20xx屆高考數(shù)學(xué)文二輪專題復(fù)習(xí)課件蘇教版：第16講函數(shù)與方程思想-在線瀏覽
2025-07-10 20:59本頁面
【正文】 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)二 函數(shù)方程思想在不等式中的應(yīng)用 例 2 已知 f ( x ) ＝ 4 x ＋ ax2－23x3( x ∈ R ) 在區(qū)間 ??????－ 1 ， 1 上是增函數(shù) ． ( 1 ) 求實(shí)數(shù) a 的值組成的集合 A ； ( 2 ) 設(shè)關(guān)于 x 的方程 f ( x ) ＝ 2 x ＋13x3的兩個(gè)非零實(shí)根為 x1，x2. 試問 ： 是否存在實(shí)數(shù) m ， 使得不等式 m2＋ tm ＋ 1 ≥ | x1－ x2|對(duì)任意 a ∈ A 及 t∈ [ － 1 ,1] 恒成立 ？ 若存在 ， 求 m 的取值范圍 ；若不存在 ， 請(qǐng)說明理由 ． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 (1) f ′ ( x ) ＝ 4 ＋ 2 ax － 2 x2，由已知， f ( x ) 在區(qū)間 [ －1 ， 1] 上是增函數(shù)，等價(jià)于 f ′ ( x ) ≥ 0 對(duì) x ∈ [ － 1,1] 恒成立．即x2－ ax － 2 ≤ 0 對(duì) x ∈ [ － 1,1] 恒成立． 這是一個(gè)含參數(shù)的不等式的問題，如何處理這一問題呢？ 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 首先考慮用函數(shù)思想 ． 把 x2－ ax － 2 看作函數(shù) ． 記 φ ( x ) ＝ x2－ ax － 2. 要使 φ ( x ) ≤ 0 對(duì) x ∈ [ － 1,1] 恒成立 ， 只要 φm a x( x ) ≤ 0 就可以了 ． 所以問題轉(zhuǎn)化為求 φ ( x ) 在 [ － 1,1] 上的最大值 ． 由于 x ≤a2時(shí) ， φ ( x ) 為減函數(shù) ， x ≥a2時(shí) ， φ ( x ) 為增函數(shù) ， 因此 ， 又要對(duì) φ ( x ) 的對(duì)稱軸相對(duì)于區(qū)間 x ∈ [ － 1, 1] 的中點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類討論 ． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 當(dāng) x ＝a2≤ 0 時(shí)，由 φ ( x ) 的圖象 ( 圖 ① ) 可以看出， φ (1) 最大．解不等式組 ????? a2≤ 0 ，φ ? 1 ? ＝ 1 － a － 2 ≤ 0.得－ 1 ≤ a ≤ 0. 當(dāng) x ＝a20 時(shí)，由 φ ( x ) 的圖象 ( 圖 ② ) 可以看出， φ ( － 1)最大． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 解不等式組 ????? a20 ，φ ? － 1 ? ＝ 1 ＋ a － 2 ≤ 0.得 0 a ≤ 1. 綜合以上得 － 1 ≤ a ≤ 1. 即 A ＝ { a |－ 1 ≤ a ≤ 1} ． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 如果對(duì)函數(shù)圖象比較熟悉的話 ， 可以知道 ， φ ( x ) 在 [ － 1,1 ]上的最大值只能在區(qū)間的端點(diǎn)得到 ， 因此只要解 ????? φ ? 1 ? ＝ 1 － a － 2 ≤ 0 ，φ ? － 1 ? ＝ 1 ＋ a － 2 ≤ 0.就可以得到 A ＝ { a |－ 1 ≤ a ≤ 1} ． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ( 2 ) 關(guān)于 f ( x ) ＝ 2 x ＋13x3的方程可以化為 4 x ＋ ax2－23x3＝ 2 x ＋13x3. 解得 x ＝ 0 或 x2－ ax － 2 ＝ 0. 由于 Δ ＝ a2＋ 80 ， 所以方程 x2－ ax － 2 ＝ 0 有兩個(gè)非零實(shí)根x1， x2. 下面計(jì)算 | x1－ x2|， 由 x1＋ x2＝ a ， x1x2＝－ 2 得 | x1－ x2| ＝ ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2＝a2＋ 8 . 本題等價(jià)于是否存在 m ， 使不等式 m2＋ tm ＋ 1 ≥ a2＋ 8 ① . 對(duì) a ∈ A ， t∈ [ － 1,1] 恒成立 ． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 把 a2＋ 8 看作關(guān)于 a 的函數(shù) T ( a ) ＝ a2＋ 8 ，則 ① 式等價(jià)于 m2＋ tm ＋ 1 ≥ Tm a x( a ) ② . 由于 a ∈ A ，則 T ( a ) ＝ a2＋ 8 ≤ 1 ＋ 8 ＝ 3 ，從而 ② 式轉(zhuǎn)化為 m2＋ tm ＋ 1 ≥ 3 ， 即 m2＋ tm － 2 ≥ 0 ③ 對(duì) t∈ [ － 1, 1] 恒成立． 我們又可以把 ③ 式的左邊看作關(guān)于 t 的函數(shù)． 記 g ( t ) ＝ m2＋ tm － 2 ＝ mt ＋ m2－ 2. 對(duì) m ＝ 0 和 m ≠ 0 分類研究 ． 若 m ＝ 0 ， ③ 式化為 g ( t ) ＝－ 2 ≥ 0 ， 顯然不成立 ； 若 m ≠ 0 ， g ( t ) 是 t 的一次函數(shù) ， 這樣 ， 要使 g ( t ) ≥ 0 對(duì) t∈ [ －1,1] 恒成立 ， 只要 g ( － 1 ) ≥ 0 及 g ( 1 ) ≥ 0 同時(shí)成立即可 ( 圖 ③ ， ④ ) ． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 解不等式組????? g ? 1 ? ＝ m2＋ m － 2 ≥ 0 ，g ? － 1 ? ＝ m2－ m － 2 ≥ 0.得 m ≤ － 2 或 m ≥ 2. 所以存在實(shí)數(shù) m ，使不等式 m2＋ tm ＋ 1 ≥ | x 1 － x 2 |對(duì)任意a ∈ A ， t∈ [ － 1,1] 恒成立，其取值范圍是 { m | m ≤ － 2 或 m ≥ 2} ． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 本題難點(diǎn)
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