20xx屆高考數(shù)學(xué)文二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)課件（蘇教版）：第16講 函數(shù)與方程思想-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 ＋ 1 ≥ a2＋ 8 ① . 對(duì) a ∈ A ， t∈ [ － 1,1] 恒成立 ． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 把 a2＋ 8 看作關(guān)于 a 的函數(shù) T ( a ) ＝ a2＋ 8 ，則 ① 式等價(jià)于 m2＋ tm ＋ 1 ≥ Tm a x( a ) ② . 由于 a ∈ A ，則 T ( a ) ＝ a2＋ 8 ≤ 1 ＋ 8 ＝ 3 ，從而 ② 式轉(zhuǎn)化為 m2＋ tm ＋ 1 ≥ 3 ， 即 m2＋ tm － 2 ≥ 0 ③ 對(duì) t∈ [ － 1, 1] 恒成立． 我們又可以把 ③ 式的左邊看作關(guān)于 t 的函數(shù)． 記 g ( t ) ＝ m2＋ tm － 2 ＝ mt ＋ m2－ 2. 對(duì) m ＝ 0 和 m ≠ 0 分類(lèi)研究 ． 若 m ＝ 0 ， ③ 式化為 g ( t ) ＝－ 2 ≥ 0 ， 顯然不成立 ； 若 m ≠ 0 ， g ( t ) 是 t 的一次函數(shù) ， 這樣 ， 要使 g ( t ) ≥ 0 對(duì) t∈ [ －1,1] 恒成立 ， 只要 g ( － 1 ) ≥ 0 及 g ( 1 ) ≥ 0 同時(shí)成立即可 ( 圖 ③ ， ④ ) ． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 解不等式組????? g ? 1 ? ＝ m2＋ m － 2 ≥ 0 ，g ? － 1 ? ＝ m2－ m － 2 ≥ 0.得 m ≤ － 2 或 m ≥ 2. 所以存在實(shí)數(shù) m ，使不等式 m2＋ tm ＋ 1 ≥ | x 1 － x 2 |對(duì)任意a ∈ A ， t∈ [ － 1,1] 恒成立，其取值范圍是 { m | m ≤ － 2 或 m ≥ 2} ． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評(píng)】 本題難點(diǎn)有三 ： ① 對(duì)題意理解不清 ； ② 對(duì)所求問(wèn)題不會(huì)恰當(dāng)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題 ； ③ 計(jì)算時(shí)分類(lèi)不準(zhǔn)確 ． 此題在解題過(guò)程中多次把要求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)研究 ： 第 1 次轉(zhuǎn)化 ： 把三次函數(shù) f ( x ) ＝ 4x ＋ ax2－23x3( x ∈ R ) 在區(qū)間[ － 1,1] 上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為在這一區(qū)間 f ′ ( x ) ≥ 0 的問(wèn)題 ； 第 2 次轉(zhuǎn)化 ： 第 ( 1 ) 問(wèn) ， 把 x2－ ax － 2 ≤ 0 對(duì) x ∈ [ － 1,1] 恒成立轉(zhuǎn)化為 φ ( x ) 的最大值 φmax( x ) ≤ 0 恒成立的問(wèn)題 ， 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 3 次轉(zhuǎn)化 ： φ ( x ) 的最大值 ≤ 0 成立的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 φ ( x )的最大值的問(wèn)題 ； 第 4 次轉(zhuǎn)化 ： 第 ( 2 ) 問(wèn)把 m2＋ tm ＋ 1 ≥ | x1－ x2|轉(zhuǎn)化為 m2＋ tm＋ 1 ≥ a2＋ 8 的問(wèn)題 ； 第 5 次轉(zhuǎn)化 ： 把 m2＋ tm ＋ 1 ≥ a2＋ 8 轉(zhuǎn)化為 m2＋ tm ＋1 ≥ Tm a x( a ) 的問(wèn)題 ； 第 6 次轉(zhuǎn)化 ： 把 m2＋ tm ＋ 1 ≥ Tm a x( a ) 又轉(zhuǎn)化為 m2＋ tm －2 ≥ 0 對(duì) t∈ [ － 1,1] 恒成立的問(wèn)題 ； 第 7 次轉(zhuǎn)化 ： 把 m2＋ tm － 2 ≥ 0 對(duì) t∈ [ － 1, 1] 恒成立的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù) g ( t ) ＝ mt ＋ m2－ 2 ≥ 0 對(duì) t∈ [ － 1,1] 恒成立問(wèn)題 ； 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 8 次轉(zhuǎn)化 ： 把 g ( t ) ＝ mt ＋ m2－ 2 ≥ 0 對(duì) t∈ [ － 1,1] 恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 g ( t ) 的最小值的問(wèn)題 ． 這 8 次轉(zhuǎn)化每一次轉(zhuǎn)化都是把生題化為熟悉的函數(shù)問(wèn)題 ． 在解題過(guò)程中 ， 我們還多次把代數(shù)式看作函數(shù) ： 第 1 次是把 φ ( x ) ＝ x2－ ax － 2 看作是關(guān)于 x 的函數(shù) ； 第 2次是把 T ( a ) ＝ a2＋ 8 看作是關(guān)于 a 的函數(shù) ； 第 3 次是 g ( t ) ＝mt ＋ m2－ 2 看作是關(guān)于 t 的函數(shù) ， 從而把含參數(shù)的不等式問(wèn)題化為函數(shù)的最值問(wèn)題 ， 此外還有對(duì)方程 f ( x ) ＝ 2 x ＋13x3的根的討論 ． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 解這一道題時(shí) ， 我們想到了進(jìn)行轉(zhuǎn)化 ， 想到了把代數(shù)式看作函數(shù) ， 把字母看作變量 ， 想到了對(duì)不同情況的分類(lèi)討論 ，想到了用函數(shù)圖象幫助思考 ， 才能一步一步地解決問(wèn)題 ， 相反 ， 如果我們沒(méi)有想到把 x2－ ax － 2 ≤ 0 對(duì) x ∈ [ － 1,1] 恒成立的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 φ ( x ) 的最大值 φ max ( x ) ≤ 0 恒成立的問(wèn)題 ， 沒(méi)有實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化 ， 如果我們沒(méi)有想到把 φ ( x ) ＝ x2－ ax － 2 看作是關(guān)于 x 的函數(shù) ， 問(wèn)題可能不會(huì)得到解決 ． 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)三 函數(shù)方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用 例 3 已知等差數(shù)列 { a n } ，其前 n 項(xiàng)和為 S n ，是否存在常數(shù) k ，使得 ka 2n － 1 ＝ S 2 n － S n ＋ 1 成立？ 第 16 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 設(shè)存在常數(shù) k ， 使 ka2n－ 1 ＝ S2 n－ Sn ＋ 1成立 ， 令 an＝ pn ＋ q ( p 、 q 為常數(shù) ) ， 則 k ( pn ＋ q )2－ 1 ＝ S2 n－ Sn ＋ 1① 又 Sn＝ p ( 1 ＋ 2 ＋ ? ＋ n ) ＋ nq ＝p2n ( n ＋ 1 ) ＋ nq ， 代入 ① 式變?yōu)?kp2n2＋ 2 kpqn ＋ kq2－ 1 ＝32
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