【導(dǎo)讀】①數(shù)列可以看成一個定義在N*（或它的有限子集{1，2，3，?，n}）上的函數(shù)；②數(shù)列的項數(shù)是有限的；③數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點；④數(shù)列的通項公式是惟一的.，nn，nn)(13為偶數(shù)為奇數(shù)。3，33，333，3333，?解各項減去1后為正偶數(shù)，所以an=2n+1.項到第6項可見，分母分別由奇數(shù)7，9，11，13組成，而分子則是32+1，42+1，52+1，62+1，按照這?！喈?dāng)n≥2時，an=-2SnSn-1=-2·5，55，555，5555，55555，?數(shù)列的各項都具有周期性，聯(lián)想基本數(shù)列1，0，-1，0，?f=2x-2-x，數(shù)列{an}滿足f=-2n.，又an＞0，∴an=12?∴an+1＜{an}為遞減數(shù)列.列{an}中，Sn表示前n項和且2nS=an+1，求an.

　　

【正文】 數(shù)列 {an}的通項公式 . 解 已知遞推式可化為11?nana1=121?n, ∴21a11a=21,31a21a=321,41a31a=421,? na111?na=n21, 將以上 (n1)個 式子相加得 na111a=21+321+421+? +n21, ∴na1=211)211(21?? n =1n21,∴ an=122?nn. 例 2 求和： Sn=a1+22a+33a+? +nan. 解 （ 1） a=1時， Sn=1+2+? +n=2 )1( ?nn. （ 2） a≠ 1時， Sn=a1+22a+33a+? +nan ① a1Sn=21a+32a+? +nan1?+1?nan ② 由① ②得 ???????a11Sn=a1+21a+31a+? +na11?nan =aaa n11)11(1?? 1?nan,∴ Sn=2)1( )1()1( ? ??? aa anaa nn. 綜上所述， Sn=????????? ?????)1()1( )1()1()1(2 )1(2 aaaanaaannnn. 例 3 （ 12分）已知數(shù)列 {an}中， a1=1，當(dāng) n≥ 2時，其前 n項和 Sn滿足 S2n =an(Sn21). （ 1）求 Sn的表達式； （ 2）設(shè) bn=12?nSn，求 {bn}的前 n項和 Tn. 解 （ 1）∵ S2n =an?????? ?21nS， an=SnSn1（ n≥ 2）， ∴ S2n=（ SnSn1）?????? ?21nS, 即 2Sn1Sn=Sn1Sn， ① 3分 由題意 Sn1 Sn≠ 0， ①式兩邊同除以 Sn1 Sn，得nS111?nS=2， ∴數(shù)列??????nS1是首項為11S=11a=1， 公差為 2的等差數(shù)列 . 4 分 ∴nS1=1+2（ n1） =2n1，∴ Sn=121?n. 6 分 （ 2）又 bn=12?nSn=)12)(12( 1 ?? nn =21 ?????? ??? 12 112 1 nn， 8分 ∴ Tn=b1+b2+? +bn =21 ?????? ?????? ??????????? ???????? ? 12 112 15131311 nn? =21 ?????? ?? 1211 n=12?nn. 12 分 1.（ 2020江西理， 5） 在數(shù)列 {an}中， a1=2， an+1=an+ln ???????n11，則 an等于 （ ） +lnn +(n1)lnn +nlnn +n+lnn 答案 A 2.（ 2020全國Ⅰ文， 19） 在數(shù)列 {an}中， a1=1， an+1=2an+2n. （ 1）設(shè) bn=12?nna.證明：數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列； （ 2）求數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn. （ 1） 證明 ∵ an+1=2an+2n，∴nna21?=12?nna+1， ∵ bn=12?nna，∴ bn+1=bn+1，即 bn+1bn=1,b1=1, 故數(shù)列 {bn}是首項為 1，公差為 1的等差數(shù)列 . (2)解 由（ 1）知 ,bn=n,an=n2n1, 則 Sn=1 20+2 21+? +(n1) 2n2+n 2n1 2Sn=1 21+2 22+? +(n1) 2n1+n 2n 兩式相減，得： Sn=n 2n1 2021? 2n1=n 2n2n+1. 3.（ 2020 湖州模擬 ）已知數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn=an2+bn+c（ n∈ N*），且 S1=3,S2=7,S3=13, （ 1）求數(shù)列 {an} （ 2）求數(shù)列?????? ?11nnaa的前 n項和 Tn. 解 （ 1）由已知有??????????????,1339,724,3cbacbacba 解得????????,1,1,1cba 所以 Sn=n2+n+1. 當(dāng) n≥ 2 an=SnSn1=n2+n+1［ (n1)2+(n1)+1］ =2n, 所以 an=??? ?? .2,2 ,1,3 nn n (2)令 bn=11?? nn aa，則 b1=121121 ?aa. 當(dāng) n≥ 2時， bn= )111(41)1(22 1 ?????? nnnn. 所以 Tn=b2+? +bn =)1(8 1)11141313121(41 ?????????? nnnn?. 所以 Tn=)1(24 15)1(8 1121 ?????? nnnn (n∈ N*). 一、選擇題 1.（ 2020 成都市第一次診斷性檢測 ）已知等差數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn（ n∈ N*），且 S3=3， S7=7，那么公差 d等于（ 答案 A {an}的通項公式 an=11 ?? nn，若前 n項的和為 10，則項數(shù)為 （ ） 答案 C {an}的前 n項和為 Sn，若 an=)1(1?nn，則 S5等于 （ ） B.65 C.61 D.301 答案 B 1， 1+2， 1+2+4，?， 1+2+22+? +2n1，?的前 n項和 Sn＞ 1 020，那么 n的最小值是 （ ） 答案 D 2n項和為 (2n)3,且前 n個偶數(shù)項的和為 n2（ 4n+3），則它的前 n個奇數(shù)項的和為 （ ） A. 3n2（ n+1 （ 4n3 D.21n3 答案 B +916+? +(1)n+1n2等于 （ ） A.2 )1( ?nn 2 )1( ?nn C.2 )1()1( 1 ?? ? nnn 答案 C 二、填空題 7.（ 2020廈門模擬） 已知數(shù)列 {an}中 ,a1=20,an+1=an+2n1,n∈ N*,則數(shù)列 {an}的通項公式 an= . 答案 n22n+21 8.（ 2020大連模擬） 若數(shù)列 {an}滿足 a1+3a2+32a3+? +3n1an=31?n(n∈ N*),則 an= . 答案 ?????????2,311,32nnn 三、解答題 {an}的前 n項和， an=)12)(12( )2( 2 ?? nn n，求 Sn. 解 ∵ an=)12)(12( )2( 2 ?? nn n=)12)(12( 11)2( 2 ?? ??nnn =1+)12)(12( 1 ?? nn =1+21 ?????? ??? 12 112 1 nn， ∴ Sn=n+21（ 131+3151+5171+? +121?n121?n） =n+21 ?????? ?? 1211 n=n+12?nn=12 22 2??n nn. 10.（ 2020江西文， 19） 等差數(shù)列 {an}的各項均為正數(shù)， a1=3,前 n項和為 Sn， {bn}為等比數(shù)列， b1=1，且b2S2=64,b3S3=960. （ 1）求 an與 bn。 (2)求nSSS 111 21 ??? ?. 解 (1)設(shè) {an}的公差為 d、 {bn}的公比為 q，則 d為正數(shù)， an=3+（ n1） d， bn=qn1， 依題意有????? ??? ??? ,960)39( ,64)6( 233 22 qdbS qdbS 解得?????,8,2qd或??????????.340,56qd （舍去） . 故 an=3+2(n1)=2n+1,bn=8n1. （ 2） Sn=3+5+? +(2n+1)=n(n+2), 所以nSSS 111 21 ??? ? =311?+421?+531?+? +)2(1?nn = ?????? ????????? 2115131412131121 nn? = ?????? ????? 211121121 nn=43)2)(1(2 32 ?? ?nn n. {an}的前 n項和 Sn=2n2， {bn}為等比數(shù)列，且 a1=b1， b2（ a2a1） =b1. （ 1）求數(shù)列 {an}和 {bn}的通項 公式； （ 2）設(shè) =nnba,求數(shù)列 {}的前 n項和 Tn. 解 （ 1）由于 Sn=2n2,∴ n=1時， a1=S1=2； n≥ 2時， an=SnSn1=2n22(n1)2=4n2, 當(dāng) n=1時也適合 . ∴ an=4n2，∴ b1=a1=2， b2（ 62） =b1=2， ∴ b2=21，∴ q= ,4112 ?bb∴ bn=2 ??????41n1. （ 2） =nnba=（ 2n1） 4n1， ∴ Tn=1+3 4+5 42+? +（ 2n1） 4n1， ∴ 4Tn=4+3 42+? +（ 2n3） 4n1+（ 2n1） 4n， ∴ 3Tn=1+2 4+2 42+? +2 4n1（ 2n1） 4n=1+24144??n（ 2n1） 4n =365 n? 4n35，∴ Tn=95965 n? 4n. {an}的前 n項和為 Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈ N*). （ 1）求數(shù)列 {an}的通項 an。 （ 2）求數(shù)列 {nan}的前 n項和 Tn. 解 （ 1）∵ an+1=2Sn,∴ Sn+1Sn=2Sn,∴nnSS1?=3. 又∵ S1=a1=1,∴數(shù)列 {Sn}是首項為 公比為 3的等比數(shù)列， Sn=3n1(n∈ N*).當(dāng) n≥ 2時， an=2Sn1=2 3n2(n≥ 2), ∴ an=????? ?? ?? .2,32 ,1,1 2 nnn （ 2） Tn=a1+2a2+3a3+? +nan. 當(dāng) n=1時， T1=1。 當(dāng) n≥ 2時， Tn=1+4 30+6 31+? +2n 3n2, ① 3Tn=3+4 31+6 32+? +2n 3n1,