高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析-展示頁(yè)
2025-04-26 12:54本頁(yè)面
【正文】 :（2004，全國(guó)I,理15．）已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，求。例1:已知數(shù)列滿足，求?！〗?jīng)檢驗(yàn)也適合，∴類型2． a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通項(xiàng)公式.解：∵， ∴，即 ∴， …… 解：由條件知： 分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即 所以 ， 變式:（2004，全國(guó)I，個(gè)理22．本小題滿分14分）已知數(shù)列，且a2k=a2k－1+(－1)k,解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。本文總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，希望能對(duì)大家有幫助。 專業(yè)資料分享 遞推數(shù)列題型高考?xì)w納解析各種數(shù)列問(wèn)題在很多情形下，就是對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。在一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問(wèn)題往往是數(shù)列問(wèn)題的難題。類型1．例:已知數(shù)列滿足，求。 …… 將以上k個(gè)式子相加，得 將代入，得 ， 。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解?！〗猓河蓷l件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即 又，例2:已知， 解： 。(n≥2)， 則{an}的通項(xiàng) 解：由已知，得，用此式減去已知式，得 當(dāng)時(shí)，即，又， ，將以上n個(gè)式子相乘，得類型3．（其中p，q均為常數(shù)，）。例1:已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即. 故遞推公式為,令，則,且. 所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.例2:（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)＝_____（key:）例3:（.）已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列{bn}滿足證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：（I）解： 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 證法二：同證法一，得 ，令得 設(shè)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明?。?）當(dāng)時(shí)，等式成立 根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任何都成立 （III）證明： 變式:遞推式：。（或,其中p，q,解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。解：在兩邊乘以得： 令，則,解之得： 所以例2:（2006，全國(guó)I,理22）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（Ⅰ）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（Ⅱ）設(shè)，證明：解：（I）當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 即，利用（其中p，q均為常數(shù)，）。 r均為常數(shù)）的方法，解之得：(Ⅱ)將代入①得 Sn= (4n－2n)－2n+1 + = (2n+1－1)(2n+1－2)= (2n+1－1)(2n－1) Tn== =(－)所以, = －)= (－)類型5．遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中
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