【導讀】證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考。查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通。過多角度觀察所給數(shù)列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：。na是遞增數(shù)列,故存在正整數(shù)km?

　　

【正文】 ∴ 當 x? [0,1]時， ( ) (1) 4f x f??. （ Ⅲ ）證明：先用數(shù)學歸納法證明：11( ) 3( *)33nnf n N??? ? ? （ 1） 當 n=1 時，00( ) (1) 4 1 3 3ff? ? ? ? ? ?，不等 式成立； （ 2） 假設當 n=k 時，11( ) 3( *)33kkf k N??? ? ? 15 由11 1 1 1 1 1 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 33 3 3 3 3 3 3k k k k k k kf f f f? ? ? ? ? ? ? ? 111( ) ( ) ( ) 6333kkkfff? ? ? ? 得111 1 13 ( ) ( ) 6 3 3k k kff??? ? ? ? 即當 n=k+1 時，不等式成立 由（ 1）、（ 2）可知，不等式11( ) 333nnf ????對一切正整數(shù)都成立 . 于是，當111( , ]( 1, 2,3, )33nnxn?? ? ???時，111 1 13 3 3 3 3 ( )3 3 3n n nxf??? ? ? ? ? ? ?， 而 x? [0,1]， ??fx單調遞增 ∴111( ) ( )33nnff?? 所以，11( ) ( ) 3 x f x?? ? ? 例 50. 已知： 12 1, 0nia a a a? ? ? ? ? )21( ni ?? 求證： 22221121 2 2 3 1 1 12nnn n naaaaa a a a a a a a??? ? ? ? ?? ? ? ? 解析 :構造對偶式：令1212 132222121 aa aaa aaa aaa aAn nnn n ????????? ? ?? 1211232232122 aa aaa aaa aaa aBnnnn ??????????? 則1212122 1322322212221 aa aaaa aaaa aaaa aaBAnnnnnn ????????????????? ＝ BAaaaaaaaa nnn ??????????? ? ,0)()()()( 113221 ? 又 ? )(2122 jiji ji aaaa aa ???? （ )2,1, nji ?? 1212122 1322322212221 )(21)(21 aa aaaa aaaa aaaa aaBAAnnnn nn ??????????????????? ? ?21)()()()(41 113221 ?????????? ? aaaaaaaa nnn? 十二 、 部分放縮 (尾式放縮 ) 例 : 74123 1123 113 1 1 ????????? ?n? 解析 : 1211 23 123 12811123 17141123 1123 113 1 ??? ???????????????????? nnn ??? 7484488447211 41312811 ??????? 例 56. 設 ???ana 211 .2,131 ??? an aa ?求證： .2?na 解析 : ???ana 211 .131211131 222 nn aa ??????? ?? 又 2),1(2 ????? kkkkkk （只將其中一個 k 變成 1?k ，進行部分放縮），kkkkk 111)1( 112 ??????， 于是 )111()3121()211(1131211 222 nnna n ?????????????? ??.21??? n 例 57. 設數(shù) 列 ??na 滿足 ? ??? ???? Nnnaaa nnn 121 ，當 31?a 時 證明對所有 ,1?n 有 2)( ??nai n ； 16 211 11 11 1)( 21 ??????? naaaii ? 解析 : )(i 用數(shù)學歸納法：當 1?n 時顯然成立，假設當 kn? 時成立即 2??kak ，則當 1??kn 時 312)2(1)2(1)(1 ?????????????? kkkkakaaa kkkk ，成立。 )(ii 利 用 上 述 部 分 放 縮 的 結 論 121 ??? kk aa 來 放 縮 通 項 ， 可 得????? )1(211 kk aa .2 111242)1(21 11111 ???? ?????????? kkkkkk aaa ? .21211)21(1412 11 1 111 ??????? ??? ??niniini a 注： 上述證明 )(i 用到部分放縮，當然根據(jù)不等式的性質也可以整體放縮： 31)2)(2(1 ???????? kkkka k ；證明 )(ii就直接使用了部分放縮的結論 121 ??? kk aa 十四 、 使用加強命題法證明不等式 (i)同側加強 對所證不等式的同一方向 (可以是左側 ,也可以是右側 )進行加強 .如要證明 Axf ?)( ,只要證明 )0()( ??? BBAxf ,其中 B 通過尋找分析 ,歸納完成 . 例 :對一切 *)( Nnn ? ,都有 311 ???nk kk. 解析 : 11 1)1( 1)1( 1)1()1( 1)1( 111 23 ???????????? ?????????? kkkkkkkkkkkkkk 2 111111111 1)1( 1)1( 1 ?????????? ???????????????? ???? kkkkkkkkkkk 11112211111 ??????????? ???? kkkkkk 從而 31112 211111513141213111111 ???????????????????? kkkkkknk ? 當然本題還可以使用其他方法 ,如 : ?????? ?????????????????? ????????? kkkkkkkkkkkkkkkkk 1111 11111)1( 111111 2 ?????? ???? kk 1112 所以 3)11(2111121 ?????? ?? ?? kkkkknknk. (ii)異側加強 (數(shù)學歸納法 ) (iii)雙 向加強 有些不等式 ,往往是某個一般性命題的特殊情況 ,這時 ,不妨 ”返璞歸真 ”,通過雙向加強還原其本來面目 ,從而順利解決原不等式 .其基本原理為 : 欲證明 BxfA ?? )( ,只要證明 : ),0()( BACCBxfCA ?????? . 例 }{na 滿足 :nnn aaaa1,1 11 ??? ? ,求證 : ).2(2312 ????? nnan n 解析 : 21212112 ?????????? ?? ??? knnn aaaa,從而 2212 ?? ?nn aa ,所以有 121)1(2)()()( 21212222212122 ????????????? ??? nnaaaaaaaa nnnnn ?,所以 12 ?? nan 17 又 31212112 ?????????? ?? ??? knnn aaaa,所以 321 ?? ?nn aa ,所以有 231)1(3)()()( 21212222212122 ????????????? ??? nnaaaaaaaa nnnnn ?所以 23 ?? nan 所以綜上有 ).2(2312 ????? nnan n 引申 :已知數(shù)列 }{na 滿足 :nnn aaaa1,1 11 ??? ? ,求證 : 1211 ???? nank k. 解析 :由上可知 12 ?? nan ,又2 321212 ????? nnn,所以32123212 212 11 ?????????? nnnnna n 從而 )2(1232123513111 ??????????????? nnnnank k ? 又當 1?n 時 , 111?a,所以綜上有 1211 ???? nank k. 同題引申 : (2020 年浙江高考試題 )已知數(shù)列 ??na , 0?na , 01?a , )(1 2121 ??? ???? Nnaaa nnn . 記 nn aaaS ???? ?21 ,)1()1)(1( 1)1)(1( 11 1 21211 nn aaaaaaT ?????????? ??.求證 :當 ??Nn 時 . (1) 1??nn aa 。 (2) 2??nSn 。 ★ (3) 3?nT . 解析 :(1) 1221 1 ?? ??? nnn aaa ,猜想 1?na ,下面用數(shù)學歸納法證明 : (i)當 1?n 時 , 11?a ,結論成立 。 (ii)假設當 )1( ?? kkn 時 , 1?ka ,則 )1(1 ??? kkn 時 , 2121 1 kkk aaa ??? ?? 從而 12 1121 ???? ??? nkk aaa ,所以 10 ?? ?ka 所以綜上有 10 ?? na ,故 nnnn aaaa ???? ?? 1221 0 (2)因為 1221 1 ?? ??? nnn aaa 則 22122 1 aaa ??? , 32223 1 aaa ??? ,… , 1221 1 ?? ??? nnn aaa ,相加后可以得到 : 2111322121 )( ???? ????????? nnnn anSaaanaa ?,所以 21 2 ????? nanS nn ,所以 2??nSn (3)因為 nnnn aaaa 21 2121 ???? ?? ,從而1121?? ?? n nn aaa ,有nnn aaa 21 1 11 ?? ??,所以有 21 1231113 2222)1)(1()1(1 aaaaaaaaaaa n nnnnnnn ? ???? ?????? ??,從而 11221 11321 21 12)1)(1()1)(1)(1( 1 ??? ?? ????????? nnn nnn aaaaaaaaa ?,所以 22221321 21 12)1()1)(1)(1( 1 ????????? n nn nn aaaaaaaa ?,所以 31115 22 121211 112221 11 22222432 ??????????????????? ?? nn nn aaaaaT ?? 所以綜上有 3?nT . 例 61.(2020 年陜西省高考試題 )已知數(shù)列 {}na 的首項1 35a?,1 321nn naa a? ? ?, 12n?， ， ． 18 (1)證明 :對任意的 0x? ,21 1 21 (1 ) 3n naxxx ???????? ??≥, 12n?， ， 。 (2)證明 : 212 1n na a a n? ? ? ? ?. 解析 :(1)依題 ,容易得到nnnna 32132 3 ????,要證 0x? ,21 1 21 (1 ) 3n naxxx ???????? ??≥, 12n?， ， , 即證222 )1( 1)1(3 21 21132)1( 11 1321 xxxxxx nnn ???????????? ???????? 即證 0132)1(3 321 2 2 ??????? nn nxx,設xt ??11所以即證明 )10(013223 32)( 2 ?????????? tttt nn n? 從而 0)1( ?? ,即 013223 32 ?????? nn n,這是顯然成立的 . 所以綜上有 對任意的 0x? ,21 1 21 (1 ) 3n naxxx???????? ??≥, 12n?， ， (法二 ) 21 1 21 (1 ) 3n xxx?????????? 21 1 2 111 (1 ) 3n xxx??? ? ? ? ????? ?? 21 1 1 (1 )1 (1 ) n xx x a??? ? ? ???????2)( 112 xax n ???? 2111 nnn aaax???? ?