20xx屆高考數(shù)學(xué)文二輪專題復(fù)習(xí)課件蘇教版：第16講函數(shù)與方程思想-閱讀頁
2025-05-16 20:59本頁面
【正文】 有三 ： ① 對題意理解不清 ； ② 對所求問題不會恰當(dāng)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題 ； ③ 計算時分類不準(zhǔn)確 ． 此題在解題過程中多次把要求的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來研究 ： 第 1 次轉(zhuǎn)化 ： 把三次函數(shù) f ( x ) ＝ 4x ＋ ax2－23x3( x ∈ R ) 在區(qū)間[ － 1,1] 上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為在這一區(qū)間 f ′ ( x ) ≥ 0 的問題 ； 第 2 次轉(zhuǎn)化 ： 第 ( 1 ) 問 ， 把 x2－ ax － 2 ≤ 0 對 x ∈ [ － 1,1] 恒成立轉(zhuǎn)化為 φ ( x ) 的最大值 φmax( x ) ≤ 0 恒成立的問題 ， 第 16 講 │ 要點熱點探究 第 3 次轉(zhuǎn)化 ： φ ( x ) 的最大值 ≤ 0 成立的問題轉(zhuǎn)化為求 φ ( x )的最大值的問題 ； 第 4 次轉(zhuǎn)化 ： 第 ( 2 ) 問把 m2＋ tm ＋ 1 ≥ | x1－ x2|轉(zhuǎn)化為 m2＋ tm＋ 1 ≥ a2＋ 8 的問題 ； 第 5 次轉(zhuǎn)化 ： 把 m2＋ tm ＋ 1 ≥ a2＋ 8 轉(zhuǎn)化為 m2＋ tm ＋1 ≥ Tm a x( a ) 的問題 ； 第 6 次轉(zhuǎn)化 ： 把 m2＋ tm ＋ 1 ≥ Tm a x( a ) 又轉(zhuǎn)化為 m2＋ tm －2 ≥ 0 對 t∈ [ － 1,1] 恒成立的問題 ； 第 7 次轉(zhuǎn)化 ： 把 m2＋ tm － 2 ≥ 0 對 t∈ [ － 1, 1] 恒成立的問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù) g ( t ) ＝ mt ＋ m2－ 2 ≥ 0 對 t∈ [ － 1,1] 恒成立問題 ； 第 16 講 │ 要點熱點探究 第 8 次轉(zhuǎn)化 ： 把 g ( t ) ＝ mt ＋ m2－ 2 ≥ 0 對 t∈ [ － 1,1] 恒成立問題轉(zhuǎn)化為求 g ( t ) 的最小值的問題 ． 這 8 次轉(zhuǎn)化每一次轉(zhuǎn)化都是把生題化為熟悉的函數(shù)問題 ． 在解題過程中 ， 我們還多次把代數(shù)式看作函數(shù) ： 第 1 次是把 φ ( x ) ＝ x2－ ax － 2 看作是關(guān)于 x 的函數(shù) ； 第 2次是把 T ( a ) ＝ a2＋ 8 看作是關(guān)于 a 的函數(shù) ； 第 3 次是 g ( t ) ＝mt ＋ m2－ 2 看作是關(guān)于 t 的函數(shù) ， 從而把含參數(shù)的不等式問題化為函數(shù)的最值問題 ， 此外還有對方程 f ( x ) ＝ 2 x ＋13x3的根的討論 ． 第 16 講 │ 要點熱點探究 解這一道題時 ， 我們想到了進(jìn)行轉(zhuǎn)化 ， 想到了把代數(shù)式看作函數(shù) ， 把字母看作變量 ， 想到了對不同情況的分類討論 ，想到了用函數(shù)圖象幫助思考 ， 才能一步一步地解決問題 ， 相反 ， 如果我們沒有想到把 x2－ ax － 2 ≤ 0 對 x ∈ [ － 1,1] 恒成立的問題轉(zhuǎn)化為 φ ( x ) 的最大值 φ max ( x ) ≤ 0 恒成立的問題 ， 沒有實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化 ， 如果我們沒有想到把 φ ( x ) ＝ x2－ ax － 2 看作是關(guān)于 x 的函數(shù) ， 問題可能不會得到解決 ． 第 16 講 │ 要點熱點探究 第 16 講 │ 要點熱點探究 ? 探究點三 函數(shù)方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用 例 3 已知等差數(shù)列 { a n } ，其前 n 項和為 S n ，是否存在常數(shù) k ，使得 ka 2n － 1 ＝ S 2 n － S n ＋ 1 成立？ 第 16 講 │ 要點熱點探究 【解答】 設(shè)存在常數(shù) k ， 使 ka2n－ 1 ＝ S2 n－ Sn ＋ 1成立 ， 令 an＝ pn ＋ q ( p 、 q 為常數(shù) ) ， 則 k ( pn ＋ q )2－ 1 ＝ S2 n－ Sn ＋ 1① 又 Sn＝ p ( 1 ＋ 2 ＋ ? ＋ n ) ＋ nq ＝p2n ( n ＋ 1 ) ＋ nq ， 代入 ① 式變?yōu)?kp2n2＋ 2 kpqn ＋ kq2－ 1 ＝32pn2＋??????－12p ＋ q n－ ( p ＋ q ) ， ∴??????? kp2＝32p ， ②2 kpq ＝－12p ＋ q ， ③kq2－ 1 ＝－ ? p ＋ q ? ， ④ 第 16 講 │ 要點熱點探究 由 ② 得 p ＝ 0 或 kp ＝32. 若 p ＝ 0 ， 代入 ③ 、 ④ 不成立 ； 將 kp ＝32代入 ③ ， 得 q ＝－p4， 代入 ④ 得kp216－ 1 ＝－ p ＋p4，即3 p32－ 1 ＝－34p ， ∴ p ＝3227， 從而得出 q ＝－827， k ＝8164. ∴ 存在常數(shù) k ， 使得 ka2n－ 1 ＝ S2 n－ Sn ＋ 1成立 ． 第 16 講 │ 要點熱點探究 【點評】 本題是存在型探索性問題 ． 解答此類問題的思路是 ： 假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在 ( 或結(jié)論成立 ) 或暫且認(rèn)可其中一部分的結(jié)論 ， 然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理 ， 若由此導(dǎo)出矛盾 ， 則否定假設(shè) ； 否則 ， 給出肯定結(jié)論的證明 ． 即 ： “ 假設(shè) —— 推證 —— 定論 ” 是解答此類問題的三個步驟 ． 本題通過設(shè)等差數(shù)列的通項公式 a n ＝ pn ＋q ( p 、 q 為常數(shù) ) ， 構(gòu)造方程 ， 從而較自然地解決了問題 ． 第 16 講 │ 要點熱點探究 已知數(shù)列 { a n } 是各項均不為 0 的等差數(shù)列， S n 為其前 n 項和，且滿足 a2n ＝ S 2 n － 1 ， b n ＝1a n
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