20xx屆高考數(shù)學(xué)文二輪專題復(fù)習(xí)課件（蘇教版）：第16講 函數(shù)與方程思想(文件)
【正文】 ． 函數(shù)思想 ， 就是運用運動和變化的觀點 、 集合與對應(yīng)的思想去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的等量關(guān)系 ， 建立或構(gòu)造函數(shù)關(guān)系 ， 再運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題 ， 達到轉(zhuǎn)化問題的目的 ， 從而使問題獲得解決的思想 ． 方程思想 ， 就是從問題的數(shù)量關(guān)系入手 ， 運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型 —— 方程或方程組 ， 通過解方程或方程組 ， 或者運用方程的性質(zhì)去分析 、 轉(zhuǎn)化問題 ， 使問題獲得解決的思想 ． 第 16 講 │ 主干知識整合 2 ． 運用函數(shù)思想解決問題主要從下面四個方面著手 ：一是根據(jù)方程與函數(shù)的密切關(guān)系 ， 可將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)來解決 ； 二是根據(jù)不等式與函數(shù)的密切關(guān)系 ， 常將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題 ， 利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行處理 ； 三是在解決實際問題中 ， 常涉及最值問題 ， 通常是通過建立目標(biāo)函數(shù) ， 利用求函數(shù)最值的方法加以解決 ； 四是中學(xué)數(shù)學(xué)中的某些數(shù)學(xué)模型 ( 如數(shù)列的通項或前 n 項和 、 含有一個未知量的二項式等 ) 可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題 ， 利用函數(shù)相關(guān)知識或借助處理函數(shù)問題的方法進行解決 ． 第 16 講 │ 主干知識整合 運用方程思想解決問題主要從以下四個方面著手：一 是把問題中對立的已知與未知建立相等關(guān)系統(tǒng)一在方程中，通過解方程解決；二是從分析問題的結(jié)構(gòu)入手，找出主要矛盾，抓住某一個關(guān)鍵變量，將等式看成關(guān)于這個主變元 ( 常稱為主元 ) 的方程，利用方程的特征解決；三是根據(jù)幾個變量間的關(guān)系，符合某些方程的性質(zhì)和特征 ( 如利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程等 ) ，通過研究方程所具有的性質(zhì)和特征解決；四是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)模型 ( 如函數(shù)、曲線等 ) ，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為方程問題去解決． 第 16 講 │ 主干知識整合 3 ． ( 1 ) 函數(shù)和方程是密切相關(guān)的 ， 對于函數(shù) y ＝ f ( x ) ， 當(dāng) y ＝0 時 ， 就轉(zhuǎn)化為方程 f ( x ) ＝ 0 ， 也可以把函數(shù)式 y ＝ f ( x ) 看做二元方程 y － f ( x ) ＝ 0. 函數(shù)問題 ( 例如求函數(shù)的最值 、 值域等 ) 可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解 ， 方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解 ，如解方程 f ( x ) ＝ 0 ， 就是求函數(shù) y ＝ f ( x ) 的零點 ． ( 2 ) 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化 ， 對于函數(shù) y ＝ f ( x ) ， 當(dāng) y 0時 ， 就轉(zhuǎn)化為不等式 f ( x ) 0 ， 借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)可以解決 ． 而研究函數(shù)的性質(zhì) ， 也離不開解不等式 ． ( 3 ) 數(shù)列的通項或前 n 項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù) ， 用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要 ． ( 4 ) 解析幾何中的許多問題 ， 例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題 ， 需要通過解二元方程組才能解決 ， 涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論 ． 第 16 講 │ 主干知識整合 (5) 立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決． 函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解 ( 證 ) 不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達到化難為易，化繁為簡的目的．許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決．函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點． 要點熱點探究 第 16 講 │ 要點熱點探究 ? 探究點一 構(gòu)造函數(shù)或方程來解決問題 例 1 已知集合 M ＝ {( x ， y )| ( x ＋ x2 ＋ 1 )( y ＋ y 2 ＋ 1 ) ＝ 1} ，則集合 M 表示的圖形是 ________ ． 【 答案 】 直線 第 16 講 │ 要點熱點探究 【解析】 本題關(guān)鍵是找到變量 x ， y 的關(guān)系 ， 直接化簡會很復(fù)雜 ， 如果移項變形 ， 化為 x ＋ x2＋ 1 ＝1y ＋ y2＋ 1＝－ y ＋ y2＋ 1 ， 構(gòu)造函數(shù) f ( x ) ＝ x ＋ x2＋ 1 ( x ∈ R ) 會輕易解決 ． 第 16 講 │ 要點熱點探究 思路 1 ：把式子中的字母 x ， y 看作變量，把等式中出現(xiàn)的代數(shù)式看作函數(shù)． 等式化為 x ＋ x2＋ 1 ＝1y ＋ y2＋ 1＝－ y ＋ y2＋ 1 . 構(gòu)造函數(shù) f ( x ) ＝ x ＋ x2＋ 1 ( x ∈ R) ，則上式就是 f ( x )＝ f ( － y ) ， 由于函數(shù) f ( x ) ＝ x ＋ x2＋ 1 ( x ∈ R) 為 R 上的增函數(shù)，則 x ＝－ y ，即 x ＋ y ＝ 0. 所以，集合 M 表示的圖形是直線．這個問題的解決是函數(shù)思想的勝利． 第 16 講 │ 要點熱點探究 我們還可以用另一種函數(shù)來思考 ． 思路 2 ： 構(gòu)造一個常見的函數(shù) g ( x ) ＝ lg ( x ＋ x2＋ 1 )( x∈ R ) ， 則 g ( x ) 為 R 上的增函數(shù) ， 且為奇函數(shù) ． 又已知等式可化為 g ( x ) ＋ g ( y ) ＝ lg ( x ＋ x2＋ 1 ) ＋ lg ( y ＋ y2＋ 1 ) ＝ lg 1 ＝0 ， 于是有 g ( x ) ＝－ g ( y ) ＝ g ( － y ) ， 因此 x ＝－ y ， 即 x ＋ y＝ 0. 所以 ， 集合 M 表示的圖形是直線 ． 思路 3 ：以方程的知識為切入點，設(shè) s ＝ x ＋ x2＋ 1 ， t＝ y ＋ y2＋ 1 ，于是 s ， t 分別是方程 s2－ 2 xs － 1 ＝ 0 ， t2－ 2 yt－ 1 ＝ 0 的正根．由此可得 s － 2 x －1s＝ 0 ， t－ 2 y －1t＝ 0 ，相加并注意
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