【正文】
本題關(guān)鍵是找到變量 x , y 的關(guān)系 , 直接化簡會很復(fù)雜 , 如果移項變形 , 化為 x + x2+ 1 =1y + y2+ 1=- y + y2+ 1 , 構(gòu)造函數(shù) f ( x ) = x + x2+ 1 ( x ∈ R ) 會輕易解決 . 第 16 講 │ 要點熱點探究 思路 1 :把式子中的字母 x , y 看作變量,把等式中出現(xiàn)的代數(shù)式看作函數(shù). 等式化為 x + x2+ 1 =1y + y2+ 1=- y + y2+ 1 . 構(gòu)造函數(shù) f ( x ) = x + x2+ 1 ( x ∈ R) ,則上式就是 f ( x )= f ( - y ) , 由于函數(shù) f ( x ) = x + x2+ 1 ( x ∈ R) 為 R 上的增函數(shù),則 x =- y ,即 x + y = 0. 所以,集合 M 表示的圖形是直線.這個問題的解決是函數(shù)思想的勝利. 第 16 講 │ 要點熱點探究 我們還可以用另一種函數(shù)來思考 . 思路 2 : 構(gòu)造一個常見的函數(shù) g ( x ) = lg ( x + x2+ 1 )( x∈ R ) , 則 g ( x ) 為 R 上的增函數(shù) , 且為奇函數(shù) . 又已知等式可化為 g ( x ) + g ( y ) = lg ( x + x2+ 1 ) + lg ( y + y2+ 1 ) = lg 1 =0 , 于是有 g ( x ) =- g ( y ) = g ( - y ) , 因此 x =- y , 即 x + y= 0. 所以 , 集合 M 表示的圖形是直線 . 思路 3 :以方程的知識為切入點,設(shè) s = x + x2+ 1 , t= y + y2+ 1 ,于是 s , t 分別是方程 s2- 2 xs - 1 = 0 , t2- 2 yt- 1 = 0 的正根.由此可得 s - 2 x -1s= 0 , t- 2 y -1t= 0 ,相加并注意到 st = 1 ,得 s + t- 2( x + y ) -s + tst= 0 ,即 x + y = 0.所以,集合 M 表示的圖形是直線. 第 16 講 │ 要點熱點探究 【點評】 本題難在對所給的式子不會化簡 , 導(dǎo)致半途而廢 . 因為所給式子中有兩個變量 x , y , 如果把所給等式整理為 x + x2+ 1 =1y + y2+ 1=- y + y2+ 1 , 不難發(fā)現(xiàn)能構(gòu)造函數(shù) f ( x ) = x + x2+ 1 ( x ∈ R ) 來解決 . 高考中的壓軸題往往需要站在數(shù)學(xué)思想的角度來研究 , 蠻干是不行的 . 本題思路 3 對于學(xué)生來說要求比較高 , 僅供同學(xué)們賞析 . 第 16 講 │ 要點熱點探究 已知函數(shù) f ( x ) =- x 3 + ax 2 + b ( a , b ∈ R ) , 若函數(shù) y = f ( x ) 的圖象上任意不同的兩點的連線斜率小于 1 ,則 a 的取值范圍為 ____ ____ . 【 答案 】 [ - 3 , 3 ] 第 16 講 │ 要點熱點探究 【解析】 設(shè) x 1 , x 2 ∈ R , 且 x 1 ≠ x 2 ,f ? x 2 ? - f ? x 1 ?x 2 - x 11 , 不妨設(shè) x 1 x 2 , 則 f ( x 2 ) - x 2 f ( x 1 ) - x 1 . 令 F ( x ) = f ( x ) - x , 則 F ( x ) 為 R 上的減函數(shù) , ∴ F ′ ( x ) =- 3 x2+ 2 ax - 1 ≤ 0 對 x ∈ R 恒成立 , 即 3 x2- 2 ax + 1 ≥ 0 對 x ∈ R 恒成立 , ∴ Δ ≤ 0 ? - 3 ≤ a ≤ 3 . 第 16 講 │ 要點熱點探究 第 16 講 │ 要點熱點探究 ? 探究點二 函數(shù)方程思想在不等式中的應(yīng)用 例 2 已知 f ( x ) = 4 x + ax2-23x3( x ∈ R ) 在區(qū)間 ??????- 1 , 1 上是增函數(shù) . ( 1 ) 求實數(shù) a 的值組成的集合 A ; ( 2 ) 設(shè)關(guān)于 x 的方程 f ( x ) = 2 x +13x3的兩個非零實根為 x1,x2. 試問 : 是否存在實數(shù) m , 使得不等式 m2+ tm + 1 ≥ | x1- x2|對任意 a ∈ A 及 t∈ [ - 1 ,1] 恒成立 ? 若存在 , 求 m 的取值范圍 ;若不存在 , 請說明理由 . 第 16 講 │ 要點熱點探究 【解答】 (1) f ′ ( x ) = 4 + 2 ax - 2 x2,由已知, f ( x ) 在區(qū)間 [ -1 , 1] 上是增函數(shù),等價于 f ′ ( x ) ≥ 0 對 x ∈ [ - 1,1] 恒成立.即x2- ax - 2 ≤ 0 對 x ∈ [ - 1,1] 恒成立. 這是一個含參數(shù)的不等式的問題,如何處理這一問題呢? 第 16 講 │ 要點熱點探究 首先考慮用函數(shù)思想 . 把 x2- ax - 2 看作函數(shù) . 記 φ ( x ) = x2- ax - 2. 要使 φ ( x ) ≤ 0 對 x ∈ [ - 1,1] 恒成立 , 只要 φm a x( x ) ≤ 0 就可以了 . 所以問題轉(zhuǎn)化為求 φ ( x ) 在 [ - 1,1] 上的最大值 . 由于 x ≤a2時 , φ ( x ) 為減函數(shù) , x ≥a2時 , φ ( x ) 為增函數(shù) , 因此 , 又要對 φ ( x ) 的對稱軸相對于區(qū)間 x ∈ [ - 1, 1] 的中點的不同位置進(jìn)行分類討論 . 第 16 講 │ 要點