【正文】 2 ??? ? nn n＞ 0. ∴此數(shù)列為遞增數(shù)列 . 例 3 （ 12分）已知數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn滿足 an+2SnSn1=0 (n≥ 2),a1=21,求 an. 解 ∵當(dāng) n≥ 2時(shí)， an=SnSn1, ∴ SnSn1+2SnSn1=0， 即nS111?nS=2， 4分 ∴數(shù)列??????nS1是公差為 2的等差數(shù)列 . 6分 又 S1=a1=21，∴11S=2， ∴nS1=2+（ n1） 北京理， 6） 已知數(shù)列 {an}對(duì)任意的 p,q∈ N*滿足 ap+q=ap+aq且 a2=6,那么 a10等于 （ ） 答案 C 例 1 寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： （ 1） 3， 5， 7， 9，?； （ 2）21，43，87，1615，3231，?； （ 3） 1，23， 31，43， 51，63，?； （ 4）32， 1，710， 917，1126， 1337，?； （ 5） 3， 33， 333， 3 333，? . 解 （ 1）各項(xiàng)減去 1后為正偶數(shù)，所以 an=2n+1. （ 2）每一項(xiàng)的分子比分母少 1，而分母組成數(shù)列 21， 22， 23， 24，?，所以 an=nn212?. （ 3）奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子（ 1） n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列 1， 2， 3， 4，?；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng) 為 1，偶數(shù)項(xiàng)為 3，即奇數(shù)項(xiàng)為 21，偶數(shù)項(xiàng)為 2+1， 所以 an=（ 1） n 河池模擬 ）設(shè) an=n2+10n+11，則數(shù)列 {an}從首項(xiàng) 到第幾項(xiàng)的和最大 （ ） 11 答案 C {an}的通項(xiàng)公式是 an=132?nn，那么這個(gè)數(shù)列是 （ B. C. D. 答案 A {an}的通項(xiàng)公式是 an=??? ?? ，nn ，nn )(22 )(13 為偶數(shù)為奇數(shù)則 a2第三章 數(shù) 列 167。 數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法 基礎(chǔ)自測(cè) ： ①數(shù)列可以看成一個(gè)定義在 N*（或它的有限子集 {1， 2， 3，?， n}）上的函數(shù)； ②數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的； ③數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)； ④數(shù)列的通項(xiàng)公式是惟一的 . 其中說(shuō)法正確的序號(hào)是 （ ） A.①②③ B.②③④ C.①③ D. ①②③④ 答案 C 2.（ 2020 a3等于 （ ） B. 28 答案 C 5.（ 2020n n)1(2 ??. 也可寫為 an=????????)(3)(1為正偶數(shù)為正奇數(shù)nnnn . （ 4）偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，奇數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式必含因子（ 1） n+1，觀察各項(xiàng)絕對(duì)值組成的數(shù)列，從第 3項(xiàng)到第 6項(xiàng)可見(jiàn)，分母分別由奇數(shù) 7， 9， 11， 13組成，而分子則是 32+1， 42+1， 52+1， 62+1，按照這樣的規(guī)律第 2兩項(xiàng)可改寫為12112??， 122 122???，所以 an=(1)n+1 2=2n， ∴ Sn=n21. 8 分 ∴當(dāng) n≥ 2時(shí)， an=2SnSn1=2)1(2 1?n =)1(2 1?nn， ∴ an=???????????)2()1(2 1)1(21nnnn . 12 分 ，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： （ 1）32，154，356，638，9910，? （ 2）21， 2，29， 8，225，? （ 3） 5， 55， 555， 5 555， 55 555，? （ 4） 5， 0， 5， 0， 5， 0， 5， 0，? （ 5） 1， 3， 7， 15， 31，? 解 （ 1）這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解成 1 3， 3 5， 5 7， 7 9， 9 11，?，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積，經(jīng)過(guò)組合，則所求數(shù)列的通項(xiàng)公式 an=)12)(12( 2 ?? nn n. （ 2）數(shù)列的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：21，24，29，216，225，?， 可得通項(xiàng)公式 an=22n. （ 3）聯(lián)想 ????個(gè)n 999 =10n1, 則 an= ????個(gè)n 555 =95??????個(gè)n )999( =95(10n1), 即 an=95 (10n1). （ 4）數(shù)列的各項(xiàng)都具有周期性，聯(lián)想基本數(shù)列 1， 0， 1， 0，?， 則 an=5sin2?n. （ 5）∵ 1=21， 3=221， 7=231，? ∴ an=2n1 故所求數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an=2n1. f（ x） =2x2x，數(shù)列 {an}滿足 f（ log2an） =2n. （ 1）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式； （ 2）求證：數(shù)列 {an}是遞減數(shù)列 . （ 1） 解 ∵ f（ x） =2x2x， ∴ f（ log2an） =2 na2log 2 na2log? =2n， 即 anna1=2n. ∴ a2n +2n a2? 咸陽(yáng)模擬 ）已知數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn=n29n，第 k項(xiàng)滿足 5＜ ak＜ 8，則 k等于 （ ） 答案 B {an}的通項(xiàng)公式 an=2)1( 1?n，記 f（ n） =2(1a1)(1a2)? (1an)，試通過(guò)計(jì)算 f(1),f(2),f(3)的值，推測(cè)出 f(n)為（ ） A.nn1? B.13??nn C.12??nn D.23??nn 答案 C 二、填空題 7.（ 2020 武漢武昌區(qū)調(diào)研測(cè)試 ）數(shù)列 {an}中 ,a3=2,a7=1,數(shù)列?????? ?11na是等差數(shù)列，則 an= . 答案 21 三、解答題 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，滿足 log2(1+Sn)=n+1,求數(shù)列的通項(xiàng)公式 . 解 Sn滿足 log2(1+Sn)=n+1,∴ 1+Sn=2n+1, ∴ Sn=2n+11. ∴ a1=3,an=SnSn1=(2n+11)(2n1)=2n (n≥ 2), ∴ {an}的通項(xiàng)公式為 an=????? ?? ).2(2 ),1(3 nnn {an}中， a1=1,前 n項(xiàng)和為 Sn，對(duì)任意的 n≥ 2,3Sn4,an,223 1?nS總成等差數(shù)列 . （ 1）求 a a a4的值； （ 2）求通項(xiàng)公式 an. 解 （ 1）當(dāng) n≥ 2時(shí)， 3Sn4,an,223 1?nS成等差數(shù)列， ∴ 2an=3Sn4+223Sn1，∴ an=3Sn4（ n≥ 2） . 由 a1=1,得 a2=3(1+a2)4, ∴ a2=21,a3=3 ?????? ?? 3211 a4, ∴ a3=41,a4=3 ?????? ??? 443211 a4,∴ a4=81. ∴ a2=21， a3=41， a4=81. （ 2）∵當(dāng) n≥ 2時(shí)， an=3Sn4,∴ 3Sn=an+4, ∴??? ?? ?? ?? 43 43 11 nn nn aS aS,可得 :3an+1=an+1an, ∴nnaa1?=21，∴ a2， a3，?， an成等比數(shù)列， ∴ an=a2 221 ???????? n= 121 ???????? n， ∴ an=???????????????? )2(21)1(11 nnn . {an}中， a1=21， an=111?na(n≥ 2,n∈ N*)，數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn. （ 1）求證 ： an+3=an。 等差數(shù)列及其前 n 項(xiàng)和 基礎(chǔ)自測(cè) 1.（ 2020 a2 0080,則使 Sn0成立的最大自然數(shù) n是 （ 013 014 015 016 答案 B 3.（ 2020 (2)已知 a6=10,S5=5，求 a8和 S8； （ 3）已知前 3項(xiàng)和為 12，前 3項(xiàng)積為 48，且 d＞ 0,求 a1. 解 （ 1） 方法一 設(shè)首項(xiàng)為 a1,公差為 d,依條件得 ??? ?? ?? da da 44153 1433 11,解方程組得??? ???.4231d ，a ∴ a61=23+(611) 4=217. 方法二 由 d=mn aa mn??,得 d=1545 1545??aa=3033153?=4, 由 an=am+(nm)d, 得 a61=a45+16d=153+16 4=217. （ 2）∵ a6=10,S5=5,∴??? ?? ?? 5105 10511 da da. 解方程組得 a1=5,d=3, ∴ a8=a6+2d=10+2 3=16,S8=82 )( 81 aa?=44. (3)設(shè)數(shù)列的前三項(xiàng)分別為 ad,a,a+d,依題意有： ??? ????? ????? 48)()( 12)()( daada daada, ∴????? ??? 48)( 4 22 daaa,∴??? ??? 24da. ∵ d＞ 0,∴ d=2,ad=2.∴首項(xiàng)為 2.∴ a1=2. 例 3 （ 12分）在等差數(shù)列 {an}中，已知 a1=20,前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 S10=S15，求當(dāng) n取何值時(shí)， Sn取得最大值，并求出它的最 大值 . 解 方法一 ∵ a1=20， S10=S15， ∴ 10 20+2910?d=15 20+21415?d， ∴ d=35. 4 分 ∴ an=20+（ n1） (35)=35n+365. 8 分 ∴ a13=0. 即當(dāng) n≤ 12時(shí)， an＞ 0,n≥ 14時(shí)， an＜ 0. 10分 ∴當(dāng) n=12或 13時(shí)， Sn取得最大值，且最大值為 S12=S13=12 20+21112? ?(35)=130. 12分 方法二 同方法一求得 d=35. 4 分 ∴ Sn=20n+2 )1( ?nn 成都市第一次調(diào)研 ）設(shè) {an}為等差數(shù)列 ,Sn為數(shù)列 {an}的 前 n項(xiàng)和 ,已知 S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列??????nSn的前 n項(xiàng)和 ,求 Tn. 解 設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d, 則 Sn=na1+21n(n1)d, ∵ S7=7,S15=75, ∴??? ?? ?? 7510515 7217 11 da da, 即??? ?? ?? 57 1311 da da,解得??? ???121da, ∴nSn=a1+21(n1)d=2+21(n1), ∵