【正文】 32+? +2n 30+6 4n. {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈ N*). （ 1）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng) an。 4n=1+2 4n， ∴ 3Tn=1+2 42+? +（ 2n1） (2)求nSSS 111 21 ??? ?. 解 (1)設(shè) {an}的公差為 d、 {bn}的公比為 q，則 d為正數(shù)， an=3+（ n1） d， bn=qn1， 依題意有????? ??? ??? ,960)39( ,64)6( 233 22 qdbS qdbS 解得?????,8,2qd或??????????.340,56qd （舍去） . 故 an=3+2(n1)=2n+1,bn=8n1. （ 2） Sn=3+5+? +(2n+1)=n(n+2), 所以nSSS 111 21 ??? ? =311?+421?+531?+? +)2(1?nn = ?????? ????????? 2115131412131121 nn? = ?????? ????? 211121121 nn=43)2)(1(2 32 ?? ?nn n. {an}的前 n項(xiàng)和 Sn=2n2， {bn}為等比數(shù)列，且 a1=b1， b2（ a2a1） =b1. （ 1）求數(shù)列 {an}和 {bn}的通項(xiàng) 公式； （ 2）設(shè) =nnba,求數(shù)列 {}的前 n項(xiàng)和 Tn. 解 （ 1）由于 Sn=2n2,∴ n=1時(shí)， a1=S1=2； n≥ 2時(shí)， an=SnSn1=2n22(n1)2=4n2, 當(dāng) n=1時(shí)也適合 . ∴ an=4n2，∴ b1=a1=2， b2（ 62） =b1=2， ∴ b2=21，∴ q= ,4112 ?bb∴ bn=2 成都市第一次診斷性檢測(cè) ）已知等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn（ n∈ N*），且 S3=3， S7=7，那么公差 d等于（ 答案 A {an}的通項(xiàng)公式 an=11 ?? nn，若前 n項(xiàng)的和為 10，則項(xiàng)數(shù)為 （ ） 答案 C {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，若 an=)1(1?nn，則 S5等于 （ ） B.65 C.61 D.301 答案 B 1， 1+2， 1+2+4，?， 1+2+22+? +2n1，?的前 n項(xiàng)和 Sn＞ 1 020，那么 n的最小值是 （ ） 答案 D 2n項(xiàng)和為 (2n)3,且前 n個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的和為 n2（ 4n+3），則它的前 n個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的和為 （ ） A. 3n2（ n+1 （ 4n3 D.21n3 答案 B +916+? +(1)n+1n2等于 （ ） A.2 )1( ?nn 2 )1( ?nn C.2 )1()1( 1 ?? ? nnn 答案 C 二、填空題 7.（ 2020 2n1 21+2 20+2 Sn≠ 0， ①式兩邊同除以 Sn1 2n1. 167。 3n1， ∴ bn=a2n1+a2n=5 (21)n1=(21)n, Sn=31 ???????? ???????? 121 n. {an}中， a1=2,a2=3,且 {anan+1}是以 3為公比的等比數(shù)列，記 bn=a2n1+a2n (n∈ N*). (1)求 a3,a4,a5,a6的值； （ 2）求證： {bn}是等比數(shù)列 . （ 1） 解 ∵ {anan+1}是公比為 3的等比數(shù)列， ∴ anan+1=a1a2 廣西河池市模擬 ）一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的 2倍，它的首項(xiàng)為 1，且中間兩項(xiàng)的和為 24，則此等比數(shù)列的公比為 ,項(xiàng)數(shù)為 . 答案 2 8 8.（ 2020 an+12%(1an)=54an+253,即 an+153=54(an53), ∴?????? ?53na是以 51為首項(xiàng)，54為公比的等比數(shù)列， 則 an+1=5351 ??????54n, ∵ an+1＞ 50%,∴5351 ??????54n＞21,∴ ??????54n ＜21,n＞54glo 21 = 2lg31 2lg? =3. 則當(dāng) n≥ 4時(shí)，不等式 ??????54n ＜21恒成立 .所以至少需要 4年才能使綠化面積超過(guò) 50%. 一、選擇題 1.（ 2020 3t+1+4. 即tn=3t+1+2,t=1,2,3,? . 3.（ 1）在等比數(shù)列 {an}中， a1+a2=324， a3+a4=36，求 a5+a6的值； （ 2）在等比數(shù)列 {an}中，已知 a3a4a5=8，求 a2a3a4a5a6的值 . 解 （ 1）由等比數(shù)列的性質(zhì)知 ,a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比數(shù)列，則 (a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6). ∴ a5+a6=4. （ 2）∵ a3a5=a24 ，∴ a3a4a5=a34 =8，∴ a4=2， 又∵ a2a6=a3a5=a24 ，∴ a2a3a4a5a6=a54 =32. “沙塵暴”，西部某地區(qū)政府經(jīng)過(guò)多年努力，到 2020年底，將當(dāng)?shù)厣衬G化了 40%，從 2020年開(kāi)始，每年將出現(xiàn)這種現(xiàn)象：原有沙漠面積的 12%被綠化，即改造為綠洲（被綠化的部分叫綠洲），同時(shí)原有綠洲面積的 8%又被侵蝕為沙漠，問(wèn)至少經(jīng)過(guò)幾年的綠化，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過(guò) 50%？（可參考數(shù)據(jù) lg2=，最后結(jié)果精確到整 數(shù)） . 解 設(shè)該地區(qū)總面積為 1， 2020年底綠化面積為 a1=52，經(jīng)過(guò) n年后綠洲面積為 an+1，設(shè) 2020年底沙漠面積為 b1，經(jīng)過(guò) n年后沙漠面積為 bn+1，則 a1+b1=1， an+bn=1. 依題意 an+1由兩部分組成：一部分是原有綠洲 an減去被侵蝕的部分 8% 2. 例 4 某林場(chǎng)有荒山 3 250 畝，每年 春季在荒山上植樹(shù)造林，第一年植樹(shù) 100畝，計(jì)劃每年比上一年多植樹(shù) 50畝（全部成活） （ 1）問(wèn)需要幾年，可將此山全部綠化完？ （ 2）已知新種樹(shù)苗每畝的木材量是 2立方米，樹(shù)木每年自然增長(zhǎng)率為 10%，設(shè)荒山全部綠化后的年底的木材總量為 S約為多少萬(wàn)立方米？（精確到 ） 解 （ 1）每年植樹(shù)的畝數(shù)構(gòu)成一個(gè)以 a1=100， d=50的等差數(shù)列，其和即為荒山的總畝數(shù) . 設(shè)需要 n年可將此山全部綠化，則 Sn=a1n+2n(n1)d=100n+2 )1( ?nn 50=3 250. 解此方程，得 n=10（年） . （ 2）第一年種植的樹(shù)在第 10 年后的木材量為 2a1（ 1+） 10，第二年種植的樹(shù)在第 10 年后的木材量為2a2（ 1+） 9， ??， 第 10年種植的樹(shù)在年底的木材量為 2a10(1+), 第 10年后的木材量依次構(gòu)成數(shù)列 {bn}，則其和為 T=b1+b2+? +b10 =200 +300 +? +1 100 ≈ （萬(wàn)立方米） . 答 需要 10年可將此山全部綠化， 10年后木材總量約為 . 知等比數(shù)列 {an}中， a3=23,S3=421,求 a1. 解 當(dāng) q=1時(shí)， a1=a2=a3=23,滿足 S3=421, 當(dāng) q≠ 1時(shí)，依題意有???????????21411233121q)q(aqa , 解得 q2=41,a1=： a1=23或 a1=6. {an}是等差數(shù)列， a5=6. （ 1）當(dāng) a3=3時(shí)，請(qǐng)?jiān)跀?shù)列 {an}中找一項(xiàng) am,使得 a3,a5,am成等比數(shù)列； （ 2）當(dāng) a3=2 時(shí)，若自然數(shù) n1,n2,? ,nt,? （ t∈ N* ）滿足 5＜ n1 ＜ n2 ＜?＜ nt ＜?使得a3,a5,1na,2na,? ,tna,?是等比數(shù)列，求數(shù)列 {nt}的通項(xiàng)公式 . 解 （ 1）設(shè) {an}的公差為 d,則由 a5=a3+2d, 得 d=236?=23,由 ama3=25a , 即 3?????? ??? 23)3(3 m=62，解得 m=9. 即 a3,a5,a9成等比數(shù)列 . （ 2）∵ a3=2， a5=6，∴ d=2 35 aa?=2， ∴當(dāng) n≥ 5時(shí)， an=a5+(n5)d=2n4, 又 a3,a5, 1na,2na,? ,tna,?成等比數(shù)列， 則 q=35aa=26=3,tna=a5 qn3=2 3n3. ②當(dāng) a2=6時(shí)， q=31,an=2 33n ∴ an=2 3n3或 an=2 33n. 例 2（ 12分）已知數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，且對(duì)任意 n∈ N*有 an+Sn=n. （ 1）設(shè) bn=an1,求證：數(shù)列 {bn}是等比數(shù)列； （ 2）設(shè) c1=a1且 =anan1 (n≥ 2)，求 {}的通項(xiàng)公式 . （ 1） 證明 由 a1+S1=1及 a1=S1得 a1=21. 又由 an+Sn=n及 an+1+Sn+1=n+1 得 an+1an+an+1=1,∴ 2an+1=an+1. ∴ 2(an+11)=an1,即 2bn+1=bn. ∴數(shù)列 {bn}是以 b1=a11=21為首項(xiàng)， 21為公比的等比數(shù)列 . 6分 （ 2） 解 方法一 由（ 1）知 2an+1=an+1. ∴ 2an=an1+1 (n≥ 2), ∴ 2an+12an=anan1, ∴ 2+1= (n≥ 2). 8分 又 c1=a1=21 ,a2+a1+a2=2,∴ a2=43. ∴ c2=43 21 =41 ,即 c2=21 c1. ∴數(shù)列 {}是首項(xiàng)為 21 ，公比為 21 的等比數(shù)列 . 10分 ∴ =21 (2)若數(shù)列 {bn}滿足 bn=Sn?,是否存在非零實(shí)數(shù) c使得 {bn}為等差數(shù)列？若存在，求出 c的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 解 （ 1）由等差數(shù)列的性質(zhì)得， a2+a5=a3+a4=22,所以 a a4是關(guān)于 x的方程 x222x+117=0的解，又公差大于零， 所以 a3=9,a4=13. 易知 a1=1,d=4,故通項(xiàng)為 an=1+(n1) 4=4n3. (2)由 (1)知 Sn=2 )341( ?? nn=2n2n, 所以 bn=Sn?= nn??22. 方法一 所以 b1=c?11,b2=c?26,b3=c?315(c≠ 0). 令 2b2=b1+b3,解得 c=21. 當(dāng) c=21時(shí)， bn=2122??nnn =2n, 當(dāng) n≥ 2時(shí)， bnbn1=2. 故當(dāng) c=21時(shí)，數(shù)列 {bn}為等差數(shù)列 . 方法二 當(dāng) n≥ 2時(shí)， bnbn1= nn nn ?? ?????? 1 )1()1(22 22 =)1()12( 3)24(22 2 ???? ??? c , 欲使 {bn}為等差數(shù)列， 只需 4c2=2(2c1)且 3c=2c(c1) (c≠ 0)解得 c=21. 167。重慶理， 14） 設(shè) Sn是等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 ,a12=8,S9=9,則 S16= . 答案 72 {an}、 {bn}都是公差為 1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為 a b1,且 a1+b1=5， a b1∈ N*.設(shè) =nba(n∈ N*),則數(shù)列 {}的前 10項(xiàng)和等于 . 答