【正文】 42aa aa? + 233aa =23 54321 a aaaaa ????=238a=2. ∴ a23 =4.∴ a3=177。 (21 )n1=(21 )n. 12 分 方法二 由（ 1） bn=(21 )浙江理， 6） 已知 {an}是等比數(shù)列 ,a2=2,a5=41,則 a1a2+a2a3+? +anan+1等于 （ ） （ 14n） B. 16（ 12n） C.332（ 14n） D.332（ 12n） 答案 C 例 1 已 知 {an}為等比數(shù)列， a3=2， a2+a4=320，求 {an}的通項公式 . 解 方法一 設(shè)等比數(shù)列 {an}的公比為 q，則 q≠ 0， a =qa3=q2， a4=a3q=2q， ∴q2+2q=320. 解得 q1=31， q2=3. ①當 q=31時， a1=18， ∴ an=18 (31)n1=1318?n=2 33n. ②當 q=3時， a1=92， ∴ an=92 3n1=2 3n3. ∴ an=2 33n或 an=2 3n3. 方法二 由 a3=2,得 a2a4=4， 又 a2+a4=320， 則 a2， a4為方程 x2320x+4=0的兩根， 解得???????63242aa 或????? ??32642aa . ①當 a2=32時 ,q=3,an=a3 等比數(shù)列及其前 n 項和 基礎(chǔ)自測 1.（ 2020 a4=117,a2+a5=22. （ 1）求通項 an。② ,得mm1?=192216，解得 ,m=8, ∴數(shù)列共有 2m+1=17項，把 m=8代入②，得 a9=24, 又∵ a1+a17=2a9， ∴ a17=2a9a1=47，且 d=917 917??aa=823. an=1+(n1)823=81523?n(n∈ N*,n≤ 17). Sn是等差數(shù)列 {an}的前 n項和，已知31S3，41S4的等比中項為51S5。大連模擬 ）在等差數(shù)列 {an}中，若 a4+a6+a8+a10+a12=120,則 a931a11的值為 （ 答案 C {an}的前 n項和滿足 S20=S40，下列結(jié)論中正確的是 （ Sn Sn =0 =0 答案 D 二、填空題 7.（ 2020 n2+ ?????? 12021a (35) =65n2+6125n =65 2225?????? ?n+241253. 8 分 ∵ n∈ N+,∴當 n=12或 13時， Sn有最大值， 且最大值為 S12=S13=130. 12 分 方法三 同方法一得 d=35. 4分 又由 S10=S15,得 a11+a12+a13+a14+a15=0. 8 分 ∴ 5a13=0,即 a13=0. 10 分 ∴當 n=12或 13時， Sn有最大值， 且最大值為 S12=S13=130. 12分 {an},{bn}滿足 bn=n naaaa n???? ???? ? ?321 32 321，若 {bn}為等差數(shù)列，求證： {an}也為等差數(shù)列 . 證明 由題意有 a1+2a2+3a3+? +nan=2 )1( ?nnbn， ① 從而有 a1+2a2+3a3+? +(n1)an1=2 )1( ?nnbn1(n≥ 2), ② 由① ②，得 nan=2 )1( ?nnbn2 )1( ?nnbn1, 整理得 an=2 1??? nn bbnd, 其中 d為 {bn}的公差 (n≥ 2). 從而 an+1an=2)1( 1 nn bbdn ??? ?2 1??? nn bbnd =22 dd?= d23(n≥ 2). 又 a1=b1， a2=22 12 bbd ?? ∴ a2a1=22 12 bbd ??b1=22 12 bbd ??=23d. 綜上， an+1an=23d（ n∈ N*） . 所以 {an}是等差數(shù)列 . 2.（ 2020全國Ⅰ理， 5）已知等差數(shù)列 {an}滿足 a2+a4=4， a3+a5=10，則它的前 10項的和 S10等于 （ 答案 C {an}和 {bn}的前 n 項和分別為 An和 Bn，且3457 ??? nnBAnn,則使得nnba為整數(shù)的正整數(shù) n 的個數(shù)是（ 答案 D a,b,m,n和 x,n,y,m均成等差數(shù)列，則 2b+y2a+x的值為 （ D. 不確 答案 C 例 1 已知數(shù)列 {an}滿足 a1=4,an=414?na(n≥ 2),令 bn=21?na.求證：數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列 . 證明 ∵ an+12=2na4=nnaa )2(2 ? ∴211??na=)2(2 ?nnaa=)2(2 22???nnaa=21+21?na ∴211??na21?na=21， ∴ bn+1bn=21. ∴數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列 . 例 2 在等差數(shù)列 {an}中， （ 1）已知 a15=33,a45=153,求 a61。廣東理， 2） 記等差數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn，若 a1=21， S4=20，則 S6等于 ( ) 答案 D {an}是等差數(shù)列， a10,a2 007+a2 0080,a2 007(2）求 a2 008. （ 1） 證明 an+3=121?na=1111 1?? na=1=nnaa 11111??? =1111?? nnaa=1111???n nna aa=1na11111?? 111??na=1(1an)=an.∴ an+3=an. （ 2） 解 由（ 1）知數(shù)列 {an}的周期 T=3， a1=21， a2=1， a3=∵ a2 008=a3 669+1=a1=21.∴ a2 008=21. f(x)=x2ax+a (x∈ R)同時滿足：①不等式 f(x)≤ 0的解集有且只有一個元素；②在定義域內(nèi)存在 0﹤ x1﹤ x2,使得不等式 f(x1)＞ f(x2)成立 .設(shè)數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn=f（ n） . （ 1）求函數(shù) f(x)的表達式； （ 2）求數(shù)列 {an}的通項公式 . 解 （ 1）∵ f(x)≤ 0的解集有且只有一個元素， ∴Δ =a24a=0? a=0 或 a=4， 當 a=4時，函數(shù) f(x)=x24x+4在（ 0， 2）上遞減， 故存在 0＜ x1＜ x2,使得不等式 f(x1)＞ f(x2)成立， 當 a=0時， 函數(shù) f(x)=x2在（ 0,+∞）上遞增， 故不存在 0﹤ x1﹤ x2,使得不等式 f(x1)﹥ f(x2)成立， 綜上，得 a=4,f(x)=x24x+4. （ 2）由（ 1）可知 Sn=n24n+4,當 n=1時， a1=S1=1, 當 n≥ 2時， an=SnSn1=(n24n+4)［ (n1)24(n1)+4］ =2n5, ∴ an=??? ?? ? )2(52 )1(1 nn n. 167。 qn2=21沈陽模擬） 數(shù)列 {an}滿足 an+1=????????????,121,12,210,2nnnnaaaa a1=53，則數(shù)列的第 2 008項為 . 答案 54 8.（ 2020 an=n2，則 a3+a5等于 （ ） A.1661 B.925 C.1625 D.1531 答案 A 1,58， 715，924，?的一個通項公式 an是 （ ） A. 12)1( 2?? nnn B.1)2()1( ??? nnnn C. )1(2 1)2()1( 2? ??? nnn D. 12 )2()1( ??? nnnn 答案 D 、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第 n 個圖案中需用黑色瓷磚 塊（用含 n的代數(shù)式表示） （ ） +1 +8 答案 D 5.（ 2020 a3 an1=0. ∴ an=2 442 2 ??? nn，又 an＞ 0，∴ an= 12?n n. （ 2） 證明 ∵ an＞ 0，且 an= 12?n n, ∴nnaa1?=nnnn??????1)1(1)1(22 =)1(1)1(122??????nnnn ＜ 1. ∴ an+1＜ {an}為遞減數(shù)列 . 列 {an}中， Sn表示前 n項和且 2 nS =an+1，求 an. 解 ∵ 2 nS =an+1, ∴ Sn=41(a2n +2an+1), ∴ Sn1=41(a21?n +2an1+1), ∴當 n≥ 2時， an=SnSn1 =41［（ a2n a21?n ） +2（ anan1）］， 整理可得：（ an+an1）（ anan12） =0， ∵ an＞ 0，∴ anan1=2， 當 n=1時， a1=1, ∴ {an}是以 1為首項， 2為公差的等差數(shù)列 . ∴ an=2n1 (n∈ N*). 一、選擇題 1， 2， 2， 3， 3， 3， 4， 4， 4， 4， 5，?的第 100項是 （ ） 答案 A {an}中， a1=1,對于所有的 n≥ 2， n∈ N*都有 a1n2112 12??nn. （ 5）將數(shù)列各項改寫為39，399，3999，39999，?，分母都是 3，而分子分別是 101,1021,1031,1041,? , 所以 an=31(10n1). 例 2 已知數(shù)列的通項公式為 an=122?nn. （ 1） ？ （ 2）判斷此數(shù)列的增減性 . 解 （ 1）假設(shè) ，則存在正整數(shù) n,滿足122?nn=，∴ n2=+. ∵ n=7時成立，∴ . （ 2） an+1an=11)1( )1( 2 22 2 ????? nnnn =)1](1)1[( 12 2