 上有兩根、在( , )mn 上有兩根、在 ),( k?? 和 ),( ??k 上各有一根的充要條件分別是什么？ 0( ) 0( ) 02fmfnbman?????? ????????、 ( ) 0fk? ）。 如（ 1）給出下列命題： ① 實數(shù) 0?a 是直線 12 ?? yax 與 322 ?? yax 平行的充要條件； ② 若0, ?? abRba 是 baba ??? 成立的充要條件； ③ 已知 Ryx ?, ，“若 0?xy ，則 0?x 或0?y ”的逆否命題 是“若 0?x 或 0?y 則 0?xy ”； ④ “若 a 和 b 都是偶數(shù)，則 ba? 是偶數(shù)”的否命題是假命題 。其中正確的是 __________（ 答： ⑴⑶ ） 。 如 集合{ | 1 0}A x ax? ? ?， ? ?2| 3 2 0B x x x? ? ? ?，且 A B B? ，則實數(shù) a ＝ ______.（ 答： 10,1,2a? ） n 個元素的有限集合 M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為，n2 ，12?n ，12?n .22 ?n 如 滿足 {1, 2 } {1, 2 , 3 , 4 , 5}M? ?? 集合 M 有 ______個。（答： 8）（ 2） 設 {( , ) | , }U x y x R y R? ? ?，{( , ) | 2 0 }A x y x y m? ? ? ?， {( , ) |B x y x y n? ? ?0}? ，那么點 )()3,2( BCAP u?? 的充要條件是 ________（答： 5,1 ??? nm ）；（ 3）非空集合 }5,4,3,2,1{?S ，且滿足“若 Sa? ，則Sa??6 ”，這樣的 S 共有 _____個 （答： 7） AB?? 時 ，你是否注意到“極端”情況： A?? 或 B?? ；同樣當 AB? 時，你是否忘記 ??A 的情形？要注意到 ? 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 。 如 在下列說法中： ⑴ “ p且 q ”為真是“ p 或 q ”為真的充分不必要條件； ⑵ “ p 且 q ”為假是“ p 或 q ”為真的充分不必要條件； ⑶ “ p 或 q ”為真是“非 p ”為假的必要不充分條件； ⑷ “非 p ”為真是“ p 且 q ”為假的必要不充分條件。從集合角度解釋， 若 BA? ，則 A是 B 的充分條件；若 BA? ，則 A 是 B 的必要條件；若 A=B，則 A 是 B 的充要條件。對于多項式方程、不等式、函數(shù)的最高次項中含有參數(shù)時，你是否注意到同樣的情形？ 如：（ 1） ? ? ? ?22 2 2 1 0a x a x? ? ? ? ?對一切 Rx? 恒成立，則 a 的取值范圍是 ____