【正文】 a n ＋ 1，數(shù)列 { b n } 的前 n項和為 T n . (1) 求數(shù)列 { a n } 的通項公式及數(shù)列 { b n } 的前 n 項和 T n ； (2) 是否存在正整數(shù) m ， n (1 m n ) ，使得 T 1 ， T m ， T n 成等比數(shù)列？若存在，求出所有的 m ， n 的值；若不存在，請說明理由． 第 16 講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) 因為 { an} 是等差數(shù)列 ， 由 a2n＝ S2 n － 1＝? a1＋ a2 n － 1?? 2 n － 1 ?2＝ ( 2 n － 1 ) an， 又因為 an≠ 0 ， 所以 an＝ 2 n － 1 ， 由 bn＝1anan ＋ 1＝1? 2 n － 1 ?? 2 n ＋ 1 ?＝12????????12 n － 1－12 n ＋ 1， 所以 Tn＝12????????1 －13＋13－15＋ ? ＋12 n － 1－12 n ＋ 1＝n2 n ＋ 1. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 ， Tn＝n2 n ＋ 1， 所以 T1＝13， Tm＝m2 m ＋ 1， Tn＝n2 n ＋ 1， 第 16 講 │ 要點熱點探究 若 T1， Tm， Tn成等比數(shù)列 ， 則????????m2 m ＋ 12＝13????????n2 n ＋ 1， 即m24 m2＋ 4 m ＋ 1＝n6 n ＋ 3. 由m24 m2＋ 4 m ＋ 1＝n6 n ＋ 3， 可得3n＝－ 2 m2＋ 4 m ＋ 1m2 ， 所以 － 2 m2＋ 4 m ＋ 10 ， 從而 ： 1 －62 m 1 ＋62， 又 m ∈ N*， 且 m 1 ， 所以 m ＝ 2 ， 此時 n ＝ 12. 故可知 ： 當(dāng)且僅當(dāng) m ＝ 2 ， n ＝ 12 時 ， 數(shù)列 { Tn} 中的 T1， Tm，Tn成等比數(shù)列 ． 第 16 講 │ 規(guī)律技巧提煉 規(guī)律技巧提煉 1 ．函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化常見問題有： (1) 函數(shù)與其圖象可視為二元方程與曲線的關(guān)系； (2) 方程中的參變量必要時可視為關(guān)于其中某個量的函數(shù)，從而利用函數(shù)特性研究； (3) 解方程或不等式時可視其結(jié)構(gòu)聯(lián)想到相關(guān)函數(shù)圖象或性質(zhì)，給予解決； (4) 數(shù)列的相關(guān)問題可視為函數(shù)問題或轉(zhuǎn)化為方程和不等式解決． 第 16 講 │ 規(guī)律技巧提煉 2 ． 在許多數(shù)學(xué)問題中 ， 一般都含有多元參變量 ， 要注意對問題中各元素仔細地觀察和分析 ， 根據(jù)題目的需要采取變換 “ 主元 ” 的方法 ， 構(gòu)造出相關(guān)的函數(shù)模型 ， 使問題獲得巧解 ． 3 ． 深刻理解基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì) ， 熟練地掌握一次函數(shù) 、 二次函數(shù)和指數(shù) 、 對數(shù)函數(shù)的特征是應(yīng)用函數(shù)思想的基礎(chǔ) ； 善于挖掘題目的隱含條件 ， 構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式 ， 并能合理地運用函數(shù)的圖象和性質(zhì) ， 是應(yīng)用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵 ． 第 16 講 │ 課標(biāo)挖掘提升 課標(biāo)挖掘提升 例題 蘇教版必修 1教材 95頁 31題 如圖 8 － 16 － 1 所示， A ， B 是函數(shù) y ＝ e 2 x 的圖象上兩點，分別過 A ， B 作 x 軸的平行線，與函數(shù) y ＝ e x 的圖象交于 C ，D 兩點． 第 16 講 │ 課標(biāo)挖掘提升 (1) 求點 A 與原點 O 連成直線的斜率的取值范圍； (2) 若直線 AB 過原點 O ，求證直線 CD 也過原點 O ； (3) 當(dāng)直線 BC 與 y 軸平行時，設(shè) B 點的橫坐標(biāo)為 x ，四邊形 ABDC 的面積為 f ( x ) ，若方程 2 f ( x ) － 3ex＝ 0 在區(qū)間[ t， t＋ 1] 上有實數(shù)解，求整數(shù) t 的值． 第 16 講 │ 課標(biāo)挖掘提升 【解答】 ( 1 ) 設(shè)過原點 O 且和函數(shù) y ＝ e2 x的圖象相切的切線的切點為 P ( x0， y0) ，則： y0＝ e2 x0，又 y ′ ＝ 2e2 x，切線 OP 的斜率 kOP＝y(tǒng)0x0＝ 2e2 x0， 解e2 x0x0＝ 2e2 x0得 x0＝12， kOP＝ 2e2 x0＝ 2e. 結(jié)合圖象知，點 A 與原點 O 連成直線的斜率的取值范圍是 ( － ∞ ， 0 ) ∪ [ 2 e ，＋ ∞ ) ； (2) 由已知可設(shè) A ， B ， C ， D 各點的坐標(biāo)分別為 A ( x1， y1) ，B ( x2， y2) ， C ( x3， y1) ， D ( x4， y2) ． 則 y1＝ e2 x1， y2＝ e2 x2，且 y1＝ e x3， y2＝ e x4， ∴ e2 x1＝ e x3，e2 x2＝ e x4， ∴ 2 x1＝ x3,2 x2＝ x4， ∵ 直線 AB 過原點 O ， ∴y2x2＝y(tǒng)1x1， ∴y22 x2＝y(tǒng)12 x1，于是y2x4＝